[PDF] Travaux dirigés feuille 1 : intégrales de Riemann

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Universit

e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales Int egration et Probabilites 2010-2011 Travaux diriges, feuille 1 : integrales de Riemann

Riemann-integrabiliteExercice 1

Montrer que la fonctionf: [0;1]!Rindicatrice deQ\[0;1] (c-a-d denie par 1 six2Qet 0 sinon) n'est pas Riemann integrable.

Exercice 2

1) Montrer que la fonctionf: [0;1]![0;1]

f(x) =8 :0 sixirrationnel

1 six= 0

1q six=pq fraction irreductible est Riemann-integrable, par deux methodes : - construire pour" >0 une divisionDde [0,1] pour laquelleS(D)<2"ouS(D) est la grande somme de Darboux associee afetD; - montrer quefest limite uniforme de fonctions en escalier.

2) Utiliser cette fonction et la fonction indicatrice deQ\[0;1] pour montrer que la Riemann-integrabilite

n'est pas stable par composition. Utiliser la fonction indicatrice deQ\[0;1] pour montrer que la Riemann-

integrabilite n'est pas stable par limite simple.

Exercice 3

Soitf: [a;b]!Rune fonction Riemann-integrable (donc bornee) etgune fonction denie sur un segment contenantf([a;b]).

1) On supposeglipschitzienne. Montrer quegfest Riemann-integrable.

2) Montrer que toute fonctiongcontinue sur un segment est limite uniforme de fonctions lipschitziennes (on

pourra approchergpar des fonctions anes par morceaux). En deduire que sigest continue alorsgfest

Riemann-integrable.

Exercice 4

On dit qu'unef: [a;b]!Rest reglee si elle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escaliers.

1) Montrer qu'une fonction reglee est Riemann-integrable.

2) Montrer que si une fonctionf: [a;b]!Rest reglee, alors elle a en tout point une limite a droite et une

limite a gauche.(Rem. : la reciproque est vraie.)

3) Soitf: [0;1]!Rdenie parf(x) = sin(1=x) six >0 etf(0) = 0. Montrer quefest Riemann-integrable

mais pas reglee. 1

Sommes de Riemann

Exercice 5

En utilisant les sommes de Riemann, calculer les limites des suites suivantes: a n=2n1X k=012n+ 3k; bn=1n n1X k=0cos 2kn ; c n=nX k=1pn 2k2n 2; d n=2nX k=nk ; en=2nX k=nsink ; f n=nX k=1n+k2n

3+k3; gn=n2nY

k=1k 4kn 2:

Exercice 6

En utilisant les sommes de Riemann, calculer la limite (si elle existe) lorsquen!+1de n1X k=0sinnn 2+k2

Exercice 7

CalculerR2

0log(12xcos+x2)dpourx0;x6= 1.

Indication : on utilisera les sommes de Riemann apres avoir remarque que12xcos+x2=j1xeij2.

Integrales impropresExercice 8

Determiner la nature des integrales suivantes (0 est un parametre) : I 1=Z 1

0sin(pt)tan(pt)t

2dt ; I2=Z

2

1cost1pt

dt ; I3=Z 1 0e it1t dt ; I 4=Z 4 edtln (lnt); I5=Z +1 1 sin1t dt :

Exercice 9

1)Etudier selon la valeur du parametre2Rla nature de l'integrale

J() =Z

+1 1dtt pt 21:

2) CalculerJ() lorsque= 1;2 et 4.

Exercice 10

Soitf:R!Rune fonction continue periodique de periodeT >0, non identiquement nulle, et telle queRT

0f(t)dt= 0.

1) SoitF:R!Rune primitive def. Montrer queFest periodique et en deduire queFest bornee (justier

votre reponse). 2

2) Montrer que la fonctiong(t) =f(t)t

est integrable au sens impropre sur [T;+1).

3) Montrer que la fonctionjg(t)jn'est pas integrable au sens impropre sur [T;+1).

Exercice 11 - fonction Gamma

Pour un nombre reels, on considere l'integrale impropre (s) =Z +1 0 ts1etdt:

1) Pour quelles valeurs des, (s) est-il bien deni ?

2) Montrer que (s+ 1) =s(s) pour touts >0. En deduire la formule

(n+ 1) =n! pour toutn2N.

3) Montrer que (

12 ) =p, puis calculer (n+12 ) pour toutn2N.

4) Calculer l'integraleZ+1

0 xnex2dx pour toutn2N.

Exercice 12

1) Pour;2R, etudier la convergence des integrales de Riemann impropres

I ;=Z 1 0 xjlnxjdxetJ;=Z 1 2 xjlnxjdx:

2) Trouver un equivalent simple du reste

R1

AxjlnxjdxquandA! 1pour <1, et un equivalent deRA

2xjlnxjdx, quandA! 1pour >1.

Exercice 13 - integrales de Fresnel

1) En utilisant un changement de variable approprie, montrer que l'integrale impropre suivante est conver-

gente:Z+1 0 eit2dt:

2) En deduire la nature des integrales de Fresnel

Z +1 0 sin(t2)dt ;Z +1 0 cos(t2)dt:

3) Ces integrales sont-elles absolument convergentes ?

Exercice 14

Soienta >0 etf:R!Cune fonction continue admettant des limites en +1et1. Montrer que l'integrale impropreZ+1 1 (f(x+a)f(x))dx est convergente et la calculer. 3 Suite d'integrales, intervertion limite-integrale, integrales a parametre

Exercice 15 - integrales de Wallis

On denit pour toutn2N:

W n=Z =2 0 sinn(x)dx:

1) a)Verier queWnest bien deni.

b) Montrer queWn=R=2

0cosn(x)dx.

c) Montrer que la suite (Wn)n0est decroissante.

2) Montrer que pour toutn2,nWn= (n1)Wn2.

Indication : on pourra remarquer quesinn(x) = sinn2(x)(1cos2(x)), et utiliser une integration par parties.

3) CalculerW0etW1, et en deduireWnpour totun.

4)a) Montrer queWnest equivalent aWn+1quandn! 1.

b) On poseun= (n+ 1)WnWn+1, pourn0. Que peut-on dire de la suite (un)? c) En deduire que W nr

2nquandn! 1:

5) On suppose connue l'equivalence

n!Cpn ne nquandn! 1; pour une certaine constanteC. Montrer a l'aide des questions precedentes queC=p2.

Exercice 16

Soient1< a <1 et pourn2N,t2[0;=2],un(t) =ancosn(t).

1) Montrer que la serie de fonctionsX

n0u nconverge uniformement sur [0;=2] vers une fonction limite que l'on determinera.

2) En deduire queZ=2

0dt1acost=+1X

n=0 Z=2 0 cosn(t)dt! a n:

Exercice 17

1) Soientf;g: [a;b]!Rcontinues, avecg0. Montrer qu'il existec2[a;b] tel que

Z b a fg=f(c)Z b a g :

2) SoitH:]1;+1[!Rdenie par

H(x) =Z

x2 x1lntdt:

Etudier la monotonie deH, son comportement au voisinage de +1et au voisinage de 1 (on pourra utiliser

le resultat de 1) pour l'etude deHen 1). 4

Exercice 18

Soitf: [a;b]!C,a < bet pour2R+on denit

I() =Z

b a f(t)sin(t)dt: Claculer la limite deI() quand! 1dans les cas suivants :

1)fest constante; 2)festC1; 3)fest en escalier; 4)festCM(continue par morceaux).

Exercice 19

Soitune fonction continue a support compact.

1) Montrer que l'on a : lim

k!1R(t)jsinktjdt=2 R(t)dt. Utiliser le fait queest limite uniforme de fonctions en escaliers (le verier).

2) Montrer que si F est une fonction continue periodique de periodeT, on a de m^eme :

lim k!1Z (t)F(kt)dt=1T ZT 0

F(u)du

Z (t)dt

Exercice 20

1) Montrer que ;Z

1

011 +xpdx=1X

n=0(1)nnp+ 1(p >0).

Indication : on pourra considerer, poura <1, l'integrale de0aaet developper l'integrande en serie entiere;

il faudra ensuite montrer la convergence d'une certaine serie de fonction de la variableaquandatend vers

1.

2) TrouverCtel que1X

N(1)nnp+ 1N!1(1)nCN

Exercice 21

Soitf: [0;1]!Rune fonction continue

1) On poseh(x) = lnxRx

0f(t)dtsix2]0;1];h(0) = 0. Montrer quehest continue. Montrer queR1

0(lnt)f(t)dt

est absolument convergente.

2) On denitg: [0;1]!R;g(x) = lnxRx

0f(t)dt+R1

x(lnt)f(t)dtsix2]0;1]; g(0) =R1

0(lnt)f(t)dt. Montrer quegest de classeC1.

Exercice 22

Soient0 et pourn2N,x2[0;1],fn(x) =nxn(1x).

1) Montrer que la suite de fonctionsffngconverge simplement sur [0;1] vers une fonction limite que l'on

determinera.

2) Montrer queffngconverge uniformement sur [0;a] pour tout 0< a <1.

3) Pour quelles valeurs dela suiteffngconverge-t-elle uniformement sur [0;1] ?

4) Calculer en fonction de, limn!+1Z

1 0 f n(x)dx.

Exercice 23

1) Exprimer a l'aide des fonctions usuellesf(t) =P1

0t2n+12n+1, pourt2]1;1[ ainsi queIn(t) =Rt

0unlnudu.

2) On poseg(t) =P1

0t2n+1(2n+1)2, pourt2]1;1[. Exprimer a l'aide deget des fonctions usuelles, l'integrale

J(t) =Rt

0lnu1u2du(t2]1;1[). En deduireJ(1) comme somme d'une serie. Montrer queg(1) =R1

0t2shtdt.

5

Exercice 24

Soienta;b2R,a < b, etf:R!Rune fonction periodique continue de periodeT >0. Pourn2Non pose I n(f) =Z b a f(nt)dt:

1) Montrer que pour toutx2R,Zx+T

x f(t)dt=Z T 0 f(t)dt:

2) La suite de fonctionsfn(t) =f(nt) converge-t-elle simplement sur [a;b] ?

3) Calculer limn!+1In(f).

Exercice 25

1) Pour la suite de fonctionsfn: [0;1]!R

f n(x) =nx(1 +n2x2)2 calculer lim n!1fn(x). La convergence est-elle uniforme ? A-t'on lim n!1Z 1 0 f n(x)dx=Z 1 0 limn!1fn(x)dx?

2) M^emes questions pour la suitegn: [0;1]!Rdonnee pargn(x) =n2x(1 +n2x2)2:

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