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De mˆeme come f(x)cos(kx)estpairealorsparlaRemarque7 1 1 ak = 2 ? Z ? 0 f(x)cos(kx)dx Il en d´ecoule que fˆ k = 1 2 ak = 1 2 a k = fˆ k et que les coecients de Fourier complexes sont r´eels et sym´etriques en k Lafonctionen dents de scie de l’Exemple 7 1 2 b) est de ce type Voyons un autre cas Exemple 7 1 3 f(x)= x ? 2 est
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Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe
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Les 4 exercices sont indépendants.
Exercice I :Soitfla fonction2-périodique définie parf(x) =ejxjpourx2[;].1)Tracer le graphe defsur[3;3].
2)Justifier rapidement que f estC1par morceaux surRet préciser les points de discontinuité def0.
3)Pourn0, soitIn=R
0e(1+in)xdx. Montrer que
8n0; In=(1(1)ne)(1 +in)n
2+ 1:4)On noteanle coefficient decos(nx),a0=2le coefficient constant etbnle coefficient desin(nx)dans
la série de FourierS(f)def. (a)Que v autbnpourn0?
(b)Mon trerque p ourtout n0,an=2
Re(In)et en déduire l"expression dean.
5)Justifier soigneusement l"égalité suivante :
8x2[;]; ejxj=1e
+2 +1X n=1(1(1)ne)cos(nx)n 2+ 1:6)En appliquant cette égalité àx=2
, en déduire la valeur deA=+1X k=1(1)k4k2+ 1. Exercice II :Soitf:C!Cune fonction holomorphe surC. On définit les deux fonctionsP;Q: R2!Rpar
8z2C; f(z) =P(x;y) +iQ(x;y)avecz=x+iy;(x;y)2R2:
1)Ecrire les relations qui relient@P@x
,@P@y ,@Q@x et@Q@y2)On suppose qu"il existe(a;b)2R2tels queQ(x;y) =aP(x;y)+bpour tout(x;y)2R2. Exprimer
@Q@x et@Q@y en fonction de@P@x ,@P@y . En déduire que8(x;y)2R2;
1 +a2@P@x
(x;y) = 0En déduire que
@P@x = 0surR2, puis quefest constante surC. Exercice III :1)Soientg:C!Ceth:C!Cdeux fonctions holomorphes surC, avec g(z)6= 0pour toutz2C. On suppose qu"il existe2Ctel queh() = 0avech0()6= 0et g()6= 0. a) On définit la fonction:C!Cpar (z) =8 :h(z)zsiz6= h0()siz=(1)
Montrer queest développable en série entière autour de. En déduire queest holomorphe sur C. b) Pour toutz2D(;r)n fg, on posef(z) =g(z)h(z). A l"aide de la fonctionde la question a), montrer quefa un pôle simple enet que le résidu defenvautRes(f;) =g()h 0().2)Soient0< a < bfixés. On définit la fonctionfparf(z) =eiz(z2+a2)(z2+b2).
a) Montrer que la fonctionfest holomorphe surCnfia;ibg. Quelle est la nature des singularités defeniaetib? b) A l"aide du résultat de la question1), calculerRes(f;ia)etRes(f;ib).3)PourR > b, soitC+
Rle demi-cercle supérieur de centre0et de rayonRdéfini par CR=fz2Cj jzj=RetIm(z)>0g
et soit Rle lacet constitué du segment réel[R;R]suivi deC+Rparcouru une fois dans le sens
trigonométrique direct. (a)Représen tersur une figure
Rpour unR > bet les pointsiaetib.
(b) A l"aide du théorème des résidus, mon trerque ZRf(z)dz=b
2a2(eaa
ebb (c)A l"aide d"une ma jorationde max
z2C+Rjf(z)jpourR > b, montrer quelimR!+1Z
CRf(z)dz= 0.
(d)Mon trerque limR!+1Z
RRf(z)dz=Z
+1 1 f(x)dx. (e) En déduire la v aleurde l"in tégraleréelle I=Z +11cos(x)(x2+a2)(x2+b2)dx.
Exercice IV :Soitfla fonction définie parf(z) =1(z1)(z2)2 1) (a) Quel est le domaine de définition def? Vérifier que l"on a 8z2 ; f(z) =1(z2)21z2+1z1() (b)Préciser quelles sont les singularités def, leur nature et leur ordre.2)On noteCr(t) =reit; t2[0;2]le lacet paramétrant le cercle de centre0et de rayonr >0
parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Pourr6= 1;2, on noteIr=R C rf(z)dz. Donner la valeur deIrpourr=12 ,r=32 etr= 3. 3) (a) Rappeler le développement en série entière de1z1pourjzj<1et en déduire celui de de1z2pourjzj<2.
(b)Montrer que1(z2)2= (1z2)0=+1X
n=0(n+ 1)2 n+2znpourjzj<2: (c)En déduire que f(z) =+1X n=0 n+ 32n+22 n+2 z npourjzj<1: (d)Montrer (avec le minimum de calculs) quef(3)(0) =3984)En écrivant que1z1=1z
111=zpourjzj>1, donner le développement en série de Laurent
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