Intégrale de Riemann
Exercices : Barbara Tumpach. Relecture : François Lescure. Exo7. Intégrale de Riemann σ f ≤ Sσ f +ε. 2 Propriétés de l'intégrale de Riemann. Exercice 1. En ...
Intégrale de Riemann Sommes de Riemann 1) 2) π 3) Exercice 8
d) En déduire la limite de (un). 4. Thierry Sageaux. Page 5. Intégrale de Riemann. Exercice
Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés
1 févr. 2014 Remarque 1.1.5 Une fonction en escalier n'est en fait pas spécifiée aux points ai de la subdivision σ considérée et l'intégrale I(f
TD2 : Fonction Riemann intégrable intégrale de Riemann Exercice
Intégrale de fonctions de la variable réelle. TD2 : Fonction Riemann intégrable intégrale de Riemann. Exercice 1. 1. Rappeler la définition d'une fonction
Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques
Exercices corrigés. Licence STS. L2 Mathématiques et Économie. Université Lyon Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.
Intégration Pascal Lainé 1
Alors est Riemann-intégrable. Et on pourra utiliser une forme de l'inégalité triangulaire. Allez à : Correction exercice 8. Exercice 9. Soient
Exercices corrigés
Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des ensembles intégrale eny comme intégrale de Riemann (ou de Lebesgue sur [01] – les ...
———————————– Exercices sur lIntégrale de Riemann
a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)n sur [−aa] pour a > 0. b) Même queion sur [0
EXERCICES SUR LINTEGRALE DE RIEMANN
on montre tout d'abord (1) lorsque f est en escalier puis on traite le cas général par passage à la limite. 3. Page 4. Corrigé. 1. Si f est une fonction en
Intégrale de Riemann
3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2. Montrer qu'une fonction monotone sur [ab] est Riemann-intégrable sur [a
Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8
Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de ses bornes. Savoir calculer une primitive une intégrale de. Riemann.
Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés
1 févr. 2014 Remarque 1.1.5 Une fonction en escalier n'est en fait pas spécifiée aux points ai de la subdivision ? considérée et l'intégrale I(f
Intégrale de Riemann Sommes de Riemann 1) 2) ? 3) Exercice 8
d) En déduire la limite de (un). 4. Thierry Sageaux. Page 5. Intégrale de Riemann. Exercice
Intégration Pascal Lainé 1
Est une somme de Riemann associe à sur . Allez à : Correction exercice 1. Exercice 2. Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.
Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices
Exercice 24.10 Soit f continue sur [01]
———————————– Exercices sur lIntégrale de Riemann
— Etablir que la limite simple d'une suite de fonions convexes d'un intervalle I vers R e convexe. Exercice .— Soient fn : [01] ?? R des fonions
Calculs dintégrales
Exercice 8. Calculer les intégrales suivantes : Exercice 10 Intégrales de Wallis ... La formule générale pour les sommes de Riemann est que ? b.
Travaux dirigés feuille 1 : intégrales de Riemann
Utiliser la fonction indicatrice de Q ? [01] pour montrer que la Riemann- intégrabilité n'est pas stable par limite simple. Exercice 3. Soit f : [a
Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques
Annexe C. Annales 2011-2012 Texte et corrigé de l'examen de session 1 Exercice 18 (sommes de Riemann pour les intégrales doubles). Soient a
Calculs d"intégrales
Fiche d"Arnaud Bodin, soigneusement relue par Chafiq Benhida1 Utilisation de la définition
Exercice 1Soitfla fonction définie sur[0;4]par
f(x) =8 >>>>>:1 six=01 si 0 3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
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4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
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Calculer
R40f(t)dt.
2.Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]?Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex;Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR10f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR10f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d.Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 11.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3.Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4.Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5.Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7.Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1.Rx2lnxdx
2.Rxarctanxdx
3.RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4.Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1.R(cosx)1234sinxdx
2.R1xlnxdx
3.R13+exp(x)dx
4.R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x23x4dx
2. Rx1x2+x+1dx
3.Rsin8xcos3xdx
4.R1sinxdx
5.R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p20xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R101(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R103x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2011+sinxdxetZ
p20sinx1+sinxdx:
p20(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR111x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3.Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
pSoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2.Calculer In+In+1.
3.Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1:Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale.Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n22.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ?Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban:Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2.Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3.On remarquera que
R10f(x)dx12
=R10(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. PourRxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1.Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2.R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3.R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4.R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x2+x+1dx=12
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