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الجمهوريــــــــــــــــــــــة الجزائريـــــــــــة الديمقراطيـ
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Analyse Numérique
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Chapitre 5 - Méthodes dintégration numérique
En précision cette méthode est donc équivalente à celle du point milieu (?1 ? ?00 )
Analyse numérique : Intégration numérique
11 mar. 2013 Intégration par méthode de Monte-Carlo. Exercice. Écrire un programme Scilab permettant d'estimer l'intégrale de 1. 1+x2 sur.
Analyse numérique :
Intégration numérique
Pagora 1A
Chapitre 4
8 février - 11 mars 2013
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 1 / 67 Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 2 / 67Introduction
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 3 / 67Introduction
Description du problème
On cherche à estimer la valeur numérique de
I=Z b a f(x)dx avec :aetbdeux réels (aintégrable sur[0;1]mais possède une sigularité en 0.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 4 / 67Introduction
Méthode classique : primitive
Lorsqu"on connait une primitive def(noté iciF) sur[a;b], on peut calculer directementI. I=Z b a f(x)dx=F(b)F(a) exemple :F(x) =2pxest une primitive def(x) =1px sur[0;1], on a donc I=Z 1 01px dx=2p12p0=2Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 5 / 67Introduction
Problème
La plupart des fonctionsfne disposent pas d"expressions analytique pour leurs primitives même dans le cas de fonctions s"écrivant très simplement. exemples : Z1 0 ex2dx Z =20p1+cos2x dx
Z 1 0 cos(x2)dx Solution : utiliser des méthodes numériques. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 6 / 67Introduction
Exemple concret intégration numérique
Dans le cas du traitement du signal, on peut vouloir connaitre la valeurmoyenne~f(t)d"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 7 / 67
Introduction
Exercice : valeur moyenne d"une fonctionf
Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne?En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 8 / 67
Introduction
Exercice (correction)
Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne? En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t]. Notonsfmoyla valeur moyenne defsur[a;b].fmoydoit vérifier l"égalité : Z b a f moydx=Z b a f(x)dx donc(ba)fmoy=Z b a f(x)dx etfmoy=1baZ b a f(x)dx d"où l"expression de ~f(t) =1tZ t 0 f(x)dxavect>0Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 9 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 10 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Bases de la méthode de Monte-Carlo
Objectif: calculer
I=Z f(x)dx avec2Rnde volumeVconnu, c"est à dire on connait la valeur exacte de
V=Z dx Comment faire: on tire aléatoirement de manière uniforme des valeurs x i2 ,i=1;:::;Net on approche l"intégrale parIQN=VN
N X i=1f(xi)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 11 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice
Écrire un programme Scilab permettant d"estimer l"intégrale de11+x2sur
[0;1]par la méthode de Monte-Carlo avec pour entréeN. Pour rappel, la fonctionrand(n,m)retourne une matrice de taillenm contenant des nombres aléatoires de loi uniforme compris entre 0 et 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 12 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice (correction)
Voici un exemple de solution :
function QN = integraleMC(N)QN = 0 ;
for k = 1:N u = rand(1,1) ;QN = QN + (1./N).*(1./(1 + u.*u)) ;
end endfunction On vient de donner un algorithme permettant de calculer Z 1011+x2dx=arctan(1)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 13 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Vitesse de convergence de la méthode
La méthode converge vers le bon résultat
limN!1QN=I
Cependant sa vitesse de convergence est très lente (il faut queNsoit très grand pour avoir un résultat convenable). En effet, on note fN=1N N X i=1f(xi)et limN!1fN=fmoyvaleur moyenne def2N=1N1N
X i=1(f(xi)fN)2et limN!12N=22R+La variance deQNvaut
Var(QN) =V22NN
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 14 / 67Formules de Newton-Cotes
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 15 / 67Formules de Newton-CotesBases
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 16 / 67Formules de Newton-CotesBases
Interpolation et intégrale
On peut approcher une fonction quelconquefpar un polynômeP. Comme f(x)est proche deP(x), on a : f(x)P(x) =)Z b a f(x)dxZ b aP(x)dx
Avantages:les polynômes sont faciles à intégrer. cette méthode est utilisable même si on ne connait que des valeurs de fpuisqu"on peut alors construire le polynômePd"interpolation def sur ces valeurs. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 17 / 67Formules de Newton-CotesBases
Formules de quadrature de type interpolation
Soient(xi;yi=f(xi)),i=0;:::;n,n+1 points d"interpolation tel que ax0Posons
I n=Z b an X i=0y i`i(x)dx=nX i=0Z b a y i`i(x)dx=nX i=0w if(xi) avec w i=Z b a i(x)dxAnalyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 18 / 67Formules de Newton-CotesBases
Définition : formule de quadrature
On approche l"intégrale par
I(f) =Z
b a f(x)dxIn(f) =nX i=0w if(xi) avec :x i,i=0;:::;n,noeudsou points d"intégration.w i,i=0;:::;n,poidsde la formule de quadrature.On définit l"erreurcomme étant
R(f) =I(f)In(f)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 19 / 67Formules de Newton-CotesBases
Définitions et théorème
Définition: Une formule de quadrature est diteexactesur un ensembleV si pour toutfdeVR(f) =0
Définition: Une formule de quadrature est dite dedegré de précision n si elle est exacte pourxk,k=0;:::;net non exacte pourxn+1. Théorème: Une formule de quadrature à n+1 points est exacte sur l"ensemble des polynômes de degré au plus n si, et seulement si, c"est une formule de type interpolation à n+1 points. Remarque: Une formule exacte sur l"ensemble des polynômes de degré au plus n est de degré de précision au moins n. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 20 / 67Formules de Newton-CotesBases
Exercice
TrouverA0etA1tels que :
Z 11f(x)dx=A0f(1) +A1f(1) +R(f)
et vérifier que cette formule de quadrature est de degré de précision 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 21 / 67Formules de Newton-CotesBases
Exercice (correction)
C"est une formule de type interpolation à 2 points donc exacte sur l"ensemble des polynômes de degré au plus 1. D"où : f(x) =1;R(f) =0()Z 111dx=A0+A1=2
f(x) =x;R(f) =0()Z 11x dx=A0+A1=0
On obtientA0=1 etA1=1 donc
Z 11f(x)dx=f(1) +f(1) +R(f)
Cette méthode par construction est au moins de degré de précision 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 22 / 67Formules de Newton-CotesBases
Exercice (correction)
Montrons que cette formule de quadrature est de degré de précision 1. Pour f(x) =x2Z11f(x)dx=23
6=A0f(1) +A1f(1) =2
doncR(f)6=0 et la formule de quadrature est de degré de précision 1.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 23 / 67
Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 24 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Généralités
Pour obtenir les formules de Newton-Cotes fermé, on interpolefaux point suivants x i=a+ih i=0;:::;navech=ban On a doncx0=aetxn=bet on construit les formules de quadratures de la façon suivante : Z b a f(x)dx(ba)nX i=0w(n) if(xi) avec w (n) i=1baZ b a i(x)dxAnalyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 25 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=0, formule des rectangles
Le seul point est soita, soitb.
Z b a f(x)dx(ba)f(a) Z b a f(x)dx(ba)f(b)C"est laformule des rectanglesqui est
exacte uniquement pour les polynômes de degré 0 (ie. les constantes).SifestC1sur[a;b]alors il existe2]a;b[
tel queR(f) =(ba)2
f0() +sia,sibAnalyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 26 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=1, formule des trapèzes
Les points d"interpolation sontx0=aetx1=b.
Exercice : Trouver la formule des trapèzes en calculantw(1)0etw(1)
1.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 27 / 67
Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=1, formule des trapèzes
Correction :
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 28 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=1, formule des trapèzes
Correction :
w (1)0=1baZ
b a0(x)dx=1baZ
b axbabdx=12 w (1)1=1baZ
b a1(x)dx=1baZ
b axabadx=12 donc la formule destrapèzesest Z b a f(x)dx12 (f(a) +f(b))Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 29 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=1, formule des trapèzes
La formule destrapèzesest exacte pour les polynômes de degré au plus 1 et est de degré de précision 1. SifestC2sur[a;b]alors il existe2]a;b[tel que l"erreurRsoitR(f) =(ba)312
f00()Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 30 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=2, formule de Simpson
Les points d"interpolation sontx0=a,x1=a+b2
etx2=b. La formule deSimpsonqui est exacte pour les polynômes de degré au plus2 vaut
Z b a f(x)dx(ba)6 f(a) +4fa+b2 +f(b) SifestC4sur[a;b]alors il existe2]a;b[tel que l"erreurRsoitR(f) =(ba)52880
f(4)() La formule de Simpson est de degré de précision 3. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 31 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=2, formule de Simpson
Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 32 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=2, formule de Simpson
Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3. La formule de Simpson est exacte pour les polynômes de degré au plus 2 donc elle est de degré de précision au moins 2. D"autre part, Z b a x3dx=b4a44 =ba4 b3+ab2+a2b+a3 ba6 a3+4a+b2
3 +b3! ba4 b3+ab2+a2b+a3 La formule de Simpson est de degré de précision au moins 3. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 33 / 67Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé
Casn=2, formule de Simpson
Pourx4, on obtient
Z b a x4dx=b5a55 =ba5 b4+ab3+a2b2+a3b+a4 et ba6 a4+4a+b2
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