Intégrale de Riemann
Exercices : Barbara Tumpach. Relecture : François Lescure. Exo7. Intégrale de Riemann σ f ≤ Sσ f +ε. 2 Propriétés de l'intégrale de Riemann. Exercice 1. En ...
Intégrale de Riemann Sommes de Riemann 1) 2) π 3) Exercice 8
d) En déduire la limite de (un). 4. Thierry Sageaux. Page 5. Intégrale de Riemann. Exercice
Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés
1 févr. 2014 Remarque 1.1.5 Une fonction en escalier n'est en fait pas spécifiée aux points ai de la subdivision σ considérée et l'intégrale I(f
TD2 : Fonction Riemann intégrable intégrale de Riemann Exercice
Intégrale de fonctions de la variable réelle. TD2 : Fonction Riemann intégrable intégrale de Riemann. Exercice 1. 1. Rappeler la définition d'une fonction
Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques
Exercices corrigés. Licence STS. L2 Mathématiques et Économie. Université Lyon Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.
Intégration Pascal Lainé 1
Alors est Riemann-intégrable. Et on pourra utiliser une forme de l'inégalité triangulaire. Allez à : Correction exercice 8. Exercice 9. Soient
Exercices corrigés
Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des ensembles intégrale eny comme intégrale de Riemann (ou de Lebesgue sur [01] – les ...
———————————– Exercices sur lIntégrale de Riemann
a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)n sur [−aa] pour a > 0. b) Même queion sur [0
EXERCICES SUR LINTEGRALE DE RIEMANN
on montre tout d'abord (1) lorsque f est en escalier puis on traite le cas général par passage à la limite. 3. Page 4. Corrigé. 1. Si f est une fonction en
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
b. √. 1− x2 a2 dx. Indication pour l'exercice 14 △. On pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann puis calculer des intégrales. Pour le produit.
Intégrale de Riemann
3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2. Montrer qu'une fonction monotone sur [ab] est Riemann-intégrable sur [a
Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8
Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de ses bornes. Savoir calculer une primitive une intégrale de. Riemann.
Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés
1 févr. 2014 Remarque 1.1.5 Une fonction en escalier n'est en fait pas spécifiée aux points ai de la subdivision ? considérée et l'intégrale I(f
Intégrale de Riemann Sommes de Riemann 1) 2) ? 3) Exercice 8
d) En déduire la limite de (un). 4. Thierry Sageaux. Page 5. Intégrale de Riemann. Exercice
Intégration Pascal Lainé 1
Est une somme de Riemann associe à sur . Allez à : Correction exercice 1. Exercice 2. Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.
Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices
Exercice 24.10 Soit f continue sur [01]
———————————– Exercices sur lIntégrale de Riemann
— Etablir que la limite simple d'une suite de fonions convexes d'un intervalle I vers R e convexe. Exercice .— Soient fn : [01] ?? R des fonions
Calculs dintégrales
Exercice 8. Calculer les intégrales suivantes : Exercice 10 Intégrales de Wallis ... La formule générale pour les sommes de Riemann est que ? b.
Travaux dirigés feuille 1 : intégrales de Riemann
Utiliser la fonction indicatrice de Q ? [01] pour montrer que la Riemann- intégrabilité n'est pas stable par limite simple. Exercice 3. Soit f : [a
Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques
Annexe C. Annales 2011-2012 Texte et corrigé de l'examen de session 1 Exercice 18 (sommes de Riemann pour les intégrales doubles). Soient a
Exercices : Barbara Tumpach
Relecture : François LescureExo7
Intégrale de Riemann
1 Rappel
Soientfune fonction bornée ets=fa0=a2 Propriétés de l"intégrale de Riemann
Exercice 1En utilisant la définition d"une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :
1. Si fetgsont Riemann-intégrables sur[a;b], alorsf+gest Riemann-intégrable sur[a;b]. 2. Si fest Riemann-intégrable sur[a;b]etl2R, alorslfest Riemann-intégrable sur[a;b]. 3. Si fetgsont deux fonctions Riemann-intégrables sur[a;b]telles que, pour toutt2[a;b],f(t)6g(t), alorsRb af(t)dt6Rb ag(t)dt. 4. Une limite uniforme de fonctions Riemann-intégrables sur [a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. Exercice 2Montrer qu"une fonctionmonotonesur[a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. Montrer qu"une fonctioncontinuesur[a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. 11.Montrer que la fonction f:[0;1]!Rdéfinie par :
f(x) =1 six2Q0 six2RnQ
n"est pas Riemann-intégrable sur[0;1]. 2.Montrer que la fonction g:[0;1]!Rdéfinie par :
g(x) = 1q six=pq avecpetqpremiers entre eux0 six2RnQoux=0
est Riemann-intégrable sur[0;1]. On dit qu"une partieAdeRestnégligeablesi, pour tout nombre réele>0, il existe une suite(In)n2N d"intervallesIn=]an;bn[telle que : A[ n2NI netå n2N(bnan)6e: 1. Montrer qu"une réunion dénombrable d"ensembles négligeables est un ensemble négligeable. 2.Montrer qu"une fonction bornée f:[a;b]!Rest intégrable au sens de Riemann sur[a;b]si et seulement
si l"ensemble des points oùfn"est pas continue estnégligeable.Exercice 6Pour toutn2N, on définitfn:]0;1]!Rpar :fn(x)=nenx. Montrer que la suite(fn)n2Rconverge simplement
vers une fonctionfsur]0;1]mais que Z 10limn!+¥fn(x)dx6=limn!+¥Z
10fn(x)dx:
Vérifier que la convergence de(fn)n2Nversfn"est pasuniformesur]0;1]. Exercice 7Montrer que, sif:[a;b]!Rest une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : 1baZ b af(t)dt=limn!+¥1n nå k=1f a+kbanEn déduire les limites suivantes :
a)limn!+¥1n nå k=1tankn b)limn!+¥nå k=1nn2+k2c)limn!+¥nå
k=1lognn+k 1n 21.Montrer que si f:[a;b]!Rest Riemann-intégrable, alors
Z b af(x)dx=Z b af(a+bx)dx: 2. Calculer (en utilisant 1.) les intégrales sui vantes: a)Z p0xsinx1+cos2xdx b)Z
p40log(1+tanx)dx:
Rappel :tan(ab) =tan(a)tan(b)1+tan(a)tan(b)
Correction del"exer cice1 N1.Soit e>0 donné. Puisquefest Riemann-intégrable sur[a;b], il existe une subdivisions1=fa0=
afa0;:::;an;b0;:::;bngpar ordre croissant, puis en identifiant les points qui apparaissent plusieurs fois
(on obtient une subdivision de[a;b]enqintervalles avecmaxfn;pg6q6n+p). Puisques1[s2est une subdivisionplus fineques1, on a :S s1[s2f6S s1fetSs 1f6Ss1[s2f:(1)
De même,S
s1[s2g6S s2getSs 2g6Ss1[s2g:(2)
De plus, sur un intervalle]ck1;ck[donné, on a : +supfg(x);x2]ck1;ck[g:De même :
+inffg(x);x2]ck1;ck[g:On en déduit que :S
s1[s2f+g6S s1[s2f+S s1[s2g;(3) et Ss1[s2f+Ss
1[s2g6Ss
1[s2f+g:(4)
En utilisant les inégalités (
1 2 3 ) et ( 4 ), il vient alors :S s1[s2f+g6S s1f+S s2g6Ss 1f+Ss2g+e6Ss
1[s2f+g+e:
D"après le théorème rappelé en introduction, on en déduit quef+gest Riemann-intégrable sur[a;b]. De
plus, de l"inégalité Ss 1f+Ss 2g6Ss1[s2f+g;
on déduit que sup s 1;s2 Ss 1f+Ss 2g 6sup s1;s2Ss
1[s2f+g:
Or sup s 1;s2 Ss 1f+Ss 2g =sup s 1Ss1f+sup
s 2Ss 2g=Z b af(x)dx+Z b ag(x)dx et sup s1;s2Ss
1[s2f+g=sup
sSs f+g=Z b a(f(x)+g(x))dx: Ainsi Zb af(x)dx+Z b ag(x)dx6Z b a(f(x)+g(x))dx:De même, l"inégalitéS
s1[s2f+g6S s1f+S s2g implique Rb a(f(x)+g(x))dx6Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx. Enconclusion,Rb a(f(x)+g(x))dx=Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx. 42.Pourl=0 il n"y a rien a démontrer.
Sifest Riemann-intégrable sur[a;b]etl>0, alors pour tout subdivisions=fa0=a<En conclusion,lfest Riemann-intégrable etRb
alf(x)dx=lRb af(x)dx. Sifest Riemann-intégrable sur[a;b]etl<0, alors pour tout subdivisions=fa0=a<En conclusion,lfest Riemann-intégrable etRb
alf(x)dx=lRb af(x)dx. 3. Soient fetgdeux fonctions Riemann-intégrables sur[a;b]telles que, pour toutt2[a;b],f(t)6g(t).Soits=fa0=a< Il en découle que
sup sSs f6sup sSs f; c"est-à-dire Rb af(x)dx6Rb ag(x)dx. 4. Soit ffigi2Nune suite de fonctions Riemann-intégrables, qui converge uniformément versfsur[a;b].
Soite>0 donné. Il existeN>0 tel que8i>N, sup[a;b]jfi(t)f(t)jinf]ak1;ak[fie En particulier :
sup ]ak1;ak[finf]ak1;ak[f6sup ]ak1;ak[f iinf]ak1;ak[fi+2e: Il en découle que :S
s fSs f6S s f iSs f i+2e(ba): Commefiest Riemann-intégrable, d"après le théorème de l"introduction, il existe une subdivisionsde
[a;b]telle queSquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
Il en découle que
sup sSs f6sup sSs f; c"est-à-dire Rb af(x)dx6Rb ag(x)dx. 4.Soit ffigi2Nune suite de fonctions Riemann-intégrables, qui converge uniformément versfsur[a;b].
Soite>0 donné. Il existeN>0 tel que8i>N, sup[a;b]jfi(t)f(t)jEn particulier :
sup ]ak1;ak[finf]ak1;ak[f6sup ]ak1;ak[f iinf]ak1;ak[fi+2e:Il en découle que :S
s fSs f6S s f iSs f i+2e(ba):Commefiest Riemann-intégrable, d"après le théorème de l"introduction, il existe une subdivisionsde
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