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ANALYSE COMPLEXE, PARCOURS SPÉCIAL L3

RÉSUMÉ DE COURS

PASCAL THOMAS

Pré-requis : séries entières, séries de Fourier, calcul différentiel dans le plan (ma-

trice jacobienne, arcs paramétrés, intégrales de fonctions de deux variables réelles). Dérivation des intégrales dépendant d"un paramétre. On écrira en généralz=x+iyoùxetysont réels.

1.Séries entières et analyticité

1.1.Définitions.Une série entière est une série de fonctions de la formeP

kakzk, avecak;z2C. Théorème 1.Il existeR2[0;+1], appelé rayon de convergence, tel que pour tout r < R, la série est normalement convergente surD(0;r), et pour toutztel que jzj> R,(akzk)est non bornée.

De plus,Rest donné par la formule d"Hadamard :

R=1limsup

k!1jakj1=k:

Définition 2.Soit

Cun ouvert. Une fonctionf:

!Cest diteanalytique si pour touta2 , il existe une série entièreP kakzkde rayon de convergenceR >0 telle que pour toutz2D(a;R), (1)f(z) =X ka k(za)k:

Définition 3.Soit

Cun ouvert. Une fonctionf:

!CestC-dérivableen a2 si et seulement si la limite suivante existe : lim h!0f(a+h)f(a)h =:f0(a)2C; oùhest un nombre complexe et tend vers0au sens de la topologie deC=R2.

1.2.Propriétés.

Proposition 4.SifestC-dérivable ena, alorsfadmet des dérivées partielles ena qui vérifient leséquations de Cauchy-Riemann: @Imf@x (a) =@Ref@y (a); @Imf@y (a) =@Ref@x (a): Proposition 5.Une fonction analytique est de classeC1au sens des dérivées par- tielles par rapport aux variables réellesxety, et estC-dérivable à tous les ordres, et les coefficients dans(1)sont donnés parak=1k!f(k)(a). 1

2 PASCAL THOMAS

Propriétés : les sommes, produits, compositions de fonctions analytiques sont ana- lytiques. Les quotients aussi, quand le dénominateur ne s"annule pas. Au voisinage de l"image d"un point où la dérivée defne s"annule pas, l"application réciproquef1est analytique (admis).

1.3.Exemples.Tous les polynômes (enz) sont analytiques surCtout entier, les

fractions rationnelles sont analytiques en dehors des racines de leur dénominateur. Définition 6.On définit l"exponentielle complexe parexp(z) :=P1 k=0zkk!. Proposition 7.exp(z+w) = exp(z)exp(w),exp(z) =exp(z), poury2R,jexp(iy)j=

1,jexp(z)j= exp(Rez),ddz

exp(z) = exp(z).

On poseexp(z) =ezoùe:= exp(1)etcosz:=12

(eiz+eiz),sinz:=12i(eizeiz). La fonctionexpest périodique de période2i, et pour toutz2Cn f0g, il existe un unique2];]tel queew=zavecw=Logz:= logjzj+i. On appelle l"argumentdezet Log ladétermination principale du logarithme complexe.

2.Prolongement analytique

2.1.Théorème des zéros isolés.

Théorème 8.Soitfanalytique au voisinage dez0, avecf(z0) = 0. Alors soit il exister >0tel que pour toutztel que00 tel que pour toutztel quejzz0j< r,f(z) = 0. On rappelle qu"étant donné un ensembleA, un pointaest unpoint d"accumulation deAsi pour toutr >0, il existex2Atel que00tel queD(a;r)\A=fag.

2.2.Théorème du Prolongement analytique.

Définition 9.Soit

un sous ensemble d"un espace topologique. On dit que est connexesi pour tout couple d"ouverts disjointsU1;U2tels queU1[U2 alors soit U 1\ =;, soitU2\

On dit que

estconnexe par arcssi pour tousx;y2 , il existe une courbe continue : [a;b]! telle que (a) =x, (b) =y. Fait : la deuxième propriété implique toujours la première. Pour des ouverts deC, ou même d"un espace vectoriel normé à coefficients réels, elles sont équivalentes.

Théorème 10.Si

est un ouvert connexe deC, quefetgsont analytiques sur et que l"ensembleA:=fz2 :f(z) =g(z)gpossède un point d"accumulation dans , alorsf=g.

Corollaire : sifest analytique sur un ouvert

, non identiquement nulle, etK compact dans , alorsf1f0g \Kest un ensemble fini. Autre application : si deux fonctions sont analytiques sur un ouvert connexe qui intersecte la droite réelle, toute relation algébrique entre ces fonctions valide pour cette portion de la droite réelle demeurera valide sur tout l"ouvert. On étend ainsi les identités trigonométriques habituelles, par exemple.

ANALYSE COMPLEXE 1 3

3.Formule de la moyenne, formule de Cauchy dans un disque

3.1.Formule de la moyenne.

Théorème 11.Sifest la somme d"une série entière centrée enade rayon de convergenceR > r, alors pour toutk0,

1k!f(k)(a) =12rkZ

2 0 f(a+rei)eikd: En particulier,f(a)est la moyenne des valeurs defsur le cercle de centreaet de rayonr. Cette formule est une conséquence immédiate de la formule qui donne les coefficients de Fourier d"une fonction périodique. Nous allons en voir des généralisations très puissantes.

3.2.Formule de Cauchy dans un disque.

Définition 12.Si

est une courbeC1par morceaux, : [a;b]! , etfest une fonction continue définie sur , alors Z f(z)dz:=Z b a f( (t))

0(t)dt:

Fait : cette définition est invariante par changement de paramétrage bijectifcrois- sant.

Exemple : si on prend sur l"intervalle[0;2],

() =a+rei, la formule de la moyenne pourk= 0devient f(a) =12iZ f(z)zadz: Théorème 13.Sifest de classeC1etC-dérivable (en particulier sifest analytique) sur avecD(a;r) , alors en prenant la courbe le cercle ci-dessus, pour tout z

02D(a;r),

f(z0) =12iZ f(z)zz0dz: Corollaire : sifestC-dérivable et de classeC1sur , alors elle est développable en série entière autour de chaquea2 avec un rayon de convergence supérieur ou égal

àra:=dist(a;Cn

), et pour toutk2N,0< r < ra f (k)(a)k!=12iZ

C(a;r)f(z)dz(za)k+1;

oùC(a;r)désigne le cercle de centreaet de rayonr, parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Ceci est utile même si on savait quefétait analytique : nous avons ainsi amélioré notre connaissance du rayon de convergence du développement local en série entière. On en déduit lesestimations de Cauchy: pour toutk2N,f(k)(a)k! supD(a;r)jfjr k:

4 PASCAL THOMAS

3.3.Conséquences de la formule de Cauchy dans un disque.

Théorème de Liouville :

Théorème 14.Sifest analytique surCtout entier et bornée, alorsfest constante. Corollaire : Théorème Fondamental de l"Algèbre. SiPest un polynôme de degré n, alorsPadmet exactementnracines complexes (comptées avec multiplicité).

4.Théorème de Cauchy et formule des résidus

4.1.Théorème de Cauchy.On dit qu"une courbe estferméesi

(b) = (a). On dit qu"une courbe estde Jordansi elle est fermée et que pour toust16=t22[a;b[, (t1)6= (t2).

Fait (admis) : si

est une courbe de Jordan,Cn ([a;b])a deux composantes connexes exactement, dont une seule est non-bornée. On note^ l"adhérence de la composante connexe bornée deCn ([a;b]). Intuitivement, ce sont les points entourés par la courbe (plus la courbe elle-même). On parle parfois d"intérieurde la courbe pour l"ensemble des points entourés par la courbe, il ne faut pas confondre cette notion avec celle d"intérieur au sens topologique.

Théorème de Cauchy :

Théorème 15.Si

est un ouvert, une courbe de JordanC1par morceaux telle que^ , etfune fonctionC-dérivable sur , alorsR f(z)dz= 0.

ADMIS.

On remarquera que ce théorème, dans le cas particulier oùfest par surcroît de classeC1et que est un cercle, peut se déduire de la formule de Cauchy : il suffit de prendre un pointaà l"intérieur du disque et d"appliquer la formule de Cauchy à g(z) := (za)f(z), au pointa.

4.2.Formule des résidus.

Définition 16.On dit qu"une fonction analytiquef, définie surD(a;r)nfag, admet unpôle d"ordremau pointasi il existem2Netganalytique surD(a;r), avec g(a)6= 0, tels que f(z) =g(z)(za)m;z2D(a;r)n fag: Proposition 17.Avec les notations ci-dessus, si on poseg(z) =P k0ak(za)k, et C(a;")le cercle de centreaet de rayon", parcouru une fois dans le sens trigonomé- trique, alors pour tout"2]0;r[, 12iZ

C(a;")f(z)dz=am1=:Res(f;a);

appeléRésidu defau pointa. En particulier, sim= 1(pôle simple) alors Res(f;a) =g(a), sim= 1(pôle double) alors Res(f;a) =g0(a).

Théorème des résidus.

Théorème 18.Si

est un ouvert,fune fonction analytique sur nA, oùAest un ensemble sans point d"accumulation (donc fini ou dénombrable),fadmettant un

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pôle en chaque point deA, une courbe de JordanC1par morceaux, orientée dans le sens trigonométrique, telle que ([a;b])\A=;et^ , alorsZ f(z)dz= 2iX w2A\^

Res(f;w):

On note queA\^

est un ensemble fini, donc la somme ci-dessus est toujours une somme finie.

ADMIS.

Remarque. Le théorème serait vrai sans l"hypothèse que les points deAsont des pôles, en définissant les résidus par la formule intégrale dans la proposition ci-dessus (dont on peut montrer qu"elle ne dépend pas de"même dans le cas général).

4.3.Applications de la formule des résidus.Un certain nombre d"intégrales

définies peuvent se calculer en utilisant la formule des résidus.

Cas 1.R+1

1eixP(x)Q(x), oùPetQsont des polynômes tels que degQdegP+2et

Q(x)6= 0pourx2R.

On utilise le contour (courbe fermée) constitué du segment de droite deRàR, puis un arc de cercle centré en0qui va deRàR, et on faitR!+1. Si6= 0, il faut choisir le demi cercle dans le demi plan où le terme exponentiel sera de module borné par1.

Cas 2.limR!+1R

+R ReixP(x)Q(x), oùPetQsont des polynômes tels que degQ degP+ 1etQ(x)6= 0pourx2R. On utilise un contour rectangulaire choisi de la même manière que ci-dessus. La contribution de la partie située en dehors de l"axe réel tendra vers0à cause du Lemme de Jordan. Attention, l"intégrale que l"on calcule n"est pas absolument convergente. Cas 3.On peut traiter des cas oùQa des zéros simples sur l"axe réel, mais ces intégrales doivent s"interpréter en "valeur principale" : il faut prendre la limite de l"intégrale calculée sur l"axe réel privé d"un petit intervalle symétrique autour du pôle. Cela nécessite d"ajouter au contour un petit demi-cercle autour de chaque pôle réel. Il y a quelques autres cas que nous ne détaillerons pas ici, voir la feuille de TD numéro 3.

5.Principe du module maximum

Théorème 19.Soit

un ouvert connexe,fanalytique sur , alors sijfjadmet un maximum local, la fonctionfest constante. Remarque : on démontre au passage que la même propriété est vérifiée parRef.

Corollaire : si

est un ouvert connexe borné, quefest analytique sur et continue sur , alors il existez02@ n tel quejf(z0)j= max jfj.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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