[PDF] Analyse Numérique Corrigé du TD 4. EXERCICE

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Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´erique

Corrig´e du TD 4EXERCICE 1

Formule des trap`ezes

a. Dans la formule suivante a+h a f(x)dx≈αf(a) +βf(a+h),(1.1) d´eterminerαetβpour que la formule soit exacte pour des polynˆomes de

Calcul deαetβ

On a?a+h

a

1dx=h=α+β ,

a+h a xdx=h22 +ah=αa+β(a+h).

Ce qui conduit au syst`eme lin´eaire suivant

?α+β=h aα+ (a+h)β=h22 +ah

D"o`u on tire

α=β=h2

,(1.2)

RemarqueOn a

a+h a x2dx=(a+h)33 -a33 =13 h3+ 3ah2+ 3a2h? ?=h2 (a+h)2+a2? ,pourh?= 0, qui montre que la formule de quadrature (1.1) est d"ordre 1. etq(a+h) =f(a+h). Construireq. En approchantfparqsur[a,a+h], donner une approximation de?a+h af(x)dx. 1

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Construction deq Le polynˆome d"interpolation de Lagrangeqde degr´e 1 est l"´equation de la droite passant par les points? a,f(a)? et? a+h,f(a+h)? , donc q(x) =f(a) +f(a+h)-f(a)h (x-a). Approximation de l"int´egration ´el´ementaire Comme la formule de quadrature (1.1) soit exacte pour le polynˆomeq, on a a+h a f(x)dx≈? a+h a q(x)dx=h2 q(a) +q(a+h)? c. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. Estimation de l"erreur d"int´egration ´el´ementaire La fonctionqest le polynˆome d"interpolation de Lagrange defaux pointsa,a+h. Sif? C2([a,a+h]) alors il existeξ?]a,a+h[ tel que f(x) =q(x) +(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ). Donc a+h a f(x)dx-h2 f(a) +f(a+h)? a+h a f(x)-q(x)dx a+h a(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ)dx.

Ce qui implique

a+h a a+h a? ??(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ)???dx a+h a(x-a)(x-a-h)2 dx =mh312 ,(1.3) o`um= supx?[a,a+h]???f??(x)???. d. Soit{xi}, i= 0,...,nune subdivision de l"intervalle[c,d]de pash. Utiliser la formule des trap`ezes sur chaque intervalle[xi,xi+1]pour approcher?d cf(x)dx. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. 2

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Formule d"int´egration compos´ee

Par la formule deChasleson a

d c f(x)dx=n-1? i=0? xi+1 x if(x)dx≈n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? =h?f(c) +f(d)2 +n-2? i=1f(xi)? Estimation de l"erreur d"int´egration compos´ee On a d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? =n-1? i=0? xi+1 x i(f(x)-qi(x))dx, avecqile polynˆome d"interpolation de Lagrange defsur [xi,xi+1],i= 0,..,n-1. Grˆace `a (1.3) on d´eduit d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? i=0h 32
mi, o`umi= supx?[xi,xi+1]???f??(x)???. Ce qui implique d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? i=0h 312
nhh2=M12 (d-c)h2,(1.4) avecM= supx?[c,d]???f??(x)???. La convergence de la m´ethode des trap`ezes compos´ee est quadratique. En fonction du nombrend"intervalles de la subdivision, la majoration (1.4) s"´ecrit : d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? (d-c)3n

2.(1.5)

e. Soitε= 10-1,10-2,10-8,trouvernpour que cette formule de quadrature approche?3

0sin(x)e-x2dxavec une pr´ecisionε.

Nombre de points mimimum pour satisfaire une tol´eranceεdonn´ee f(x) = sin(x)e-x2sur [0,3].

On af?(x) =?

cos(x)-2xsin(x)? e -x2,f??(x) =? -sin(x)-2sin(x)-2xcos(x)-

2xcos(x)+4x2sin(x)?

e -x2=? -3sin(x)-4xcos(x)+4x2sin(x)? e -x2=? (4x2-3)sin(x)-

4xcos(x)?

e -x2. 3

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On trouve finalement

d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? 3 3n qui donne n

2≥15×334

ε-1=4054

ε-1i.e. n≥⎷405ε-12

D"o`u •ε= 0.1?n≥31.819805?n≥32. •ε= 0.01?n≥100.62306?n≥101. •ε= 10-8?n≥100623.06?n≥100624.EXERCICE 2

Formule du point milieu

a. D´eterminer la formule de quadrature suivante b a f(x)dx≈αf(a+b2 pour qu"elle soit exacte pour des polynˆomes de degr´e le plus haut possible. On a ?b a

1dx=b-a=α×1,

b a xdx=b2-a22 = (b-a)b+a2 b a x2dx=b3-a33 ?= (b-a)?b+a2

2,poura?=b.

b. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. Soitple polynˆome de degr´e 1 qui interpolefau point (a+b)/2 (point indispensable) et qui interpolef?au point (a+b)/2 par exemple (c"est un choix). Cela signifie quepest le polynˆome d"interpolation de Hermite de degr´e 1 defau point (a+b)/2. 4

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D"une part, on a b a f(x)dx≈? b a p(x)dx= (b-a)p?a+b2 = (b-a)p?a+b2 D"autre part, sif? C2([a,b]) alors il existeξ?]a,b[ tel que f(x) =p(x) +? x-a+b2 22
f??(ξ). On a b a b a? x-a+b2 22
f??(ξ)???dx 12 m? b a? x-a+b2 2 dx,(2.1) o`um= supx?[a,b]???f??(x)???. L"int´egrale peut se calculer de la mani`ere suivante : b a? x-a+b2 2 dx=?b-a2 -b-a2 y 2dy = 2 ?b-a2 0y2dyquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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