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Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe

Durée : 3h00 - Documents, calculatrice, ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés

Les 4 exercices sont indépendants.

Exercice I :Soitfla fonction2-périodique définie parf(x) =ejxjpourx2[;].

1)Tracer le graphe defsur[3;3].

2)Justifier rapidement que f estC1par morceaux surRet préciser les points de discontinuité def0.

3)Pourn0, soitIn=R

0e(1+in)xdx. Montrer que

8n0; In=(1(1)ne)(1 +in)n

2+ 1:

4)On noteanle coefficient decos(nx),a0=2le coefficient constant etbnle coefficient desin(nx)dans

la série de FourierS(f)def. (a)

Que v autbnpourn0?

(b)

Mon trerque p ourtout n0,an=2

Re(In)et en déduire l"expression dean.

5)Justifier soigneusement l"égalité suivante :

8x2[;]; ejxj=1e

+2 +1X n=1(1(1)ne)cos(nx)n 2+ 1:

6)En appliquant cette égalité àx=2

, en déduire la valeur deA=+1X k=1(1)k4k2+ 1. Exercice II :Soitf:C!Cune fonction holomorphe surC. On définit les deux fonctionsP;Q: R

2!Rpar

8z2C; f(z) =P(x;y) +iQ(x;y)avecz=x+iy;(x;y)2R2:

1)Ecrire les relations qui relient@P@x

,@P@y ,@Q@x et@Q@y

2)On suppose qu"il existe(a;b)2R2tels queQ(x;y) =aP(x;y)+bpour tout(x;y)2R2. Exprimer

@Q@x et@Q@y en fonction de@P@x ,@P@y . En déduire que

8(x;y)2R2;

1 +a2@P@x

(x;y) = 0

En déduire que

@P@x = 0surR2, puis quefest constante surC. Exercice III :1)Soientg:C!Ceth:C!Cdeux fonctions holomorphes surC, avec g(z)6= 0pour toutz2C. On suppose qu"il existe2Ctel queh() = 0avech0()6= 0et g()6= 0. a) On définit la fonction:C!Cpar (z) =8 :h(z)zsiz6= h

0()siz=(1)

Montrer queest développable en série entière autour de. En déduire queest holomorphe sur C. b) Pour toutz2D(;r)n fg, on posef(z) =g(z)h(z). A l"aide de la fonctionde la question a), montrer quefa un pôle simple enet que le résidu defenvautRes(f;) =g()h 0().

2)Soient0< a < bfixés. On définit la fonctionfparf(z) =eiz(z2+a2)(z2+b2).

a) Montrer que la fonctionfest holomorphe surCnfia;ibg. Quelle est la nature des singularités defeniaetib? b) A l"aide du résultat de la question1), calculerRes(f;ia)etRes(f;ib).

3)PourR > b, soitC+

Rle demi-cercle supérieur de centre0et de rayonRdéfini par C

R=fz2Cj jzj=RetIm(z)>0g

et soit Rle lacet constitué du segment réel[R;R]suivi deC+

Rparcouru une fois dans le sens

trigonométrique direct. (a)

Représen tersur une figure

Rpour unR > bet les pointsiaetib.

(b) A l"aide du théorème des résidus, mon trerque Z

Rf(z)dz=b

2a2(eaa

ebb (c)

A l"aide d"une ma jorationde max

z2C+

Rjf(z)jpourR > b, montrer quelimR!+1Z

C

Rf(z)dz= 0.

(d)

Mon trerque limR!+1Z

R

Rf(z)dz=Z

+1 1 f(x)dx. (e) En déduire la v aleurde l"in tégraleréelle I=Z +1

1cos(x)(x2+a2)(x2+b2)dx.

Exercice IV :Soitfla fonction définie parf(z) =1(z1)(z2)2 1) (a) Quel est le domaine de définition def? Vérifier que l"on a 8z2 ; f(z) =1(z2)21z2+1z1() (b)Préciser quelles sont les singularités def, leur nature et leur ordre.

2)On noteCr(t) =reit; t2[0;2]le lacet paramétrant le cercle de centre0et de rayonr >0

parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Pourr6= 1;2, on noteIr=R C rf(z)dz. Donner la valeur deIrpourr=12 ,r=32 etr= 3. 3) (a) Rappeler le développement en série entière de1z1pourjzj<1et en déduire celui de de

1z2pourjzj<2.

(b)Montrer que

1(z2)2= (1z2)0=+1X

n=0(n+ 1)2 n+2znpourjzj<2: (c)En déduire que f(z) =+1X n=0 n+ 32n+22 n+2 z npourjzj<1: (d)Montrer (avec le minimum de calculs) quef(3)(0) =398

4)En écrivant que1z1=1z

111=zpourjzj>1, donner le développement en série de Laurent

defsur la couronneA=fz2C=1