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LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS (C.S.) par Stéphanie Christmann-Testud

1. Définition

Le nombre de chiffres significatifs dans 1 résultat ou dans une donnée numérique c"est le nombre de chiffres comptés à partir de la gauche à partir du premier non nul.

Exemples : 10,360 : 5 C.S.

1,036.10

1 : 4 C.S.

0001036.10

-2 : 4 C.S.

0,010360000 : 8 C.S.

On prête attention au nombre de chiffres significatifs dès qu"on a affaire à une grandeur issue d"une

mesure ou à une constante physique ou encore à un résultat calculé à partir de mesures et/ou de

grandeurs physiques.

Remarque : déplacer la virgule ou utiliser une écriture en puissance de 10 ne doit pas

modifier le nombre de CS.

Exemples

: le volume V de solution prélevé à la pipette jaugée : V = 10,0 mL : 3 C.S. la constante d"Avogadro : N

A = 6,022.1023 mol-1 : 4 C.S.

la distance d entre l"émetteur et l"écran sur lequel les ultrasons se réfléchissent : d = 80 cm : 2 C.S. On ne discutera pas du nombre de chiffres significatifs quand il s"agit de nombres entiers, car leur précision est " infinie » ou " totale ».

Exemples

: M Durand a 3 enfants : c"est exactement 3 : précision " infinie ». Les ondes ultrasonores effectuent un aller retour entre l"émetteur et l"écran : elles parcourent donc 2 fois la distance émetteur - écran : c"est exactement 2 : précision " infinie ». Pour les opérations classiques de calcul, on distingue l"addition et la soustraction de la multiplication et la division.

2. Addition - Soustraction.

Rappel : on ne peut additionner ou soustraire que des grandeurs ayant la même dimension. (additionner des bananes à des bananes, ou retrancher des euros à des euros !)

Exemple

: on cherche la masse molaire moléculaire du chlorure d"hydrogène de formule HCl.

On donne les masses molaires atomiques en g.mol

-1 pour H : 1,0 (2 C.S.) et pour Cl :

35,5 (3 C.S.). On pose M(HCl) = M(H) + M(Cl)

Soit :

Le résultat est à 3 C.S. : la précision porte sur les dixièmes : 1 chiffre après la

virgule.

Exemple

: la hauteur H d"un immeuble, mesuré depuis le sol, est de 39,56 m (4 C.S.) et la distance d entre le sol et le balcon du second étage est de 6 m (1 C.S.). On cherche la distance D entre le balcon et le sommet de l"immeuble. On pose D = H - d

Soit : 1,0

+ 35,5 36,5
(les x représentent des chiffres que l"on ne connaît pas) le résultat comporte donc 2 C.S. c"est-à-dire une précision au mètre, puisqu"on n"a

pas pour le balcon, l"information sur les décimètres ni sur les centimètres. A retenir pour l"addition et la soustraction : au niveau de la précision de la mesure, on traite les

unités avec les unités ; les dizaines avec les dizaines ; les dixièmes avec les dixièmes...

3. Multiplication - Division.

Pour la multiplication ou pour la division, on n"a pas besoin de faire attention à la dimension des

grandeurs car celles-ci sont souvent très différentes.

Multiplication :

Exemple : pour calculer la surface S d"un terrain rectangulaire de longueur L = 16 m (2 C.S.) et de largeur l = 4,82 m (3 C.S.), on pose S = L .l. Avec une précision au m sur L, et au cm sur l, on pourrait poser les opérations : Lorsqu"on additionne la colonne des unités, on a 2 +

4 = 6 , mais la colonne des dixièmes fait 3 + 8 + x

soit plus de 10... on met donc 7 pour les unités. Il en est de même dans l"autre opération. Le résultat indiqué par la calculette est de 77,12 mais on vient de voir que l"on ne peut garder que 2 C.S. et la réponse devient S = 77 m 2.

Exemple

: Pour calculer la quantité de matière n d"un soluté de concentration C = 0,20 mol.L-1 (2 C.S.)dans un volume V = 100 mL (3 C.S.), on pose n = C.V, soit les opérations :

0,2 0 x

0,1 0 0

0,1 0 0

0,2 0 x

0 0 0 0

0 0 0 0

0 2 0 x

0 0 0 0 Ou 0 x 0 0

0 0 0 0

0 2 0 0

0 0 0 0

0,0 2 0 x x x 0,0 2 0 x x x

La calculette indique 0,02 or on peut donner plus de précision : 0,020 ou encore

2,0.10

-2 mol, soit 2 C.S.

Division :

Exemple

: M Durand partage sa fortune de 80000 euros (5 C.S.) entre ses 3 enfants de manière

égale. On pose 80000/3 soit l"opération :

39,56
- 6,xx 33,xx

16,x x

4,8 2 4,8 2 16,x x

3 2 x x

1 2 8 x x

6 4 x x

x x x x x x 2 8 9 2 4 8 2

7 7,x x x x

Ou

7 7,x x x x

3 8 0 0 0 0,x

- 6 = 2 0 - 1 8 = 0 2 0 - 1 8 = 0 2 0 - 1 8 = 0 2 0 - 1 8 = 0 2 x

2 6 6 6 6 ,x

Le résultat est à 5 C.S. ; on ne peut pas donner le chiffre suivant car on ne sait pas s"il y avaient des dizaines de centimes.

Exemple

: pour connaître l"épaisseur e d"une pièce d"un euro, on fait une pile de 10 pièces et en

en mesure la hauteur d = 2,06 cm (3 C.S.) au pied à coulisse précis au 1/10 de mm.

On en déduit e = d /10 = 2,06.10

-2 /10 = 2,06.10-3 m (3 C.S.) On a ainsi gagné 1 C.S. de précision par rapport à la mesure directe de e au pied à coulisse.

Exemple

: pour déterminer la vitesse ou célérité des ondes ultrasonores ayant parcouru une

distance d = 0,90 m (2 C.S.) pendant une durée

Δt = 2,70 ms (3 C.S.), on pose

v = d / Δt = 0,90 / (2,70.10-3) = 0,90 / (270.10-5) = 90.103 / 270 soit : La calculette indique 333,333...mais l"on ne peut pas donner plus de 2 C.S., c"est à dire v = 3,3.10

2 m.s-1

A retenir pour la multiplication ou pour la division : on donne dans la réponse le même nombre

de chiffres significatifs qu"il y a dans le moins précis des termes servant à faire l"opération. On

arrondit le dernier chiffre significatif de la manière suivante : de 0 à 4 on arrondit en dessous ; de 5

à 9 on arrondit au dessus.

4. Les fonctions : sin, cos, tan, ln, log, exp, puissance... Ces fonctions sont appliquées à des grandeurs adimensionnelles. Le fait de passer par ce type de

fonction peut faire perdre en précision, ou au contraire permet d"augmenter le nombre de C.S. Illustration graphique : on mesure a, et on lui applique la fonction f et on obtient b : f(a) = b.

Selon l"allure de f , une incertitude sur x (ou nombre de C.S.) peut entraîner une incertitude plus

grande ou plus petite sur b : y y b b a x a x 2 7 0 9 0 x - 8 1 0 = 0 9 x x - 8 1 0 = 0 x x 0,3 3

A retenir au lycée pour les fonctions: on ne limite pas la précision d"un résultat par le manque

de chiffres significatifs d"une grandeur à laquelle on applique une telle fonction mathématique.

Exemple

: on veut déterminer la valeur de l"indice optique n du verre en l"éclairant avec un rayon incident d"angle i = 30° venant de l"air d"indice n a = 1,00. Ce rayon passe dans le verre avec un angle réfracté r = 19,5°. On applique la loi de Descartes : n a.sin(i) = n.sin(r), d"où n = n a.sin(i) / sin(r) = 1,00 .sin(30) = 1,50 sin(19,5) on donne un résultat à 3 C.S. car n a est à 3 C.S. ; on ne tient pas compte de la limitation à 2 C.S. de l"angle incident.

Conclusion :

On doit prêter attention au nombre de chiffres significatifs donnés dans un résultat pour ne pas

altérer la précision des mesures après l"application d"opérations mathématiques, en respectant les

règles énoncées ci-dessus.

Mais on demandera un peu d"indulgence aux correcteurs selon les situations et les chiffres trouvés,

car des ondes qui se réfléchissent sur un obstacle à une distance d = 80 cm de l"émetteur ont

parcouru une distance D quand elles sont de retour au niveau de l"émetteur, avec :

D = 2.d = 2 x 0,80 = 1,6 m ( 2 C.S.)

mais aussi D = d + d = 0,80 + 0,80 = 1,60 m ( 3 C.S.) !!quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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