Nombres complexes
[000003]. Exercice 3. Calculer le module et l'argument de u = /. 6-i Soient z1 z2
Feuille 5 : Nombres complexes (correction)
z =4+5i a) z = (?2+2i)+(5+3i)
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
a2 + b2 = z. Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe. Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4. Calculer : a) 3? 2i b) ?3i c) 2 ?i
NOMBRES COMPLEXES
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que
NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
3+ 4i ; ?2 ? i ; i. 3 sont des nombres complexes. Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z.
ÉTS
À ce moment l'addition et la soustraction de nombres complexes peut être vue comme l'addition et la soustraction de vecteurs. Exemple D.1. Soit z. 1. = 2 + 3i
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
I. Forme algébrique d'un nombre complexe Exemple : z = 3 – 2i ? 3 est la partie réelle et -2 est la partie imaginaire. Remarques :.
Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire
3?i. 2 . Exercice 5 Calculer le module et l'argument de u = ?. 6?i Exercice 15 Résoudre dans C l'équation z3 = 1. 4. (?1 + i) et montrer qu'une ...
Exercices de mathématiques - Exo7
2z2 -(7+3i)z+(2+4i) = 0. Correction ?. [005120]. Exercice 3 **IT Une construction du pentagone régulier à la règle et
NOMBRES COMPLEXES
Exemple : soient les nombres complexes z1 = 6?i et z2 =1+ 3i . Déterminer le réel a pour que le polynôme z3 ? az2 + 3az + 37 soit divisible par z +1.
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Tous les nombres positifs ont une racine carrée par exemple 9 a pour racine 3 et –3 et 2 a pour racine 2 et - 2 Par contre aucun réel négatif n'a de racine
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j j2 Calculer 1+ j+ j2 et en déduire les racines de 1+z+z2 = 0 2 Résoudre zn = 1 et montrer que
[PDF] Les complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
On pose z = e2i?/5 puis a = z + z4 et b = z2 + z3 Déterminer une équation du second degré dont les solutions sont a et b et en déduire les valeurs exactes
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
Définition 1 1 3 (Puissance n-i`eme) Soit z un nombre complexe on convient que z0 = 1 et que z1 = z Soit n un entier naturel non nul on désigne par zn
[PDF] TD no3 Nombres complexes
Exercice 5 Pour tout complexe z on pose P(z) = z3 +(-2+3i)z2 +(13-i)z+(-6-10i) Écrire sous forme algébrique les nombres com- plexes P(i) P(3) et P(1 +
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Comme le montre la figure ci-contre le nombre complexe z est cette fois l'affixe d'un point du troisième quadrant Sachant que a = ?3 et b = ?2 le module
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques
Ecrire le nombre complexe z = 3 + i sous sa forme trigonométrique - On commence par calculer le module de z : z = 3+1 = 2 - En calculant z
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
6 3 Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument 3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument ? 5 6
[PDF] 3 Les nombres complexes
Représenter dans le plan complexe les nombres complexes suivantes : (a) z1 =1+2i (b) Le nombre complexe z2 de module 2 et d'argument ? 4 (c) z3 = 4(cos(
[PDF] Les nombres complexes
Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : z1 = 1 2 ( ? 6 ? i ? 2) z2 = 1 ? i z3 = z1 z2 · En déduire cos( ? 12 ) et sin( ? 12 )
Ch4 : Nombres complexes (TS)
- 1/18 -NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a pour racine2 et -2.
Par contre, aucun réel négatif n"a de racine (réelle). C"est pour pallier à cette discrimination que furent créer les nombres complexes.Le nombre i :
On appelle
i un nombre dont le carré est -1. On décrète que i est la racine de -1. Ainsi : i2 = -1De plus, son opposé -
i a aussi pour carré -1. En effet : (-i)2 = [(-1) × i]2 = (-1)2 × i2 = -1 Conclusion : Les deux racines de -1 sont deux nombres irréels i et -i.Le nombre
i est appelé nombre imaginaire. L forme factorisée de x2 + 1 est (x + i) . (x - i)Un peu d"histoire : le nombre i a longtemps été noté -1 pour la raison évidente que i a pour carré -1.
La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant le premier
à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637.Remarques
· IN est l"ensemble des entiers naturels. C"est l"ensemble des entiers positifs ou nuls. Dans IN l"équation x + 1 = 0 n"a pas de solution. Cette équation a une solution notée -1 , élément de l"ensemble ZZ .· ZZ est l"ensemble des entiers relatifs. C"est l"ensemble des entiers positifs, négatifs ou nuls.
IN est contenu dans ZZ , ce que l"on note IN Ì ZZ . Dans ZZ l"équation 2x = 1 n"a pas de solution.Cette équation a une solution notée
1 2 , élément de l"ensemble QI .· QI est l"ensemble des nombres rationnels
C"est l"ensemble de tous les nombres de la forme
p q avec p Î ZZ et q Î ZZ * . QI contient ZZ . On a donc IN Ì ZZ Ì QI .Dans QI l"équation x
2 = 2 n"a pas de solutions.
Cette équation a deux solutions notées
2 et -2 , éléments de l"ensemble IR.
· IR est l"ensemble des nombres réels. C"est l"ensemble des abscisses de tous les points d"une droite.
IR contient QI . On a donc IN Ì ZZ Ì QI Ì IR .Dans IR l"équation x
2 = -1 n"a pas de solutions.
Cette équation a deux solutions notées i et -i , solutions de l"ensemble CI .· CI est l"ensemble des nombres complexes.
C"est l"ensemble des nombres de la forme a + ib avec a Î IR et b Î IR. CI contient IR . On a donc IN Ì ZZ Ì QI Ì IR Ì CI .Ch4 : Nombres complexes (TS)
- 2/18 -Définition
On appelle corps des nombres complexes, et on note CI un ensemble contenant IR tel que : · Il existe dans CI un élément noté i tel que i 2 = -1. · Tout élément de CI s"écrit sous la forme a + ib , où a et b sont des réels.· CI est muni d"une addition et d"une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que celles
connues dans ô Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z.Nombres complexes particuliers
Soit un nombre complexe z = a + ib avec a Î IR et b Î IR . · si b = 0 , on a z = a , z est un réel.· si a = 0 , on a z = ib , on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire).
Remarques
· IR correspond à l"ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d"abscisse x sur la droite. On peut donc toujours comparer deux nombres réels.· CI , ensemble des nombres a + ib avec a Î IR et b Î IR correspond à l"ensemble des points d"un plan.
Un nombre complexe a + ib avec a Î IR et b Î IR correspond au point du plan de coordonnées (a ; b).
On ne peut donc pas comparer deux nombres complexes : il n"y a pas de relation d"ordre dans CI .On ne peut donc pas dire qu"un nombre complexe z est inférieur à un nombre complexe z" ou qu"un
nombre complexe z est positif (c"est-à-dire supérieur à 0).Définition :
Soit un nombre complexe z .
L"écriture z = a + ib , où a et b sont des réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
a est appelé partie réelle de z, et b partie imaginaire de z : on note a = Re(z) et b = Im(z).
Remarque
· La partie réelle de z et la partie imaginaire de z sont des nombres réels.Propriété :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
C"est-à-dire que si a, b, a", b" sont des réels, on a a + ib = a" + ib" Û (a ; b) = (a" ; b") Û ??? a = a"b = b"Exercice 01
Soit z = 2 + 3i ; z" = i - 5.
Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z" ; z - z" ; 2z - 3z" ; zz" ; z
2 z + z" = 2 + 3i + i - 5 = -3 + 4i z - z" = 2 + 3i - (i - 5) = 2 + 3i - i + 5 = 7 + 2i2z - 3z" = 2(2 + 3i) - 3(i - 5) = 4 + 6i - 3i + 15 = 19 + 3i
zz" = (2 + 3i)(i - 5) = 2i - 10 + 3i2 - 15i = 2i - 10 - 3 - 15i = - 13 - 13i
z2 = (2 + 3i)2 = 22 + 2 x 2 x 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i
Exercice 02
1°) Calculer (3 + 2i)(3 - 2i). En déduire la forme algébrique de 1
3 + 2i
(utiliser l"expression conjuguée).2°) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes : 1
1 + i ; 13 - i ; 1
i1°) (3 + 2i)(3 - 2i) = (3)
2 - -(2i)2 = 9 - (-4) = 9 + 4 = 13
Ch4 : Nombres complexes (TS)
- 3/18 -La forme algébrique de 1
3 + 2i est 3
13 - 2
13 i2°) La forme algébrique de
1 1 + i est 1 2 - 1 2 iLa forme algébrique de
1 3 - i est 310 + 1
10 iLa forme algébrique de
1 i est - iII. REPRESENTATION GRAPHIQUE
Un nombre complexe est formé de deux nombres réels. Or deux nombres réels forment un couple de
coordonnées. Ainsi, si le plan est muni d"un repère orthonormé on peut repérer tout point par un nombre
complexe. a) AffixeDéfinition :
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O;®u,®v) . ■ Au point M de coordonnées (a ; b) , on peut associer le nombre complexe z = a + ib.On dit que z = a +i b est l"affixe de M
■ Au vecteur ¾®V de coordonnées (a ; b) , on peut associer le nombre complexe z = a + ib.
On dit que z = a + ib est l"affixe de ¾®V
■ Lorsqu"on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu"on se
place dans le plan complexe.Exercice 03
Placer dans le plan complexe, les points d"affixes : z1 = 2 + 3i ; z2 = 3 + i ; z3 = -1 + 2i ; z4 = 2 - i ; z5 = i
z6 = -i ; z7 = 1 ; z8 = -i - 3 ; z9 = 2z1 - 3z2 ; z10 = z3(z4 - z2)
Propriétés
Si M a pour affixe z = a + ib et si M" a pour affixe z" = a" + ib" , avec a, b, a", b" réels, alors
· le vecteur ¾®MM" a pour affixe z" - z = (a" - a) + (b" - b)i· OM = ||¾®OM|| = a2 + b2
· MM" = ||¾®MM"|| = (a" - a)2 + (b" - b)2 · le milieu I de [MM"] a pour affixe zI = z + z" 2 Si¾®V a pour affixe z et
¾®V " pour affixe z", alors
¾®V +
¾®V " a pour affixe z + z".
Si k est un réel, alors k¾®V a pour affixe k z. b) ConjuguéDéfinition
Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté -z tel que -z = a - ib.Remarque
Si M est le point d"affixe z, le point M" d"affixe ¾z est symétrique de M par rapport à l"axe des abscisses.
Ch4 : Nombres complexes (TS)
- 4/18 -Exercice 04
Étant donné un point M d"affixe z = a + ib , avec a et b réels. Placer ···· le point M" d"affixe z" = a - ib , ···· le point M" d"affixe z" = -a + ib , ···· le point M"" d"affixe z"" = -a - ib = - z .Exercice 05
Soit z = 3 + 5i et z" = -2 + 3i.
Calculer
¾¾¾¾z ; ¾¾¾¾z" ; ¾¾¾¾z + ¾¾¾¾z" ; z + z" ; z + z" ; ¾¾¾¾z.¾¾¾¾z" ; zz" ; zz" .
-z = 3 - 5i -z" = -2 - 3i -z + -z" = 3 - 5i - 2 - 3i = 1 - 8i z + z" = 3 + 5i - 2 + 3i = 1 + 8i z + z" = 1 + 8i = 1 - 8i ¾z.¾z" = (3 - 5i)(-2 - 3i) = -6 - 9i + 10i +15i2 = -6 + i - 15 = -21 + i zz" = (3 + 5i)(-2 + 3i) = -6 + 9i - 10i +15i2 = -6 - i - 15 = -21 - i
zz" = -21 - i = -21 + iPropriétés
Pour tous nombres complexes z et z", on a :
· ¾z = z
· z.¾z est un réel positif
· z + z" = ¾z + ¾z" ; z - z" = ¾z - ¾z" ; zz" = ¾z.¾z"· Si z" ¹ 0 (())
1 z" = 1 z" ; (()) z z" = ¾z z"· Re(z) = z +
¾z2 ; Im(z) = z -
¾z 2i · z est réel Û z = ¾z ; z est imaginaire pur Û z = - ¾zDémonstrations :
Soient les nombres complexes écrits sous la forme algébrique : z = a + ibi et z" = a" + ib".· -z = a - ib donc ¾z = a + ib = z
· z.
¾z = (a + ib)(a - ib) = a2 - (ib)2 = a2 - (-b2) = a2 + b2 donc z.¾z est un réel positif .
· z + z" = a + ib + a" + ib" = (a+a") + i(b+b") comme (a+a") et (b+b") sont des réels, on obtient z + z" = (a+a") - i(b+b") = a - ib + a" - ib" = ¾z + ¾z" · zz" = (a + ib)(a" + ib") = aa" + iab" + ia"b + bb"i2 = (aa" - bb") + i(ab" + a"b)
comme (aa" - bb") et (ab" + a"b) sont des réels, on obtient zz" = (aa" - bb") - i(ab" + a"b).D"autre part
¾z.¾z" = (a - ib)(a" - ib") = aa" - iab" - ia"b + bb"i 2 = (aa" - bb") - i(ab" + a"b) donc zz" = ¾z.¾z"
· Si z" # 0 1
z" = 1 a" + b"i = a" - b"i (a" + b"i)(a" - b"i) = a" - b"i a"2 + b"2 = a" a"2 + b"2 +i - b" a"2 + b"2 Comme a" a"2 + b"2 et - b"
a"2 + b"2 sont des réels, on en déduit (()) 1 z" = a" a"2 + b"2 + ib" a"2 + b"2D"autre part
¾z" = a" - ib", donc 1
¾z" = 1
a" - b"i = a" + b"i (a" - b"i)(a" + b"i) = a" + b"i a"2 + b"2 = a" a"2 + b"2 + ib"
a"2 + b"2 Donc 1 z" = 1 z"Ch4 : Nombres complexes (TS)
- 5/18 -· Si z" # 0 (())
z z" = (())z x 1 z" = -z x (()) 1 z" (d"après la propriété sur le produit) -z x 1 z" (d"après la propriété précédente) ¾z z"· z +
¾z2 = a + bi + a - bi
2 = 2a
2 = a = Re(z) ; z -
¾z2i = a + bi - (a - bi)
2i = 2bi
2i = b = Im(z)
· z =
¾z Û a + ib = a - ib Û a + ib - a + ib = 0 Û 2ib = 0 Û b = 0 Û Im(z) = 0 Û z réel
· z = -¾z Û a + ib = -a + ib Û 2a = 0 Û a = 0 Û Re(z) = 0 Û z imaginaire pur
Exercice 06
1°) Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants :
12 + 7i
; 43 - i ; 2 - i5 + 3i ; i
1 - 3i ; 2 + i
i2°) Écrire plus simplement le nombre complexe
7 + 5i
27 - 2i + 27 - 2i
7 + 5i
1°)
12 + 7i
= 2 - 7i (2 + 7i)(2 - 7i) = 2 - 7i22 - (7i)2 = 2 - 7i
4 + 49 = 2
53 - 7
53 i4
3 - i = 4(3 + i)
3 - i)(3 + i) = 4(3 + i)
3 2 - i 2 = 4(3 + i)3 + 1 = 4(3 + i)
4 = 3 + i
2 - i5 + 3i
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