[PDF] Intégrale de Riemann Exercices : Barbara Tumpach. Relecture : Franç





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Intégrale de Riemann Sommes de Riemann 1) 2) π 3) Exercice 8

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Alors est Riemann-intégrable. Et on pourra utiliser une forme de l'inégalité triangulaire. Allez à : Correction exercice 8. Exercice 9. Soient 



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on montre tout d'abord (1) lorsque f est en escalier puis on traite le cas général par passage à la limite. 3. Page 4. Corrigé. 1. Si f est une fonction en 



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b. √. 1− x2 a2 dx. Indication pour l'exercice 14 △. On pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann puis calculer des intégrales. Pour le produit.



Intégrale de Riemann

3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2. Montrer qu'une fonction monotone sur [ab] est Riemann-intégrable sur [a



Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de ses bornes. Savoir calculer une primitive une intégrale de. Riemann.



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Est une somme de Riemann associe à sur . Allez à : Correction exercice 1. Exercice 2. Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.



Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices

Exercice 24.10 Soit f continue sur [01]



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— Etablir que la limite simple d'une suite de fonions convexes d'un intervalle I vers R e convexe. Exercice .— Soient fn : [01] ?? R des fonions 



Calculs dintégrales

Exercice 8. Calculer les intégrales suivantes : Exercice 10 Intégrales de Wallis ... La formule générale pour les sommes de Riemann est que ? b.



Travaux dirigés feuille 1 : intégrales de Riemann

Utiliser la fonction indicatrice de Q ? [01] pour montrer que la Riemann- intégrabilité n'est pas stable par limite simple. Exercice 3. Soit f : [a



Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques

Annexe C. Annales 2011-2012 Texte et corrigé de l'examen de session 1 Exercice 18 (sommes de Riemann pour les intégrales doubles). Soient a

Exercices : Barbara Tumpach

Relecture : François LescureExo7

Intégrale de Riemann

1 Rappel

Soientfune fonction bornée ets=fa0=aThéorème.Une fonctionfbornée est intégrable au sens de Riemann sur[a;b]si et seulement si pour tout

e>0, il existe une subdivisionsde[a;b]telle queS s f6Ss f+e:

2 Propriétés de l"intégrale de Riemann

Exercice 1En utilisant la définition d"une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :

1. Si fetgsont Riemann-intégrables sur[a;b], alorsf+gest Riemann-intégrable sur[a;b]. 2. Si fest Riemann-intégrable sur[a;b]etl2R, alorslfest Riemann-intégrable sur[a;b]. 3. Si fetgsont deux fonctions Riemann-intégrables sur[a;b]telles que, pour toutt2[a;b],f(t)6g(t), alorsRb af(t)dt6Rb ag(t)dt. 4. Une limite uniforme de fonctions Riemann-intégrables sur [a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. Exercice 2Montrer qu"une fonctionmonotonesur[a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. Montrer qu"une fonctioncontinuesur[a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. 1

1.Montrer que la fonction f:[0;1]!Rdéfinie par :

f(x) =1 six2Q

0 six2RnQ

n"est pas Riemann-intégrable sur[0;1]. 2.

Montrer que la fonction g:[0;1]!Rdéfinie par :

g(x) = 1q six=pq avecpetqpremiers entre eux

0 six2RnQoux=0

est Riemann-intégrable sur[0;1]. On dit qu"une partieAdeRestnégligeablesi, pour tout nombre réele>0, il existe une suite(In)n2N d"intervallesIn=]an;bn[telle que : A[ n2NI netå n2N(bnan)6e: 1. Montrer qu"une réunion dénombrable d"ensembles négligeables est un ensemble négligeable. 2.

Montrer qu"une fonction bornée f:[a;b]!Rest intégrable au sens de Riemann sur[a;b]si et seulement

si l"ensemble des points oùfn"est pas continue estnégligeable.

Exercice 6Pour toutn2N, on définitfn:]0;1]!Rpar :fn(x)=nenx. Montrer que la suite(fn)n2Rconverge simplement

vers une fonctionfsur]0;1]mais que Z 1

0limn!+¥fn(x)dx6=limn!+¥Z

1

0fn(x)dx:

Vérifier que la convergence de(fn)n2Nversfn"est pasuniformesur]0;1]. Exercice 7Montrer que, sif:[a;b]!Rest une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : 1baZ b af(t)dt=limn!+¥1n nå k=1f a+kban

En déduire les limites suivantes :

a)limn!+¥1n nå k=1tankn b)limn!+¥nå k=1nn

2+k2c)limn!+¥nå

k=1lognn+k 1n 2

1.Montrer que si f:[a;b]!Rest Riemann-intégrable, alors

Z b af(x)dx=Z b af(a+bx)dx: 2. Calculer (en utilisant 1.) les intégrales sui vantes: a)Z p

0xsinx1+cos2xdx b)Z

p4

0log(1+tanx)dx:

Rappel :tan(ab) =tan(a)tan(b)1+tan(a)tan(b)

Correction del"exer cice1 N1.Soit e>0 donné. Puisquefest Riemann-intégrable sur[a;b], il existe une subdivisions1=fa0=

a1[s2=fc0=a

fa0;:::;an;b0;:::;bngpar ordre croissant, puis en identifiant les points qui apparaissent plusieurs fois

(on obtient une subdivision de[a;b]enqintervalles avecmaxfn;pg6q6n+p). Puisques1[s2est une subdivisionplus fineques1, on a :S s1[s2f6S s1fetSs 1f6Ss

1[s2f:(1)

De même,S

s1[s2g6S s2getSs 2g6Ss

1[s2g:(2)

De plus, sur un intervalle]ck1;ck[donné, on a : +supfg(x);x2]ck1;ck[g:

De même :

+inffg(x);x2]ck1;ck[g:

On en déduit que :S

s1[s2f+g6S s1[s2f+S s1[s2g;(3) et Ss

1[s2f+Ss

1[s2g6Ss

1[s2f+g:(4)

En utilisant les inégalités (

1 2 3 ) et ( 4 ), il vient alors :S s1[s2f+g6S s1f+S s2g6Ss 1f+Ss

2g+e6Ss

1[s2f+g+e:

D"après le théorème rappelé en introduction, on en déduit quef+gest Riemann-intégrable sur[a;b]. De

plus, de l"inégalité Ss 1f+Ss 2g6Ss

1[s2f+g;

on déduit que sup s 1;s2 Ss 1f+Ss 2g 6sup s

1;s2Ss

1[s2f+g:

Or sup s 1;s2 Ss 1f+Ss 2g =sup s 1Ss

1f+sup

s 2Ss 2g=Z b af(x)dx+Z b ag(x)dx et sup s

1;s2Ss

1[s2f+g=sup

sSs f+g=Z b a(f(x)+g(x))dx: Ainsi Zb af(x)dx+Z b ag(x)dx6Z b a(f(x)+g(x))dx:

De même, l"inégalitéS

s1[s2f+g6S s1f+S s2g implique Rb a(f(x)+g(x))dx6Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx. Enconclusion,Rb a(f(x)+g(x))dx=Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx. 4

2.Pourl=0 il n"y a rien a démontrer.

Sifest Riemann-intégrable sur[a;b]etl>0, alors pour tout subdivisions=fa0=a<Par conséquent,Ss lf=lSs fetS s lf=lS s f. On en déduit que sup sSs lf=lsup sSs f=lZ b af(x)dx=linfsS s f=infsS s lf:

En conclusion,lfest Riemann-intégrable etRb

alf(x)dx=lRb af(x)dx. Sifest Riemann-intégrable sur[a;b]etl<0, alors pour tout subdivisions=fa0=a<Par conséquent,Ss lf=lS s fetS s lf=lSs f. On en déduit que sup sSs lf=linfsS s f=lZ b af(x)dx=lsup sSs f=infsS s lf:

En conclusion,lfest Riemann-intégrable etRb

alf(x)dx=lRb af(x)dx. 3. Soient fetgdeux fonctions Riemann-intégrables sur[a;b]telles que, pour toutt2[a;b],f(t)6g(t).

Soits=fa0=a<

Il en découle que

sup sSs f6sup sSs f; c"est-à-dire Rb af(x)dx6Rb ag(x)dx. 4.

Soit ffigi2Nune suite de fonctions Riemann-intégrables, qui converge uniformément versfsur[a;b].

Soite>0 donné. Il existeN>0 tel que8i>N, sup[a;b]jfi(t)f(t)jinf]ak1;ak[fie

En particulier :

sup ]ak1;ak[finf]ak1;ak[f6sup ]ak1;ak[f iinf]ak1;ak[fi+2e:

Il en découle que :S

s fSs f6S s f iSs f i+2e(ba):

Commefiest Riemann-intégrable, d"après le théorème de l"introduction, il existe une subdivisionsde

[a;b]telle queSquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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