Nombres complexes
[000003]. Exercice 3. Calculer le module et l'argument de u = /. 6-i Soient z1 z2
Feuille 5 : Nombres complexes (correction)
z =4+5i a) z = (?2+2i)+(5+3i)
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
a2 + b2 = z. Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe. Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4. Calculer : a) 3? 2i b) ?3i c) 2 ?i
NOMBRES COMPLEXES
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que
NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
3+ 4i ; ?2 ? i ; i. 3 sont des nombres complexes. Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z.
ÉTS
À ce moment l'addition et la soustraction de nombres complexes peut être vue comme l'addition et la soustraction de vecteurs. Exemple D.1. Soit z. 1. = 2 + 3i
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
I. Forme algébrique d'un nombre complexe Exemple : z = 3 – 2i ? 3 est la partie réelle et -2 est la partie imaginaire. Remarques :.
Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire
3?i. 2 . Exercice 5 Calculer le module et l'argument de u = ?. 6?i Exercice 15 Résoudre dans C l'équation z3 = 1. 4. (?1 + i) et montrer qu'une ...
Exercices de mathématiques - Exo7
2z2 -(7+3i)z+(2+4i) = 0. Correction ?. [005120]. Exercice 3 **IT Une construction du pentagone régulier à la règle et
NOMBRES COMPLEXES
Exemple : soient les nombres complexes z1 = 6?i et z2 =1+ 3i . Déterminer le réel a pour que le polynôme z3 ? az2 + 3az + 37 soit divisible par z +1.
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Tous les nombres positifs ont une racine carrée par exemple 9 a pour racine 3 et –3 et 2 a pour racine 2 et - 2 Par contre aucun réel négatif n'a de racine
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j j2 Calculer 1+ j+ j2 et en déduire les racines de 1+z+z2 = 0 2 Résoudre zn = 1 et montrer que
[PDF] Les complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
On pose z = e2i?/5 puis a = z + z4 et b = z2 + z3 Déterminer une équation du second degré dont les solutions sont a et b et en déduire les valeurs exactes
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
Définition 1 1 3 (Puissance n-i`eme) Soit z un nombre complexe on convient que z0 = 1 et que z1 = z Soit n un entier naturel non nul on désigne par zn
[PDF] TD no3 Nombres complexes
Exercice 5 Pour tout complexe z on pose P(z) = z3 +(-2+3i)z2 +(13-i)z+(-6-10i) Écrire sous forme algébrique les nombres com- plexes P(i) P(3) et P(1 +
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Comme le montre la figure ci-contre le nombre complexe z est cette fois l'affixe d'un point du troisième quadrant Sachant que a = ?3 et b = ?2 le module
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques
Ecrire le nombre complexe z = 3 + i sous sa forme trigonométrique - On commence par calculer le module de z : z = 3+1 = 2 - En calculant z
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
6 3 Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument 3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument ? 5 6
[PDF] 3 Les nombres complexes
Représenter dans le plan complexe les nombres complexes suivantes : (a) z1 =1+2i (b) Le nombre complexe z2 de module 2 et d'argument ? 4 (c) z3 = 4(cos(
[PDF] Les nombres complexes
Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : z1 = 1 2 ( ? 6 ? i ? 2) z2 = 1 ? i z3 = z1 z2 · En déduire cos( ? 12 ) et sin( ? 12 )
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct
O; u; v . I. Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z=a+ib . On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a 2 +b 2. M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM. Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes. a)
z 2 =zz b) z=z c) -z=zDémonstrations : a)
zz=a+ib a-ib =a 2 -ib 2 =a 2 -i 2 b 2 =a 2 +b 2 =z 2 b) z=a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =z c) -z=-a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =zMéthode : Calculer le module d'un nombre complexe Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Calculer : a) 3-2i
b) -3i c) 2-i YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2a) 3-2i=3 2 +(-2) 2 =13 b) -3i=-3×i=3×1=3 c) 2-i=2-i=2 2 +-1 2 =2+1=32) Argument Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle. On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle
u;OM . Remarques : - Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg(z)+2kπ k∈! . On notera arg(z) modulo 2π ou arg(z)2π - 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle u ;OM n'est pas défini. Exemple : Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Soit z=3+3i . Alors z=3+3i=3 2 +3 2 =18=32 Et arg(z)= 4 2π . Propriétés : Soit z un nombre complexe non nul. a) z est un nombre réel ⇔arg(z)=0π , b) z est un imaginaire pur ⇔arg(z)= 2 . c) arg(z)=-arg(z) d) arg(-z)=arg(z)+πYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Démonstrations : a) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des réels. b) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des imaginaires. c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie. II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe 1) Définition Propriété : Soit
z=a+ib un nombre complexe non nul. On pose :θ=arg(z)
On a alors :
a=zcosθ et b=zsinθ . Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture z=zcosθ+isinθ avecθ=arg(z)
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 Méthode : Ecrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4 Ecrire le nombre complexe
z=3+i sous sa forme trigonométrique. - On commence par calculer le module de z : z=3+1=2 - En calculant z z , on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire : z z 3 2 1 2 iOn cherche donc un argument θ
de z tel que : cosθ= 3 2 et sinθ= 1 2 . Comme cos 6 3 2 et sin 6 1 2 , on a : z z =cos 6 +isin 6Donc :
z=2cos 6 +isin 6 avec arg(z)= 6 2π. Avec une calculatrice ou un logiciel, il est possible de vérifier les résultats obtenus : 2) Propriétés Inégalité triangulaire : Soit z et z ' deux nombres complexes.
Démonstration : Il s'agit d'une traduction de l'inégalité sur les distances.YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul. Produit
zz'=zz' arg(zz')=arg(z)+arg(z')Puissance
z n =z n arg(z n )=narg(z)Inverse
1 z 1 z arg 1 z =-arg(z)Quotient
z z' z z' arg z z' =arg(z)-arg(z')Démonstration pour le produit : On pose
θ=arg(z)
etθ'=arg(z')
zz'=zcosθ+isinθ z'cosθ'+isinθ' =zz'cosθcosθ'-sinθsinθ' +isinθcosθ'+cosθsinθ' =zz'cosθ+θ' +isinθ+θ'Donc le module de
zz' est zz' et un argument de zz' estθ+θ'=arg(z)+arg(z')
. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] monument aux morts de saint martin d estréaux
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