[PDF] Analyse Complexe S´eries de Fourier
Œuvres générales sur l'analyse complexe et les séries de Fourier Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d'analyse complexe (voir
[PDF] Analyse Complexe S´eries de Fourier
Les nombres complexes et le plan complexe 2 Œuvres générales sur l'analyse complexe et les séries de Fourier
[PDF] Analyse complexe Cours de L3 ENS Lyon automne 2014
Le corps C des nombres complexes peut se voir de deux façons différentes forme pour an équivaut `a dire que anrn est le n-i`eme coefficient de Fourier
[PDF] Analyse complexe - Département de mathématiques et statistique
séries et aux intégrales de Fourier sont enfin exposées L'étudiant est réputé être familier avec les méthodes de l'analyse (? les ?
[PDF] Analyse de Fourier
6 CHAPITRE I S ´ERIES DE FOURIER Lemme I 1 (Riemann-Lebesgue) C'est la partie réciproque qui nécessite vraiment de l'analyse complexe
[PDF] Analyse complexe parcours spécial l3 résumé de cours
Pré-requis : séries entières séries de Fourier calcul différentiel dans le plan (ma- trice jacobienne arcs paramétrés intégrales de fonctions de deux
[PDF] Chapitre 7 Séries de Fourier
Etant donnée une fonction f : R ! C périodique de période 2? et bornée on appelle coefficients de Fourier complexes de f les nombres complexes définis par
[PDF] Analyse Complexe - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
Groupes abéliens finis caractères séries de Fourier discrètes 308 5 Présentation des idées de Dirichlet dans le cas général
[PDF] Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe - annales
Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe Durée : 3h00 - Documents calculatrice ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés
[PDF] Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe
Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe Durée: 2h00 - Documents calculatrice ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés
Analyse Complexe - Université de Genève
Œuvr es gen´ erales´ sur l’analyse complexe et les series´ de Fourier Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d’analyse complexe (voir le rayon 30 `a la bibliotheque` de la section de mathematiques´ et aussi le rayon 27 pour des traites´ gen´ ´eraux d’analyse) Des livres sur l’analyse de Fourier se
Série de Fourier — Wikipédia
SERIES DE FOURIER 1 1 Introduction L’id ee des s eries de Fourier peut se placer dans le cadre un peu plus g en eral et formul e de fa?con assez impr ecise suivant : approcher voir d evelopper" toutes les fonctions d’une certaine classe a l’aide de fonctions plus simples
Analyse de Fourier - Université Paris-Saclay
Analyse de Fourier François DE MARÇAY Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Saclay France «Je propose sans être ému de déclamer à grande voix la strophe sérieuse et froide que vous allez entendre » Isidore DUCASSE Comte de LAUTRÉAMONT
Chapitre 7 S´eries de Fourier - Université Laval
De mˆeme come f(x)cos(kx)estpairealorsparlaRemarque7 1 1 ak = 2 ? Z ? 0 f(x)cos(kx)dx Il en d´ecoule que fˆ k = 1 2 ak = 1 2 a k = fˆ k et que les coecients de Fourier complexes sont r´eels et sym´etriques en k Lafonctionen dents de scie de l’Exemple 7 1 2 b) est de ce type Voyons un autre cas Exemple 7 1 3 f(x)= x ? 2 est
Searches related to analyse complexe s´eries de fourier
PlanConvolution sur le circle unite´Series de Fourier´ Th´eorie L2 des series de Fourier´ Quelques liens entre series de Fourier et analyse complexe´ Quelques applications des series de Fourier´ Quelques remarques Remarques On a C(S 1) ˆL¥(S 1) ˆLp(S1) ˆLq(S1) ˆL (S); pour tous q p: Preuve : Le fait que Lp (S1)ˆLq S1) d´ecoule du
Analyse de Fourier
Sylvie Benzoni
1 1 erjuillet 2011 1 Universit´e de Lyon / Lyon 1 / ICJ, benzoni@math.univ-lyon1.fr 2Table des mati
`eres I S´eries de Fourier 5
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 2 Th ´eorie hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9II Transformation de Fourier 19
1 Transformation de Fourier des fonctions int
´egrables . . . . . . . . . . . . . . .19
2 Transformation de Fourier surL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3 Transformation de Fourier surS0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
4 Transform
´ees de Fourier classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295 Applications de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315.1 Espaces de Sobolev fractionnaires construits surL2. . . . . . . . . . .31
5.2 R ´esolution d"E.D.P. lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316 Compl
´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346.1 Noyau de Green des ondes en dimension 3s . . . . . . . . . . . . . . .
346.2 Principe de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356.3 Th
´eorie de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36III Transformation de Fourier discr
`ete 391 Cas d"un r
´eseau infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392 Cas d"un r
´eseau fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403 Transformation de Fourier rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41Bibliographie 43
Index45
34TABLE DES MATI`ERES
Chapitre I
S´eries de Fourier
1 Introduction
Pourp2N, on noteLp(T)l"espace des (classes de) fonctions mesurables surR, 1- p ´eriodiques (au sens o`uf(x+ 1) =f(x)pour presque toutx2R) et de puissancep-i`eme int ´egrable sur[0;1], que l"on munit de la norme naturelle kfkLp(T)=Z1 0 jf(x)jpdx 1=p: (ParTon d´esigne le"tore»R=Z.) L"espaceL1(T)est celui des (classes de) fonctions essen- tiellement born´ees, muni de la norme
kfkL1(T)=sup essx2[0;1]jf(x)j: On remarque en particulier l"inclusionLp(T)L1(T)pour toutp1(cons´equence de l"in ´egalit´e de H¨older, sur l"intervalleborn´e[0;1]). Sif2L1(T), on d´efinit sescoefficients de Fourierpar (I.1)cn(f) =Z 1 0 f(x)e2i nxdx; n2Z: La"suite»(index´ee parZ) des coefficients de Fourier(cn(f))n2Zest born´ee : jcn(f)j kfkL1(T);pour toutn2Z:Autrement dit, les coefficients de Fourier d
´efinissent une application lin´eaire continue : L1(T)!`1(Z)
f7!(cn(f))n2Zde norme au plus1, et en fait´egale`a1(atteinte pour la fonction constante´egale`a1). On montre
mˆeme plus pr´ecis´ement que cette application est`a valeurs dans le sous-espace des suites tendant
vers z ´ero, ce qui est l"objet du lemme de base suivant. 56CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER
Lemme I.1 (Riemann-Lebesgue)Pour toutf2L1(T), on a limjnj!1cn(f) = 0:D´emonstration:On observe que pour toutn2Z,
c n(f) =Z 1 0 f(x+12n)e2i nxdx: Ceci vient du changement de variablesx7!x+ 1=(2n)et du fait que la fonctionx7! f(x)e2i nxest1-p´eriodique. On peut donc aussi´ecrire c n(f) =12 Z 1 0 (f(x)f(x+12n))e2i nxdx; d"o `u la majoration jcn(f)j 12 kfT1=(2n)fkL1(T); o`uT1=(2n)d´esigne l"op´erateur de translation par1=(2n)enx. Si l"on note plus g´en´eralement
T af:x7!f(x+a), on montre que lim a!0kfTafkL1(T)= 0; quel que soitf2L1(T). Ceci est imm´ediat pour une fonctionfcontinue, par passage`a la limite dans l"int´egrale sur le compact[0;1]. Dans le cas g´en´eralf2L1(T), cela r´esulte de la densit´e
des fonctions continues dansL1(T)(cons´equence du th´eor`eme de Lusin, voir par exemple Rudin[4, p. 66]) et de l"invariance de la normeL1(T)parTa, quel que soita2R.Ainsi, en notantC0l"espace des suites index´ees parZtendant vers z´ero`a l"infini, muni de
la norme du sup, l"application f:L1(T)!C0 f7!(cn(f))n2Z est lin ´eaire continue de norme1(encore atteinte pourf1). Elle est de plus injective, c"est-`a- dire que sif2L1(T)est telle quecn(f) = 0pour toutn2Z, alorsf= 0presque partout. Pour le d ´emontrer, c"est`a nouveau plus facile (bien qu"un peu technique) dans le cas d"une fonction fcontinue (voir par exemple [2, pp. 40-41]). Le casf2L2(T)se d´eduira de l"identit´e deParseval (th
´eor`eme I.3 ci-apr`es). Le cas g´en´eralf2L1(T)se ram`ene au cas d"une fonction continue en faisant appel `a des propri´et´es assez fines de l"int´egrale de Lebesgue. L"id´ee, pour une fonctionf2L1(T)dont tous les coefficients de Fourier sont nuls, est de consid´erer une "primitive»bien choisie, et plus pr´ecis´ement :F(x) =Z
x 0 f(t)dt+c; la constantec´etant choisie pour queR10F(x)dx= 0(ce qui donnec=Rx
0(t1)f(t)dt).
Puisquec0(f) =R1
0f(x)dx= 0, la fonctionFest1-p´eriodique, donc elle appartient bien`a
L1(T). Elle est de plus continue, et mˆeme d´erivable presque partout [4, p. 158] et
F0(x) =f(x);pour presque toutx2[0;1]:
2. TH´EORIE HILBERTIENNE7
Par suite, on peut int
´egrer par parties dans la d´efinition decn(f)et l"on trouve que pourn2Z, c n(F) =cn(f)=(2in) = 0. Comme de plusc0(F) =R10F(x)dx= 0, on en d´eduit queFest
identiquement nulle, et donc quefest nulle presque partout. On appelles´erie de Fourierd"une fonctionf2L1(T)la s´erie formelle X nc ne2i nx; sans pr´esager de sa convergence. On notera
SN(f) :x7!NX
n=Nc ne2i nx les sommes partielles de cette s ´erie pour toutN2N: ce sont des fonctions bien d´efinies R!C, appartenant`aLp(T)quel que soitp2N, faisant partie de ce que l"on appelle les polynˆomes trigonom´etriques.
2 Th´eorie hilbertienne
On observe queL2(T)est unespace de Hilbertpour le produit hermitien hf ; gi=Z 1 0 f(x)g(x) dx naturellement associ´e`a la normek kL2(T):
kfkL2(T)=hf ; fi1=2: D"autre part, sif2L2(T), alors n´ecessairementf2L1(T)et kfkL1(T) kfkL2(T):Comme on l"a d
´ej`a fait remarquer, c"est une cons´equence de l"in´egalit´e de H¨older, et plus pr ´ecis´ement ici de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : kfkL1(T)=Z 1 0 jf(x)jdxZ1 0 jf(x)j2dx 1=2Z1 0 1 dx1=2=kfkL2(T):
Par cons
´equent la formule (I.1) permet de d´efinir les coefficients de Fourier de toute fonction f2L2(T). Une observation cruciale pour la suite est que la famille(fn:x7!e2i nx)n2Zest ortho- normale dansL2(T). On v´erifie en effet par le calcul que kfnkL2(T)= 1ethfn; fki= 0quels que soientnetkavecn6=k: Gr ˆace`a cette propri´et´e on a le r´esultat suivant.8CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER
Th ´eor`eme I.1 (In´egalit´e de Bessel)Pour toutf2L2(T)et pour toutN2N, (I.2)kSN(f)kL2(T) kfkL2(T):D´emonstration:Par d´efinition, on a
SN(f) =X
jnjNhf;fnifn; d"o `u hSN(f);fSN(f)i= 0 et par suite kfk2L2(T)=kSN(f)k2L2(T)+kfSN(f)k2L2(T):Remarque I.1 il existeN0tel que pour toutNN0,SN(g) =g.Th´eor`eme I.2Pour toutf2L2(T),
limN!+1kSN(f)fkL2(T)= 0:D ´emonstration:Soientf2L2(T)et" >0. Par densit´e des fonctions continues dansL2(T) (cons ´equence du th´eor`eme de Lusin, voir par exemple`a nouveau Rudin [4, p. 66]), il existef0 continue et1-p´eriodique telle que kff0kL2(T)"=4: Cette application continue1-p´eriodiquef0induit une application continueF0sur le cercle unit´eCtelle que
f0(x) =F0(e2i x):
quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] ANALYSE COMPLEXE 3M266
[PDF] L Analyse appliquée du comportement
[PDF] L Analyse appliquée du comportement
[PDF] l analyse concurrentielle - cloudfrontnet
[PDF] CONVAINCRE OU LA CONQUETE DE LA LIBERTE
[PDF] Analyse coût-bénéfices: guide méthodologique - Icsi
[PDF] L 'Analyse Coût-Bénéfices en 10 Questions - Inra
[PDF] Analyse coûts-bénéfices et environnement
[PDF] L L 'analyse coût-efficacité - eureval
[PDF] L 'analyse coût-utilité - (CHU) de Nantes
[PDF] L 'analyse coût-efficacité - (CHU) de Nantes
[PDF] sur le bord de la rivière piedra - J ai Lu
[PDF] notes sur l analyse critique i l introduction - UBC Blogs
[PDF] tp olympiade 2010 vaniline - Olympiades de chimie