[PDF] Espaces euclidiens On note ?(u v) le

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Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES

Espaces euclidiens

SoitEun espace euclidien de dimension finien >0. On note?(u,v) le produit scalaire de uetv,?u?la norme deuet (e1,...,en) une base orthonormale deEpour?.

1. Adjoint d"un endomorphisme

Th´eor`eme 1 -Pour tout endomorphismef?L(E), il existe un unique endomorphisme f ?deEtel que ?x?E, ??f(x),y?=??x,f?(y)?.

L"endomorphismef?s"appelle

l"adjointdef. D´emonstration : comme?est un produit scalaire, il est clair que sif?existe, il est unique. Sif?existe, on a, pour touti? {1,...,n}et pour touty?E,??f(ei),y) =?(ei,f?(y)?.

Doncf?est d´efini parf?(y) =n?

i=1??f(ei),y)eipour touty?E. Proposition 2 -L"applicationf?→f?est un endomorphisme involutif deL(E) et on a

•pour tout (f,g)?L(E)2, (f◦g)?=g?◦f?

•pour toutf?GL(E), (f-1)?= (f?)-1

Proposition 3 -Pour toutf?L(E), Ker(f?) =?Im(f)??et Im(f?) =?Ker(f)??. D´emonstration : soitx?Ker(f?). Montrons quex??Im(f)??, c"est-`a-dire que, pour touty?Im(f),?(x,y) = 0. Commey?Imf, il existex??Etel quey=f(x). On a alors?(x,y) =??x,f(x?)?=??f?(x),x?) =?(0,x?) = 0. On a donc prouv´e que

Ker(f?)??Im(f)??.

Soitx??Im(f)??.Montrons quex?Ker(f?). Comme?est un produit scalaire, il suffit de v´erifier que, pour toutx??E, on a??f?(x),x??= 0. Or??f?(x),x??=??x,f(x?)?= 0 carf(x?)?Im(f)etx??Im(f)??. On a donc?Im(f)???Ker(f?). On proc´edera de mˆeme pour la deuxi`eme ´egalit´e. Proposition 4 -Soientf?L(E),g?L(E) etBune base orthonormale deE. g=f?si et seulement si Mat(f,B) =tMat(g,B). D´emonstration : en effet, Mat(f,B)ij=?(f(ei),ej)ettMat(g,B)ij=?(ei,g(ej)). Corollaire 5 -Un endomorphisme et son adjoint ont le mˆeme polynˆome caract´eristique. Ils ont donc les mˆemes valeurs propres et si l"un est diagonalisable, l"autre aussi. Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes I

2. Endomorphismes orthogonaux

2.1. D´efinition

D´efinition 6 -Un automorphismefdeEest ditorthogonalsif?=f-1. Proposition 7 -L"ensemble des automorphismes orthogonaux d"un espace euclidienEest un sous-groupe de GL(E), appel´e groupe orthogonal deEet not´e O(E). L"ensemble des des automorphismes orthogonaux de d´eterminant 1 est un sous-groupe de O(E), appel´e groupe sp´ecial orthogonal deEet not´e

SO(E).

2.2. Propri´et´es

Proposition 8 -Soitfun endomorphisme deE, les assertions suivantes sont ´equivalentes i)?(x,y)?E2, ??f(x),f(y)?=?(x,y) ii)?x?E,?f(x)?=?x? iii)f?O(E) Corollaire 9 -Un endomorphismefdeEest orthogonal si et seulement si l"image parf d"une base orthonormale deEest une base orthonormale. Corollaire 10 -Un endomorphismefdeEest orthogonal si et seulement si sa matrice

Mdans une base orthonormale v´erifietMM=In.

D´efinition 11 -Une matriceMdeMn(R) est dite orthogonale si elle est inversible et si tM=M-1.

3. Endomorphismes sym´etriques

3.1. D´efinitions

D´efinition 12 -Un endomorphismefdeEest dit sym´etrique (respectivement anti- sym´etrique) s"il v´erifie, pour tout (x,y)?E2, ?(f(x),y) =?(x,f(y)) (respectivement?(f(x),y) =-?(x,f(y)) ). Remarque -Une applicationf:E→Equi v´erifie pour tout (x,y)?E2,?(f(x),y) =?(x,f(y)) est un endomorphisme. En effet, pour tout (x,x?,y)?E3et (a,a?)?K2, on a ?f(ax+a?x?),y?=??ax+a?x?,f(y)? =a??x,f(y)?+a???x?,f(y)? =a??f(x),y?+a???f(x?),y? =??af(x) +a?f(x?),y? On noteS(E) l"ensemble des endomorphismes sym´etriques deE. C"est un sous-espace vectoriel deL(E). Exemples -Les homoth´eties, les projections orthogonales et les sym´etries orthogonales de

Esont des endomorphismes sym´etriques.

Proposition 13 -L"ensembleEest somme directe deS(E) et deA(E) l"ensemble des endomorphismes antisym´etriques. - 2 -

ESPACES EUCLIDIENS

3.2. Propri´et´es

Soitf?S(E), alors

-siFest un sous-espace vectoriel stable parf, alorsF?est stable parF. -Imfet Kerfsont suppl´ementaires et orthogonaux dansE. -Les sous-espaces propres defsont suppl´ementaires et orthogonaux. -Le polynˆome caract´eristique defest scind´e surR. -L"endomorphismefest diagonalisable dans une base orthonormale (ou encore ilexiste une base orthonorm´ee deEform´ee de vecteurs propres def).

3.3. Caract´erisation matricielle

Proposition 14 -Un endomorphisme deEest sym´etrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormalequelconque deEest sym´etrique. SoitBune base orthonormale deE. L"application deS(E) dans l"ensemble des matrices sym´etriques r´eelles carr´ees d"ordrenqui associe `afsa matrice dans la baseBest un isomorphisme. On en d´eduit que

Proposition 15 -dimS(E) =1

2n(n+ 1) o`un= dimE.

Corollaire 16 -Toute matrice sym´etrique r´eelleMest diagonalisable et il existe une matricePorthogonale telle queP-1MPsoit diagonale.

3.4. Caract´erisation des valeurs propres

Th´eor`eme 17 -Soitfun endomorphisme sym´etrique deEet

ρ= max{|λ|;λ?Spectre(f)}. On a

?f?=ρ= sup?|?(f(x),x)| ?x?2;x?E,x?= 0? D´emonstration : l"endomorphismef´etant sym´etrique, il est diagonalisable dans une base orthonormale deE. Notons(e1,...,en)une base orthonormale de vecteurs propres defet (λ1,...,λn)les valeurs propres associ´ees.

Soitx?= 0avecx=n?

i=1e i. On a alors ?f(x),x? ?x?2=? n i=1λix2i?ni=1x2i.

On a donc

???f(x),x? ?x?2???? Il suffit ensuite de prendre pourxun vecteur propre associ´e `a la valeur propreλktelle que |λk|=ρpour obtenir le r´esultat. net (e1,...,en) une base orthonormale deEform´ee de vecteurs propres def.

SoitVk= Vect(e1,...,ek). Alors

k= sup?|?(f(x),x)| ?x?2;x?Vk,x?= 0? - 3 - Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes I D´emonstration : on fait de mˆeme qu"`a la proposition pr´ec´edente sur l"espaceVk.

Th´eor`eme 19 -(Courant-Fischer)SoitEun espace vectoriel euclidien de dimensionn,fun endomorphisme

on noteFkl"ensemble des sous-espaces vectoriels deEde dimensionk. k= infL?Fksup??(f(x),x) ?x?2;x?L,x?= 0? = sup

L?Fn-k+1inf??(f(x),x)?x?2;x?L,x?= 0?

D´emonstration : d"apr`es le corollaire pr´ec´edent, k= sup?|?(f(x),x)| ?x?2;x?Vk,x?= 0? ≥infL?Fksup??(f(x),x)?x?2;x?L,x?= 0? Il reste `a d´emontrer l"in´egalit´e inverse, c"est-`a-dire que ?x?2;x?L,x?= 0? pour toutL?Fk. SoitL?Fk, alorsL∩V?k-1?= 0(il suffit de consid´erer les dimensions de ces espaces pour obtenir ce r´esultat). Or siv?L∩V?k-1avecv?= 0, on a

4. Formes quadratiques sur un espace euclidien

4.1. Endomorphisme associ´e `a une forme quadratique

On note ´egalementQ(E) l"espace vectoriel des formes quadratiques d´efinies surE.

SoitL:?L(E)→Q(E)

f?→qo`uqest d´efinie parq(x) =?(f(x),x). Proposition 20 -Lest une application lin´eaire surjective. Son noyau est l"espace vectoriel des endomorphismes antisym´etriques.Linduit un isomorphisme de l"espace vectoriel des endomorphismes sym´etriques dansQ(E). D´efinition 21 -On dit quefetqsont associ´es siL(f) =q. Proposition 22 -Sifetqsont associ´ees, alorsqetfsont repr´esent´ees dans toute base orthonorm´ee par la mˆeme matrice.

4.2. Diagonalisation simultan´ee

Th´eor`eme 23 -Soitq:E→Rune forme quadratique. Il existe une base orthonorm´ee de l"espace euclidienEqui est orthogonale pour la forme quadratiqueq. D´emonstration : soitfl"endomorphisme sym´etrique deEassoci´ee `aqetψla forme

bilin´eaire sym´etrique associ´ee `aq. Commefest sym´etrique, il existe une base orthonorm´ee

(e1,...,en)deEform´ee de vecteurs propres def. Soientλ1,...,λnles valeurs propres de favecf(ei) =λipouri? {1,...,n}. V´erifions que cette base est orthogonale pourq. - 4 -

ESPACES EUCLIDIENS

On a, pouri?=j,ψ(ei,ej) =?(f(ei),ej) =λi?(ei,ej) = 0car c"est une base orthogonale deE. La base(e1,...,en)est donc bien orthogonale pourq. Corollaire 24 -Une forme quadratiqueqest positive (respectivement d´efinie positive) si et seulement si toutes les valeurs propres de l"endomorphisme sym´etrique associ´e sont positives (respectivement strictement positives).

D´emonstration : en reprenant les notations de la d´emonstration du th´eor`eme pr´ec´edent, on

a : q(x1e1+···+xnen) =q(e1)x21+···+q(en)x2n=λ1x21+···+λnx2n. Th´eor`eme 25 -SoitEun espace vectoriel de dimension finie. Soientqetq?deux formes quadratiques surEde matrices respectives, dans une base donn´ee deE, AetB. On suppose queqest d´efinie positive. On munitEdu produit scalaire?associ´e `aq. Il existe une base orthonorm´ee de (E,?) qui est orthogonale pourq?. Autrement dit, il existe une matricePinversible telle quetPAP=Inet tPBPsoit diagonale. - 5 -

ESPACES EUCLIDIENS

1. Adjoint d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1

2. Endomorphismes orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1

2.1. D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1

2.2. Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2

3. Endomorphismes sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2

3.1. D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

3.2. Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2

3.3. Caract´erisation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3

3.4. Caract´erisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3

4. Formes quadratiques sur un espace euclidien . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4

4.1. Endomorphisme associ´e `a une forme quadratique . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4

4.2. Diagonalisation simultan´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4

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