[PDF] Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés

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"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page i - #3

Table des matières

Avant propos ii

1 Intégrale de Riemann 1

1.1 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann . . . . . . . .

6

1.3 Propriétés générales de l"intégrale de Riemann . . . . . .

16

1.4 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1 . . . . .

31

2 Primitives et intégrales 55

2.1 Intégrale indéfinie et primitive . . . . . . . . . . . . . .

55

2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.4 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.5 Limite uniforme dans les intégrales . . . . . . . . . . . .

80

2.6 Calcul approché d"une intégrale . . . . . . . . . . . . .

82

2.7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

89

3 Intégrales généralisées 141

3.1 Notion d"intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . .

141

3.2 Propriétés des intégrales généralisées . . . . . . . . . . .

146

3.3 Intégrales généralisées des fonctions positives . . . . . .

148

3.4 Calcul pratique des intégrales généralisées . . . . . . . .

151

3.5 Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . .

159

3.6 Intégrales semi-convergentes. Règle d"Abel . . . . . . .

163

3.7 Intégrales généralisées et séries . . . . . . . . . . . . . .

165

3.8 Cas des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . .

168
iRetrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page ii - #4 ii INTÉGRATION3.9 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .170

4 Intégrales dépendant d"un paramètre 223

4.1 Intégrales définies dépendant d"un paramètre . . . . . .

224

4.2 Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . .

231

4.3 Convergence monotone, convergence dominée . . . . . .

247

4.4 Théorèmes de continuité et de dérivabilité . . . . . . . .

250

4.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

257

5 Intégrales multiples, intégrales curvilignes 319

5.1 Définition de l"intégrale multiple de Riemann . . . . . .

319

5.2 Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini . . . . . . . .

322

5.3 Théorème de changement de variables . . . . . . . . . .

325

5.4 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

5.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre . . . . . .

334

6 Problèmes de révision et de synthèse 369

A Rappels d"analyse fondamentale 477

A.1 Bornes supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . 477
A.2 Continuité et limites de fonctions d"une variable . . . . . 479
A.3 Dérivabilité en une variable . . . . . . . . . . . . . . . . 487
A.4 Limite et continuité en plusieurs variables . . . . . . . . 494
A.5 Différentielle et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . 497

Bibliographie 503

Index 505Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page iii - #5

Avant-proposiiiAvant-propos

S"il est incontestable que l"intégrale de Lebesgue constitue aujourd"hui l"un des outils les plus performants pour de nombreuses questions théo- est l"outil incontournable dès lors que se pose la question fondamentale du calcul effectif des intégrales ou de leur approximation. Le but de cet ouvrage est de présenter de manière claire et détaillée la construction de l"intégrale de Riemann ainsi que l"essentiel des théo- rèmes permettant son utilisation pratique. Nous avons essayé d"éviter tout formalisme inutile, et la rédaction de ce travail a d"abord été guidée par un souci pédagogique. Nous avons constamment recherché l"équi- libre nécessaire entre les points de vue théorique et pratique, et avons veillé à ce que les concepts et les méthodes proposés soient illustrés de nombreux exemples. Chacun des cinq premiers chapitres offre un grand choix d"exercices ju- dicieusement sélectionnés en vue d"une bonne assimilation des concepts et d"une réelle maîtrise des techniques. Le chapitre six est lui entière- ment consacré à des problèmes de révision destinés au travail d"appro- fondissement et de synthèse en vue des examens et des concours. Enfin, pour la commodité du lecteur, une annexe regroupe les rappels utiles pour un accès rapide et efficace au contenu de cet ouvrage. Tous les exercices et problèmes proposés sont corrigés en détail et nous que peut découvrir l"étudiant lui-même, à une éventuelle solution "mi- raculeuse". Pour cela, nous avons tenu le plus grand compte des nom- breuses remarques et suggestions formulées par les étudiants lors des séances de travaux dirigés et de préparation aux concours pendant les- quelles un grand nombre de ces exercices et problèmes ont été assidû- ment et activement recherchés. Cet ouvrage bénéficie d"une expérience de plusieurs années en théorie de l"intégration à l"Université d"Angers et, à l"instar de mes collègues

universitaires et professeurs en classes préparatoires, je suis profondé-Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page iv - #6 iv INTÉGRATIONment convaincu que la maîtrise à la fois conceptuelle et technique de l"intégrale de Riemann est un atout essentiel pour l"accès aux nombreux champs d"applications de l"Analyse mathématique ainsi qu"à la prépa- ration du terrain en vue d"autres théories, notamment celle de Lebesgue. Le contenu de ce livre couvre le programme d"intégration des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques ainsi que celui correspon- dant aux niveaux L1 et L2 des Facultés de Sciences. Par la diversité des exercices et problèmes qu"il propose, cet ouvrage sera également utile aux candidats au CAPES et à l"agrégation interne. Enfin, ce livre est pourvu d"un index détaillé permettant une approche adaptée aux besoins de chaque lecteur. C"est avec un grand plaisir que j"adresse mes remerciements à monsieur Philippe Fauvernier des Édtions Hermann pour sa parfaite disponibilité, ainsi qu"au Professeur Ivan Lavallée pour ses précieux conseils.

Je dédie ce travail à Frédérique, Karim, Mourad et Nessim.Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 1 - #7

Chapitre 1

Intégrale de Riemann

Dans une lettre à Leibniz

1datée du 12 février 1695, Jean Bernoulli2

écrit : "J"ai été le premier à réfléchir à l"inverse de votre calcul différen-

tiel que j"ai désigné aussi du nom de calcul intégral ". Mais c"est Rie- mann

3qui, dans sa thèse de doctorat soutenue en 1854, élabore la théo-

rie rigoureuse de ce qu"on appelle aujourd"hui l"intégrale de Riemann.

4,auteurdans

les années 1820 d"une première théorie essentiellement rigoureuse de l"intégration des fonctions continues. Les deux grands précurseurs de la théorie de l"intégration au XVIIIe sont incontestablement Newton

51. LEIBNIZ Gottfried (1646-1716). Mathématicien et philosophe allemand. Dis-

ciple de Descartes. Il inventa le calcul différentiel en 1676, en même temps que Newton.

2. BERNOULLI Jean (1667-1748). Mathématicien et physicien suisse. Contribua

avec son frère Jacques au développement du calcul infinitésimal. Il découvrit le calcul exponentiel et eut aussi la gloire de former l"illustre mathématicien et physicien suisse :

Leonhard Euler.

3. RIEMANN Bernhard (1826-1866). Mathématicien allemand. Il jeta les bases

de la géométrie différentielle et ouvrit la voie aux géométries non-euclidiennes et à

la théorie de la relativité générale. On lui doit d"importants travaux sur les intégrales,

poursuivant ceux de Cauchy, qui ont donné entre autres ce qu"on appelle aujourd"hui les intégrales de Riemann.

4. CAUCHY Augustin (1789-1857). Mathématicien français. Il est à l"origine de

l"analyse moderne : on lui doit notamment la théorie des équations différentielles et la théorie mécanique de l"élasticité.

5. NEWTON Isaac (1642-1727). Physicien anglais. Un des plus grands scienti-

fiques des temps modernes. Apporta des contributions majeures aussi bien en physique qu"en mathématiques. Il entama l"étude des fonctions dérivables et de leurs dérivées

1Retrouver ce titre sur Numilog.com

"RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 2 - #8

2 INTÉGRATIONqui développa sous le nom defluxionune approche systématique de la

réciproque de la dérivation, et Leibniz pour son approche géométrique fondée sur le calcul d"aire. Notations :Dans tout ce chapitre, on se placera sur un intervalle com- pact (c"est-à-dire fermé et borné)[a;b]deR, non vide ni réduit à un point(1< a < b <+1). Pour la clarté de l"exposé, nous considè- rerons essentiellement les fonctions à numérique, c"est-à-dire les fonc- tions à valeurs réelles. Nous expliquerons la démarche à suivre pour les fonctions à valeurs complexes, et plus généralement pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé complet quelconque.

1.1 Intégrale des fonctions en escalier

1.1.1

Espace v ectorieldes f onctionsen escalier

Définition 1.1.2On appellesubdivisionde l"intervalle compact[a;b] toute suite finie et strictement croissante de points de[a;b], dont le pre- mier terme esta, et le dernierb. Une subdivision de[a;b]sera notée:= (a0=a;a1;;an=b). tué par les points de la suite. Siet0sont deux subdivisions de[a;b], on dit que0est plusfine quesi les ensemblesS;S0respectivement associés à;0, vérifient l"inclusionSS0. En d"autres termes, la subdivision0est plus fine quesi tous les éléments deappartiennent à0. On note[0 la subdivision00dont l"ensemble associé est la réunion des ensembles associés àet0. Définition 1.1.3Une fonctionf: [a;b]!Rest diteen escaliers"il

existeunesubdivision(a0;:::;an)de[a;b]etdeséléments1;:::;net rédigea un compte rendu sur les fondements du calcul infinitésimal. Newton a fondé

l"analyse moderne. En géométrie, il classifia les cubiques et en donna des tracés corrects avec asymptotes, inflexions et points de rebroussement. En physique, ses contributions sont immenses, notamment en optique et en mécanique, avec la mise en place de sa théorie de l"attraction universelle.Retrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 3 - #9

Chapitre 1. Intégrale de Riemann3deRtels que

(1.1)8i2 f1;:::;ng;8x2]ai1;ai[; f(x) =i: On dit alors que la subdivisionestadaptéeàf. Exemple 1.1.4La fonctionx7!E(x)oùE(x)désigne la partie en- tière dex, est en escalier sur tout intervalle compact deR. Remarque 1.1.5Une fonction en escalier n"est en fait pas spécifiée aux pointsaide la subdivisionconsidérée, et l"intégraleI(f;)ne dé- pend donc pas defen ces points. 1.1.6 Construction de l"intégrale d"une f onctionen escalier On noteE([a;b];R)l"ensemble des fonctions en escalier sur[a;b]

à valeurs dansR.

Théorème et définition 1.1.7Soientf2 E([a;b];R)et(ai)0inune subdivision adaptée àf. On noteila valeur defsur l"intervalle ]ai1;ai[ (1in). Alors le nombre réelPn i=1i(aiai1) ne dépend pas de la subdivision adaptée àfconsidérée. On l"appelle l"intégrale defsur[a;b], et on le noteRb af(x)dx. Démonstration :Notonsla subdivision(ai)0inet posons

I(f;) :=nX

i=1 i(aiai1): Soit0la subdivision de[a;b]obtenue en ajoutant un seul élémentcà , distinct des éléments de. Il existe un entierj2 f1;:::;ngtel que c2]aj1;aj[. La fonctionfest constante et égale àjsur]aj1;aj[ donc sur]aj1;c[et sur]c;aj[. La subdivision0est donc adaptée à fet on a j(ajaj1) =j(caj1) +j(ajc):

On en déduit queI(f;) =I(f;0).

Il en résulte par récurrence sur le nombre fini d"éléments de[a;b]à ad- joindre à, queI(f;) =I(f;0)si0est plus fine que.Retrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 4 - #10

4 INTÉGRATIONEnfin,siet0sontdeuxsubdivisionsquelconquesadaptéesàlafonc-

tionf, les deux nombres réelsI(f;)etI(f;0)sont l"un et l"autre

égaux àI(f;[0).

Remarques 1.1.8a) Une conséquence immédiate de la définition 1.1.3 est que sifest une fonction nulle en dehors d"un nombre fini de points de[a;b], alorsfest en escalier sur[a;b]etRb af(x)dx= 0. b) Sifetgsont deux fonctions en escalier égales sur[a;b]sauf peut-

être en un nombre fini de points, alorsRb

af(x)dx=Rb ag(x)dx: c) Enfin, il découle clairement de la définition que l"intégrale d"une fonction en escalier réelle positive est positive. Lemme 1.1.9Muni des lois usuelles, l"ensembleE([a;b];R)est unR- sous-espace vectoriel de l"espace des fonctions de[a;b]dansR, et l"applicationf7!Rb af(x)dxdeE([a;b];R)dansRest linéaire. Démonstration :Soient;deux scalaires etf;gdeux éléments deE([a;b];R). Soientet0deux subdivisions de[a;b]adaptées respectivement àfet àg. Alors, la subdivision[0est adaptée à la fois àfet àg, etf+gest constante sur chaque intervalle ouvert de[0, doncf+gest en escalier sur[a;b]. En calculant l"intégrale def+gau moyen de[0, on obtient aussitôt Z b a (f+g)(x)dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx:

D"où le lemme.

On munitE([a;b];R)de la norme uniformek k1définie par kfk1:= sup x2[a;b]jf(x)j où lesupest nécessairement fini carfne prend qu"un nombre fini de valeurs.Retrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 5 - #11 Chapitre 1. Intégrale de Riemann5Proposition 1.1.101) La forme linéaire8><

E([a;b];R);k k1!R

f7!Z b a f(x)dx est continue.

2)Sif;g2 E([a;b];R),alors:fg)Z

b a f(x)dxZ b a g(x)dx:

3) Sif2 E([a;b];R), alorsjfj 2 E([a;b];R+)et

Z b a f(x)dxZ b a jf(x)jdx:

Démonstration :1) Pour toutf2 E([a;b];R), on a

Z b a f(x)dx(ba) kfk1 ce qui montre que la forme linéaire considérée est continue en 0, donc continue en tout point deE([a;b];R).

2) Par linéarité, il suffit de montrer queRb

a(g(x)f(x))dx0, ce qui découle immédiatement du point c) des remarques 1.1.8.

3) Soit= (ai)0inune subdivision de[a;b]adaptée à la fonc-

tionftelle quefsoit constante et égale àisur chaque intervalle ]ai1;ai[ (1in). Alorsest également adaptée àjfjet on a nX i=1 i(aiai1)nX i=1jij jaiai1j; d"où le résultat annoncé. Proposition 1.1.11Soientf: [a;b]!Rune fonction en escalier etc un élément de]a;b[. Alors la restriction defà[a;c](resp.[c;b]) est une fonction en escalier sur[a;c](resp.[c;b]) et on a Z b a f(x)dx=Z c a f(x)dx+Z b c f(x)dx: Démonstration :Il suffit, pour obtenir le résultat, de considérer une subdivision adaptée àfcontenant le pointc.Retrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 6 - #12

6 INTÉGRATION1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann

Nous allons étendre la notion d"intégrale à une classe beaucoup plus gé- nérale que celle des fonctions en escalier; et cette extension sera guidée par le souci de conserver, pour ces nouvelles fonctions, les propriétés acquises au paragraphe précédent pour l"intégrale des fonctions en es- calier. Définition 1.2.1Une fonctionf: [a;b]!Rest diteintégrable au sens de Riemann(ouRiemann-intégrable) sur[a;b]si, quel que soit le nombre réel" >0, il existe une couple(g;h)de fonctions en escalier sur[a;b]vérifiant : gfhsur [a;b] etZ b a [h(x)g(x)]dx": Remarques 1.2.21) De cette définition il résulte que toute fonction in- tégrable au sens de Riemann sur[a;b]est nécessairemnt bornée sur ce segment puisque les fonctions en escalier sont elles-mêmes bornées.

2) Il est facile de voir quef: [a;b]!Rest intégrable si et seulement

si, pour tout" >0, il existe des fonctions en escalier'etsur[a;b] telles que

8x2[a;b];jf(x)'(x)j (x) etZ

b a (x)dx": En effet, donnons-nous" >0. S"il existegethen escalier sur[a;b] vérifiantgfhetRb a[h(x)g(x)]dx";alors il suffit de prendre'= (g+h)=2et= (hg)=2. Réciproquement, si'etsont en escalier sur[a;b]et vérifientjf 'j etRb a(x)dx", il suffit de prendreg= (')=2et h='+)=2. N.B.Comme il ne sera question dans ce chapitre d"aucune autre inté- grale que celle de Riemann, nous dirons "intégrable" au lieu de "inté- grable au sens de Riemann ". À chaque fonctionfdéfinie sur[a;b], associons les deux ensembles suivants : E (f) :=g2 E([a;b];R);gfsur [a;b]Retrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 7 - #13

Chapitre 1. Intégrale de Riemann7et

E +(f) :=h2 E([a;b];R);fhsur [a;b]:

Posons

A (f) := Zb a g(x)dx;g2 E(f) et A +(f) := Zb a h(x)dx;h2 E+(f) Quels que soientu2A(f)etv2A+(f), on a évidemmentuv. et seulement si la fonctionfest bornée. Dans ce cas, l"ensembleA(f) est majoré par tout élément deA+(f)et possède donc une borne supé- rieure finie, que nous notonsI(f); de même l"ensembleA+(f)est minoré par tout élément deA(f)et possède donc une borne inférieure finie, que nous notonsI+(f). On a alors uI(f)I+(f)v pour toutu2A(f)et toutv2A+(f). Soit alors" >0arbitrairement donné. Sifest intégrable, il existe des

éléments

u:=Z b a g(x)dx2A(f) etv:=Z b a h(x)dx2A+(f) vérifiantvu < "; on a donc l"égalitéI(f) =I+(f). Réciproquement, si on aI(f) =I+(f), les propriétés des bornes supérieure et inférieure entraînent l"existence d"un élémentu2A(f) et d"un élémentv2A+(f)vérifiant u > I (f)"2 etv < I+(f) +"2 d"oùvu < ", ce qui prouve quefest intégrable. On a donc établi le résultat suivant. Théorème 1.2.3À chaque fonction numériquefdéfinie et bornée sur un intervalle compact[a;b]deR, associons l"ensembleE+(f)(resp.Retrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 8 - #14

8 INTÉGRATIONE

(f)) constitué par les fonctions numériques en escalier majorant (resp. minorant)fsur[a;b]; et posons I (f) := sup g2E(f)Z b a g(x)dxetI+(f) := infh2E+(f)Z b a h(x)dx: Alors, pour quefsoit intégrable sur[a;b]il faut et il suffit que l"on ait I (f) =I+(f). Remarque 1.2.4Sifest en escalier, les ensemblesE+(f)etE(f) ont en commun l"élémentf. On a alors I (f) =I+(f) =Z b a f(x)dx: La fonctionfest donc intégrable, et son intégrale est égale au nombre I (f) =I+(f). À chaque fonction intégrablef: [a;b]!R, associons le nombre I (f) =I+(f). D"après la remarque précédente, la fonction ainsi dé- finie constitue un prolongement de la fonctionI:f7!Rb af(x)dx définie sur l"ensemble des fonctions en escalier sur[a;b]. On peut donc poser la définition suivante. Définition 1.2.5L"intégrale d"une fonction intégrablefsur[a;b]est le nombre réelI(f) =I+(f). On le noteRb af(x)dx. À partir de la définition, nous allons déduire très facilement une pre- mière propriété fondamentale de l"intégrale. Proposition 1.2.6Sifest une fonction positive et intégrable sur l"in- tervalle[a;b], son intégrale est positive (éventuellement nulle). Démonstration :Puisquefest positive sur[a;b], la fonction nulle appartient à l"ensembleE(f), donc02A(f), et on a I (f) := supA(f)0; d"où le résultat annoncé.Retrouver ce titre sur Numilog.com "RiemannMaitre" - 2009/9/25 - 11:03 - page 9 - #15 Chapitre 1. Intégrale de Riemann91.2.7Principaux exemples de f onctionsintégrables Proposition 1.2.8Toute fonctionfnumérique monotone sur un inter- valle compact[a;b]est intégrable.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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