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1. Mon trerque Test exacte d"ordre au moins 1 sur[-1,1]si et seulement siλ1= 2x2x2-x1etλ2=2x1x
1-x2. Correction :D"après le cours,Test exacte d"ordre au moins1si et seulement si elle est exacte pour les polynômes d"une base deR1[X], par exemple les polynômes de la base canonique :1etX,i.eT(1) =?
1 -1dx= 2etT(X) =? 1 -1xdx= 0. Or,T(1) =λ1+λ2etT(X) =λ1x1+λ2x2
ce qui conduit équivaut au système suivant :1+λ2= 2
1x1+λ2x2= 0
Ce qui donne finalementλ1=2x2x
2-x1etλ2=2x1x
1-x2. 2. P ourquelles v aleursde λ1,λ2,x1etx2,Test-elle au moins exacte d"ordre 3? Quel est alors l"ordre d"exactitude de la méthode? Correction :De même que précédemment,Test au moins d"ordre3si et seule- ment si elle est exacte pour les polynômes de la base canonique deR3[X], soit, si et seulement si elle est exacte d"ordre1et pourX2etX3, ce qui, d"après la question précédente équivaut à1+λ2= 2
1x1+λ2x2= 0
T(X2) =λ1x21+λ2x22=?1
-1x2dx=23T(X3) =λ1x31+λ2x32=?1
-1x3dx= 0. 11=2x2x
2-x1, λ2=2x1x
1-x2λ1x21+λ2x22=23
1x31+λ2x32= 0.
1=2x2x
2-x1, λ2=2x1x
1-x2x21x2-x1x22=x2-x13
x1x2(x1-x2)(x1+x2) = 0.
Or, on sait par hypothèse quex1< x2. De plus, les casx1= 0etx2= 0mènent à une contradiction avecx21x2-x1x22=x2-x13 . On a doncx2=-x1et, par un calcul simple, la2-ème équation donnex1=-⎷3 3 x2=⎷3 3 , ce qui conduit finalement à1=λ2= 1.
La méthodeTest donc de degré d"exactitude au moins3, reste à savoir siT(X4) =?1 -1x4dx. Un calcul élémentaire donne :T(X4) = 2⎷3
434=29 ?=25 1 -1x4dx ce qui finit de prouver que la méthode est exacte d"ordre 3. 3. Déduire des qu estionsprécéden tesune métho ded"in tégrationd"ordre 3 sur un segment[a,b]quelconque. Correction :Pour cette question, on utilise le changement de variable affine vu en cours : ?b af(x)dx=b-a2 1 -1f?b-a2 t+a+b2 dt.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
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