[PDF] Analyse numérique : Intégration numérique





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Analyse numérique : Intégration numérique

11 mar. 2013 Intégration par méthode de Monte-Carlo. Exercice. Écrire un programme Scilab permettant d'estimer l'intégrale de 1. 1+x2 sur.

Analyse numérique :

Intégration numérique

Pagora 1A

Chapitre 4

8 février - 11 mars 2013

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 1 / 67 Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 2 / 67

Introduction

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 3 / 67

Introduction

Description du problème

On cherche à estimer la valeur numérique de

I=Z b a f(x)dx avec :aetbdeux réels (aintégrable sur[0;1]mais possède une sigularité en 0.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 4 / 67

Introduction

Méthode classique : primitive

Lorsqu"on connait une primitive def(noté iciF) sur[a;b], on peut calculer directementI. I=Z b a f(x)dx=F(b)F(a) exemple :F(x) =2pxest une primitive def(x) =1px sur[0;1], on a donc I=Z 1 01px dx=2p12p0=2Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 5 / 67

Introduction

Problème

La plupart des fonctionsfne disposent pas d"expressions analytique pour leurs primitives même dans le cas de fonctions s"écrivant très simplement. exemples : Z1 0 ex2dx Z =2

0p1+cos2x dx

Z 1 0 cos(x2)dx Solution : utiliser des méthodes numériques. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 6 / 67

Introduction

Exemple concret intégration numérique

Dans le cas du traitement du signal, on peut vouloir connaitre la valeur

moyenne~f(t)d"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 7 / 67

Introduction

Exercice : valeur moyenne d"une fonctionf

Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne?

En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 8 / 67

Introduction

Exercice (correction)

Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne? En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t]. Notonsfmoyla valeur moyenne defsur[a;b].fmoydoit vérifier l"égalité : Z b a f moydx=Z b a f(x)dx donc(ba)fmoy=Z b a f(x)dx etfmoy=1baZ b a f(x)dx d"où l"expression de ~f(t) =1tZ t 0 f(x)dxavect>0Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 9 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 10 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Bases de la méthode de Monte-Carlo

Objectif: calculer

I=Z f(x)dx avec

2Rnde volumeVconnu, c"est à dire on connait la valeur exacte de

V=Z dx Comment faire: on tire aléatoirement de manière uniforme des valeurs x i2 ,i=1;:::;Net on approche l"intégrale par

IQN=VN

N X i=1f(xi)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 11 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Exercice

Écrire un programme Scilab permettant d"estimer l"intégrale de

11+x2sur

[0;1]par la méthode de Monte-Carlo avec pour entréeN. Pour rappel, la fonctionrand(n,m)retourne une matrice de taillenm contenant des nombres aléatoires de loi uniforme compris entre 0 et 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 12 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Exercice (correction)

Voici un exemple de solution :

function QN = integraleMC(N)

QN = 0 ;

for k = 1:N u = rand(1,1) ;

QN = QN + (1./N).*(1./(1 + u.*u)) ;

end endfunction On vient de donner un algorithme permettant de calculer Z 1

011+x2dx=arctan(1)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 13 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Vitesse de convergence de la méthode

La méthode converge vers le bon résultat

lim

N!1QN=I

Cependant sa vitesse de convergence est très lente (il faut queNsoit très grand pour avoir un résultat convenable). En effet, on note fN=1N N X i=1f(xi)et limN!1fN=fmoyvaleur moyenne def

2N=1N1N

X i=1(f(xi)fN)2et limN!12N=22R+

La variance deQNvaut

Var(QN) =V22NN

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 14 / 67

Formules de Newton-Cotes

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 15 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 16 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Interpolation et intégrale

On peut approcher une fonction quelconquefpar un polynômeP. Comme f(x)est proche deP(x), on a : f(x)P(x) =)Z b a f(x)dxZ b a

P(x)dx

Avantages:les polynômes sont faciles à intégrer. cette méthode est utilisable même si on ne connait que des valeurs de fpuisqu"on peut alors construire le polynômePd"interpolation def sur ces valeurs. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 17 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Formules de quadrature de type interpolation

Soient(xi;yi=f(xi)),i=0;:::;n,n+1 points d"interpolation tel que ax0P(x)dx=Z b an X i=0y i`i(x)dx

Posons

I n=Z b an X i=0y i`i(x)dx=nX i=0Z b a y i`i(x)dx=nX i=0w if(xi) avec w i=Z b a i(x)dxAnalyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 18 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Définition : formule de quadrature

On approche l"intégrale par

I(f) =Z

b a f(x)dxIn(f) =nX i=0w if(xi) avec :x i,i=0;:::;n,noeudsou points d"intégration.w i,i=0;:::;n,poidsde la formule de quadrature.

On définit l"erreurcomme étant

R(f) =I(f)In(f)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 19 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Définitions et théorème

Définition: Une formule de quadrature est diteexactesur un ensembleV si pour toutfdeV

R(f) =0

Définition: Une formule de quadrature est dite dedegré de précision n si elle est exacte pourxk,k=0;:::;net non exacte pourxn+1. Théorème: Une formule de quadrature à n+1 points est exacte sur l"ensemble des polynômes de degré au plus n si, et seulement si, c"est une formule de type interpolation à n+1 points. Remarque: Une formule exacte sur l"ensemble des polynômes de degré au plus n est de degré de précision au moins n. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 20 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Exercice

TrouverA0etA1tels que :

Z 1

1f(x)dx=A0f(1) +A1f(1) +R(f)

et vérifier que cette formule de quadrature est de degré de précision 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 21 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Exercice (correction)

C"est une formule de type interpolation à 2 points donc exacte sur l"ensemble des polynômes de degré au plus 1. D"où : f(x) =1;R(f) =0()Z 1

11dx=A0+A1=2

f(x) =x;R(f) =0()Z 1

1x dx=A0+A1=0

On obtientA0=1 etA1=1 donc

Z 1

1f(x)dx=f(1) +f(1) +R(f)

Cette méthode par construction est au moins de degré de précision 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 22 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Exercice (correction)

Montrons que cette formule de quadrature est de degré de précision 1. Pour f(x) =x2Z1

1f(x)dx=23

6=A0f(1) +A1f(1) =2

doncR(f)6=0 et la formule de quadrature est de degré de précision 1.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 23 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 24 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Généralités

Pour obtenir les formules de Newton-Cotes fermé, on interpolefaux point suivants x i=a+ih i=0;:::;navech=ban On a doncx0=aetxn=bet on construit les formules de quadratures de la façon suivante : Z b a f(x)dx(ba)nX i=0w(n) if(xi) avec w (n) i=1baZ b a i(x)dxAnalyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 25 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=0, formule des rectangles

Le seul point est soita, soitb.

Z b a f(x)dx(ba)f(a) Z b a f(x)dx(ba)f(b)

C"est laformule des rectanglesqui est

exacte uniquement pour les polynômes de degré 0 (ie. les constantes).

SifestC1sur[a;b]alors il existe2]a;b[

tel que

R(f) =(ba)2

f0() +sia,sibAnalyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 26 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=1, formule des trapèzes

Les points d"interpolation sontx0=aetx1=b.

Exercice : Trouver la formule des trapèzes en calculantw(1)

0etw(1)

1.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 27 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=1, formule des trapèzes

Correction :

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 28 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=1, formule des trapèzes

Correction :

w (1)

0=1baZ

b a

0(x)dx=1baZ

b axbabdx=12 w (1)

1=1baZ

b a

1(x)dx=1baZ

b axabadx=12 donc la formule destrapèzesest Z b a f(x)dx12 (f(a) +f(b))Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 29 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=1, formule des trapèzes

La formule destrapèzesest exacte pour les polynômes de degré au plus 1 et est de degré de précision 1. SifestC2sur[a;b]alors il existe2]a;b[tel que l"erreurRsoit

R(f) =(ba)312

f00()Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 30 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=2, formule de Simpson

Les points d"interpolation sontx0=a,x1=a+b2

etx2=b. La formule deSimpsonqui est exacte pour les polynômes de degré au plus

2 vaut

Z b a f(x)dx(ba)6 f(a) +4fa+b2 +f(b) SifestC4sur[a;b]alors il existe2]a;b[tel que l"erreurRsoit

R(f) =(ba)52880

f(4)() La formule de Simpson est de degré de précision 3. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 31 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=2, formule de Simpson

Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 32 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=2, formule de Simpson

Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3. La formule de Simpson est exacte pour les polynômes de degré au plus 2 donc elle est de degré de précision au moins 2. D"autre part, Z b a x3dx=b4a44 =ba4 b3+ab2+a2b+a3 ba6 a

3+4a+b2

3 +b3! ba4 b3+ab2+a2b+a3 La formule de Simpson est de degré de précision au moins 3. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 33 / 67

Formules de Newton-CotesNewton-Cotes fermé

Casn=2, formule de Simpson

Pourx4, on obtient

Z b a x4dx=b5a55 =ba5 b4+ab3+a2b2+a3b+a4 et ba6 a

4+4a+b2

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