[PDF] Corrigé du TD 3 :Intégration Numérique

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Dept de Mathématiques Université Batna 2 (2020-2021)

Analyse Numérique1 (2ème Année S.A.D)Mme O.BouhoufaniCorrigé du TD 3 :"Intégration Numérique"

Exercice 1.Soient :I1=R1

0ex2dx; I2=R

0sinxdx:

1. Déter minonsune v aleurappro ximativede I1, en utilisant la méthode du trapèze simple (n=1) puis par celle du trapèze généralisée(n= 2);en estimant l"erreur théorique à chaque fois.

1.1) Trapèze simple (n= 1): Pourf(x) =ex2;a= 0etb= 1;on a

I 1'ba2 [f(a) +f(b)] 102
e0+e1=12 (1 +e1) = 0;6839:

Donc la valeur0;6839est une approximation pourR1

0ex2dx:

* Pour l"erreur théorique : On af2C2([0;1]);d"où

R(f) =h312

f(2)(); 2[a;b];h=ba:

Par suite

jR(f)j=(ba)312 f(2)() 112

M;(0.1)

oùM= max01f(2)(): On af(x) =ex2;alorsf0(x) =2xex2et aussif00(x) = 2xex2(2x21):En utlisant le tableau de variation def00;on peux vérifier quef00est croissante sur[0;1]:Ainsi,

M= max01f(2)()=f(2)(1)= 2e1'0;7358:

En substituant ceci dans (0.1), on obtient l"estimation suivante pour l"erreur théorique jR(f)j 0;735812 = 0;0613:

1.2) Trapèze composite (n= 2): On a

I 1'h2 f(a) +f(b) + 2n1X i=1f(xi)# h2 [f(a) +f(b) + 2f(x1)]; oùh=ba2 =12 ;x1=a+h=12 =a+b2 :Par suite, I 1'14 h

1 +e1+ 2e14

i = 0;7319: 1 * Pour estimer l"erreur théorique : on a jR(f)j=n(h)312 f(2)(); 2[0;1];h=ban

2(1=2)312

M; M= 0;7358

0;735812:(2)2'0;0153:

Donc, la valeur

0 ,0153

est une estimation de l"erreur théorique de cette métho de. 2. En suiv antles mêmes étap espréceden tes,on p eutcalculer une v aleurappro chéede I 2=R

0sinxdxpar la méthode de Simpson (simple) et celle de Simpson composite

(n=4) comme suit

2.1) Simpson(simple) (n= 2) : On applique la formule de Simpson suivante :

I 2'ba6 f(a) + 4f(a+b2 ) +f(b) ou bien I 2'h3 f(a) + 4f(a+b2 ) +f(b) ; h=ba2 avecf(x) = sinx;a= 0etb=; * Pour l"erreur théorique et tant quef2C2([0;]);on applique la relation

R(f) = (h5=90)f(2)(); 2[0;]:

2.2) Simpson généralisée (ou composite) (n= 4) :

Puisquenest paire(n= 2k;k2N);alors cette méthode est applicable. Donc, on a I 2'h3 2 4 f(x0) +f(xn) + 4:n1X i=1(i:impaire)f(xi) + 2:n2X i=1(i:paire)f(xi)3 5 icih=ba4 =4 et8i=1;3;xi=x0+ih:D"où x

0= 0; x1=x0+h=4

; x2=x0+ 2h=2 ; x3=x0+ 3h=34 ; x4=:

Ainsi,

I 2'12 sin(0) + sin() + 4 sin(4 ) + sin(34 + 2sin(2

Après les calcules, on obtientI2'6

(1 + 2p2) = 2;0053: * Estimons l"erreur théorique : Commef2C4([0;1]);alors

R(f) =(ba)(h4)180

f(4)(); 2[0;]: 2 Commef(x) = sinx;alorsf(4)() = sinx;8x2[0;]:Ainsi, on trouve jR(f)j 180 (4 )4max0f(4)() jR(f)j 5180(4

4)1 =:::::::?:

IciM= max0f(4)()=jsinj= 1:

Remarques :

a) L"erreur obtenue avec Simpson généralisée doit être inférieure ou égale à celle obtenue avec

Simpson simple.

b) Lorsque "n" le nombres de subdivision de l"intervalle de l"intégration est plus grand, alors

l"erreur de l"intégration devient plus petit (Ainsi , la formule de quadrature sera plus précise).

3. Comme la primitive de la fonctionf:x!sinxest connue, alors on peut calculer la

valeur exacte deI2, la comparer avec les résultats obtenus dans (2) et aussi calculer l"erreur commise par chaque approximation à l"aide de la relationEc=I2J(f);(Jfest la valeur approximative deI2): Exercice 2.Calculonsn:le nombre de subdivisions de[;]nécessaires pour évaluer à (0;5)103près, grâce à la méthode de Simpson, l"intégraleI2=R cosxdx: Pour cela, on résoud l"inégalité suivante (oùnest l"inconnu) : jR(f)j (0:5)103;(0.2) oùR(f) =(ba)h4180 f(4)(); 2[;]: " c"est l"erreur de Simpson généralisée".

On ah=ban

)h4=h()n i

4=(2)4n

4etf(x) = cosx)f(4)(x) = cosx;8x2[;]:

Par suite

jR(f)j=2180 164n

4jcosj 8545

:1n 4: Maintennant, pour quejR(f)j (0:5)103;il suffit que 8545
:1n

4(0:5)103:

ce qui est équivalent àn20:Ainsi, on prendn= 20comme nombre de subdivision necessaire, puisque c"est "paire" est minimale.

Exercice 4.

1. Déter minonsle p olynômede Lagrange Pinterpolant une fonctionfaux points -1/2, 0, 1/2 :

P(x) =L0(x)f(12

) +L1(x)f(0) +L2(x)f(12 );8x2R: Après les calcules (voir chaptre 1) :L0(x) = 2x2x;L1(x) =4x2+1etL2(x) = 2x2+x:

Ainsi,

P(x) = (2x2x)f(12

) + (4x2+ 1)f(0) + (2x2+x)f(12 3

2.En déduire la form uled"in tégration(1) :

Par intégration du polynômeP(obtenue ds la question1), on obtient= =43 ;=23 (carR1

1(2x2x)dx=43

;R1

1(4x2+ 1)dx=23

;R1

1(2x2+x)dx=43

Ainsi, nous obtenons,

Z 1

1f(x)43

f(1=2)23 f(0) +43 f(1=2):(0.3) 3.

Donnons une v aleura pprochéede

Rb af(x)dx:En utilisant le changement de variable :y= b+a2 +ba2 x;il résulte Z b a f(x)dxba2 43
fb+ 3a4 23
fa+b2 +43
fa+ 3b4 :(0.4)

4.Application.CalculonsI1à l"aide de la formule de quadrature (0.3) etI2à l"aide de (0.4) :

* On posantf(x) =exdans(0:3);il résulte que I 1=Z 1

1exdx43

e1=2+e1=223 * Aussi, sif(x) =exdans(0:4);alors I 2=Z 3

5exdx443

f(3)23 f(1) +43 f(1) 83

2e3e1+ 2e:

Exercice 3.Soitf: [1;1]!Rune fonction continue.

Calculons les coéfficients des formules de quadrature suivantes : 1.R1

1f(x)dx'J1(f), avecJ1(f) =0f(13

) +1f(13 );pour que cette formule soit exacte pour toutf2P1[X]: 2. R1

1f(x)dx'J2(f), avecJ2(f) =0f(35

)+1f(15 )+2f(15 )+3f(35 );pour que 7 formule soit exacte pour toutf2P3[X]:

1. Pour que la formule de quadratureJ1soit exacte surP1[X], il faut et il suffit que l"erreur

d"intégration :R(f) =R1

1f(x)dxJ1(f)soit nulle pour toutf2P1[X]:Commef1;Xgest

une base deP1[X];alors il suffit queR(f) = 0pour : f1(c.à.d,f(x) = 1sur[1;1])et pourf:x7!x;8x2[1;1]: a) Pourf1;il vient quef(13 ) =f(13 ) = 1:D"où

R(f) =Z

1

11dxJ1(1) = 0,[x]1

1[01 +11] = 0;

ce qui donne l"équation :201= 0::::::::(Eq1): b) Pourf:x7!x;8x2[1;1];il résulte quef(13 ) =13 etf(13 ) =13 :Ainsi

R(f) =Z

1

1xdxJ1(X) = 0,x22

1 1 0 13 +113
= 0; 4 ce qui implique que13 0+13

1= 0::::::::(Eq2):

La résolution des deux équations(Eq1)et(Eq2)donne :0=1= 1:Donc, la 1ière formule de quadrature est :Z1

1f(x)dx'J1(f) =f(13

) +f(13

2. De meme, pour que la formule de quadratureJ2(f)soit exacte surP3[X], il faut et il suffit

queR2(f) =R1

1f(x)dxJ2(f) = 0, pour toutf2 f1;X;X2;X3g:

Poutf1: on a

R(f) =Z

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