[PDF] Feuille 5 : Nombres complexes (correction)





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Nombres complexes

[000003]. Exercice 3. Calculer le module et l'argument de u = /. 6-i Soient z1 z2



Feuille 5 : Nombres complexes (correction)

z =4+5i a) z = (?2+2i)+(5+3i)



NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

a2 + b2 = z. Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe. Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4. Calculer : a) 3? 2i b) ?3i c) 2 ?i 



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Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que



NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)

3+ 4i ; ?2 ? i ; i. 3 sont des nombres complexes. Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z.



ÉTS

À ce moment l'addition et la soustraction de nombres complexes peut être vue comme l'addition et la soustraction de vecteurs. Exemple D.1. Soit z. 1. = 2 + 3i 



Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau

I. Forme algébrique d'un nombre complexe Exemple : z = 3 – 2i ? 3 est la partie réelle et -2 est la partie imaginaire. Remarques :.



Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire

3?i. 2 . Exercice 5 Calculer le module et l'argument de u = ?. 6?i Exercice 15 Résoudre dans C l'équation z3 = 1. 4. (?1 + i) et montrer qu'une ...



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Tous les nombres positifs ont une racine carrée par exemple 9 a pour racine 3 et –3 et 2 a pour racine 2 et - 2 Par contre aucun réel négatif n'a de racine 



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Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j j2 Calculer 1+ j+ j2 et en déduire les racines de 1+z+z2 = 0 2 Résoudre zn = 1 et montrer que 



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Exercice 5 Pour tout complexe z on pose P(z) = z3 +(-2+3i)z2 +(13-i)z+(-6-10i) Écrire sous forme algébrique les nombres com- plexes P(i) P(3) et P(1 + 



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Ecrire le nombre complexe z = 3 + i sous sa forme trigonométrique - On commence par calculer le module de z : z = 3+1 = 2 - En calculant z



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6 3 Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument 3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument ? 5 6



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Représenter dans le plan complexe les nombres complexes suivantes : (a) z1 =1+2i (b) Le nombre complexe z2 de module 2 et d'argument ? 4 (c) z3 = 4(cos(



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Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : z1 = 1 2 ( ? 6 ? i ? 2) z2 = 1 ? i z3 = z1 z2 · En déduire cos( ? 12 ) et sin( ? 12 ) 

:
Université Claude Bernard Lyon 1 UE Fondamentaux des Mathématiques I

Semestre d"automne 2019-2020

Feuille 5 : Nombres complexes (correction)

Exercice 5-1.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants : z= 4 + 5i,a)z= (2 + 2i) + (5 + 3i),b)z= (37i)(12i),c) z= (4 + 5i)(5 + 3i)(12i),d)z=43i5 + 2i,e)z=(43i)(12i)73i,f) z=(7 + 6i)(32i)2 +i+4+6i.g) Correction exercice 5-1.Re(z) = 4;Im(z) = 5,a)Re (z) = 3;Im(z) = 5,b)Re (z) =17;Im(z) =1,c)

Re(z) = 79;Im(z) = 27,d)Re (z) =1429

;Im(z) =2329 e)

Re (z) =1958

;Im(z) =8358 f)

Re(z) =6;Im(z) =5.g)

Exercice 5-2.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire dez=1 +im2m+i(m21)pourm2R. Correction exercice 5-2.z=1 +im2m+i(m21)=(1 +im)(2mi(m21))(2m)2+ (m21)2=2m+m(m21) + 2im2i(m21)m

4+ 2m2+ 1

m3+m+i(m2+ 1)(m2+ 1)2=m(m2+ 1) +i(m2+ 1)(m2+ 1)2 m+im 2+ 1; donc Re(z) =mm

2+ 1et Im(z) =1m

2+ 1. Exercice 5-3.Soitz2C. Exprimer le conjugué des nombres complexes suivants en fonction de Re(z)et

Im(z):

z+ 1,a)z2+ 3i,b)z+ 2z,c)z+zi,d) z

3+ 1,e)iz23z,f)zz+iz,g)z2iz+ 4.h)

Correction exercice 5-3.Pour simplifier, notonsx=Re(z)ety=Im(z).z+ 1 =x+ 1iy,a)z

2+ 3i=x2+y2i(2xy+ 3),b)z+ 2z= 3x2iy,c)z+zi= 2x+i,d)z

3+ 1 =x33y2x+ 1 +i(y33x2y),e)iz

23z=2xy3x+i(y2x23y),f)zz+iz=y+i(x+ 2y),g)z

2iz+ 4 =x2y2y+ 4 +i(x2xy).h)

Exercice 5-4.1.Calculer le mo dulede snom brescomplexe ssuiv ants: z= 2 + 5i,a)z=3 + 2i,b)z= (32i)(9 +i),c)z=2 + 5i52i.d) 2. Exprimer le mo duledes nom brescomplexes suiv antsà l"aide du mo dulede z : zz,a)2z2,b)2z,c)3z2z d) 1

Correction exercice 5-4.

1. jzj=p29,a)jzj=p13,b)jzj=p1066,c)jzj= 1.d) 2. jzzj=jzjjzj=jzj2,a)j2z2j= 2jzj2,b)2z =2jzj,c)3z2z = 3jzj.d) Exercice 5-5.Soit(z;z0)2C2. Établir la relationjz+z0j2+jzz0j2= 2(jzj2+jz0j2)et en donner une interprétation géométrique. Correction exercice 5-5.jz+z0j2+jzz0j2= (z+z0)(z+ z0) + (zz0)(zz0) =jzj2+zz0+ zz0+jz0j2+jzj2zz0zz0+jz0j2

= 2(jzj2+jz0j2):On appelle cette égalité l"identité du parallélogramme : dans un parallélogramme, la somme des carrés

des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales. Exercice 5-6.1.Représen terl esp ointsd"affixes suiv antesdans l eplan R= (O;!i ;!j) z= 1i,a)z,b)z+ z,c)zz.d) 2. Représen terles v ecteurssuiv antsdans le plan R= (O;!i ;!j) !vd"affixe2 +i,a)!wd"affixe3 + 2i,b)!v+!w,c)2!v!w.d) Correction exercice 5-6.On noteA,B,CetDles points d"affixes respectivesz,z,z+ zetzz. 2 Exercice 5-7.Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : j1zj 12 a)

Re (1z)12

b)

Re (iz)12

c)112 2 = 2d)z3z+ 3 <2e) Correction exercice 5-7.a)L"ensem bledes p ointsd"affixe x2Ctels quej1zj 12 est le cercle de centre d"affixe1et de rayon 12 b)

Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors,1z= 1xiyet

Re(1z)12

,1x12 ,x12 L"ensemble des solutions est le demi-plan complexe à droite de la droite verticalex=12 c)

Notons z=x+iyavecxetyréels. Alorsiz=y+ix. et

Re(iz)12

, y12 ,y 12 L"ensemble des solutions est le demi-plan complexe au-dessus de la droite horizontaley=12 d)

Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors

11z 2 = 2,z1z 2 = 2, jz1j2= 2jzj2,(x1)2+y2= 2(x2+y2) ,x22x+ 1 +y2= 2x2+ 2y2,1 =x2+ 2x+y2,1 = (x+ 1)21 +y2 ,(x+ 1)2+y2= 2: L"ensemble des solutions est le cercle de centre de coordonnées(1;0)et de rayonp2. e)

Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors

z3z+ 3 <2,z3z+ 3 2 <4, jz3j2<4jz+ 3j2,(x3)2+y2<4((x+ 3)2+y2) ,x26x+ 9 +y2<4(x2+ 6x+ 9 +y2),x26x+ 9 +y2<4x2+ 24x+ 36 + 4y2 ,0<3x2+ 30x+ 27 + 3y2,0< x2+ 10x+ 9 +y2 ,0<(x+ 5)225 + 9 +y2,16<(x+ 5)2+y2: L"ensemble des solutions est l"extérieur du disque de centre de coordonnées(5;0)et de rayon4. 3

Exercice 5-8.Soitx2R.

1. Calculer cos(3x)en fonction decos(x), puissin(3x)en fonction desin(x). 2.

Linéariser sin4(x)puiscos(x)sin4(x).

Correction exercice 5-8.1.On a

cos(3x) +isin(3x) =e3ix= (eix)3= (cos(x) +isin(x))3 = cos

3(x) + 3icos2(x)sin(x)3cos(x)sin2(x)isin3(x)

= cos

3(x)3cos(x)sin2(x) +i(3cos2(x)sin(x)sin3(x)):

En identifiant les parties réelles et imaginaires,cos(3x) = cos3(x)3cos(x)sin2(x)etsin(3x) = 3cos

2(x)sin(x)sin3(x). On réécrit cela en

cos(3x) = cos3(x)3cos(x)(1cos2(x)) = 4cos3(x)3cos(x); sin(3x) = 3(1sin2(x))sin(x)sin3(x) = 3sin(x)4sin3(x): 2. sin

4(x) =eixeix2i

4 =e4ix4e2ix+ 64e2ix+e4ix16 e4ix+e4ix4(e2ix+e2ix) + 616 =2cos(4x)8cos(2x) + 616 18 cos(4x)12 cos(2x) +38 cos(x)sin4(x) =eix+eix2 e

4ix4e2ix+ 64e2ix+e4ix16

e5ix+e3ix4e3ix4eix+ 6eix+e3ix+e5ix4eix4e3ix+ 6eix32 e5ix+e5ix3(e3ix+e3ix) + 2(eix+eix)32

2cos(5x)6cos(3x) + 4cos(x)32

=116 cos(5x)316 cos(3x) +18 cos(x):

Exercice 5-9.Soientn2Net2R. Calculer

U n=nX k=0cos(k)etVn=nX k=0sin(k)

Correction exercice 5-9.U

n+iVn=nX k=0cos(k) +inX k=0sin(k) =nX k=0(cos(k) +isin(k)):

D"après la formule de Moivre,

U n+iVn=nX k=0e ik=nX k=0(ei)k: Si0 (mod 2), alorsei= 1etUn+iVn=n+ 1. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtientUn=n+ 1etVn= 0.

Sinon,ei6= 1donc

U n+iVn=1(ei)n+11ei=1e(n+1)i1ei: 4

À partir de là, deux solutions : dans la solution calculatoire, on multiplie par le conjugué du dénominateur

1ei(n+1)1ei=(1ei(n+1))(1ei)(1ei)(1ei)=1eie(n+1)i+eni1eiei+ 1

1cos()cos((n+ 1)) + cos(n) +i(sin()sin((n+ 1)) + sin(n))22cos():

On en déduit

U n=1cos()cos((n+ 1)) + cos(n)22cos()etVn=sin()sin((n+ 1)) + sin(n)22cos(): La deuxième solution est plus astucieuse, en factorisant les exponentielles

1ei(n+1)1ei=ein+12

e i2 e in+12 ein+12 e i2 ei2 =ein2

2isin(n+12

)2isin(2 = cos n2 sin(n+12 )sin( 2 )+isinn2 sin(n+12 )sin( 2

On en déduit

U n= cosn2 sin(n+12 )sin( 2 )etVn= sinn2 sin(n+12 )sin( 2 Exercice 5-10.1.Calculer le mo duleet un a rgumentdes nom brescomplexes suiv ants: u=3,a)v= 1i,b)w=1 +ip3p3 +i,c)z=p6ip2 2 d) 2.

En déduire le mo duleet un argumen tde uwetzv

Correction exercice 5-10.u= 3eidoncjuj= 3,arg(u)(mod 2).a) v=p2ei4 doncjvj=p2,arg(v) 4 (mod 2).b) w=(1 +ip3)( p3i)p3

2+ 12=p3i+ 3i+p3

4 =2p3 + 2i4 =p3 2 +12 i=ei6 doncjwj= 1etarg(w)6 (mod 2).c) z=p2 p3i2 =p2ei6 doncjzj=p2etargz 6 (mod 2).d) Alors, d"une part,juvj=jujjvj= 3p2etarg(uv)arg(u) + arg(v)34 (mod 2), et d"autre part, zv =jzjjvj= 1etargzv arg(z)arg(v)12 (mod 2).

Exercice 5-11.Soitz=q2 +

p3 +iq2p3. 1. Calculer z2, déterminer le module et un argument dez2et écrirez2sous forme trigonométrique. 2.

En déduire le mo duleet un argumen tde z.

3.

En déduire une expression de cos12

etsin12 5

Correction exercice 5-11.

1.z2= q2 + p3 2 +2iq2 + p3 q2p3 q2p3 2 = 2+p3(2p3)+2i(23p3

2) = 2p3+2i.

On a alorsz2= 4(p3

2 +i2 ) = 4ei6 doncjzj= 4etarg(z)6 (mod 2). 2. P ourle mo dule,jzj=pjzj2=pjz2j= 2. Pour l"argument,2arg(z)arg(z2) (mod 2)donc arg(z)12 (mod 2).

3.z= 4ei12

= 4cos12 + 4isin12 donc en identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient cos 12 =p2 + p3 4 etsin12 =p2p3quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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