[PDF] Endomorphismes des espaces euclidiens

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des espaces euclidiensPartie IEndomorphismes orthogonaux I.A -

Géné ralités

Exercice 1 :SoientEun espace euclidien etu∈O(E). Montrer que les sous- espaces vectoriels Ker(u-IdE) et Im(u-IdE) sont des supplémentaires orthogo- naux. Exercice 2 :SoientEun espace euclidien etu∈O(E). 1.

M ontrerqu eK er(u-IdE)⊥est stable paru.

2. M ontrerqu esi r ang(u-IdE)=1, alorsuest une symétrie. Exercice 3 :SoitEun espace euclidien et soitu∈O(E). 1.

M ontrerqu eS p(u)⊂{-1,1}.

2. M ontrerqu esi uest diagonalisable, alorsuest une symétrie orthogonale. Exercice 4 :SoientEun espace euclidien etf∈L(E) vérifiant ∀(x,y)∈E2, (x|y)=0⇒(f(x)|f(y))=0. 1. É tablirqu "ilexi steα∈R+telle que∥f(x)∥=α∥x∥pour toutx∈E. 2.

E ndéduir equ "ilexi steα∈R+etg∈O(E) telles quef=α·g.Exercice 5 :SoitEun espace euclidien etf:E→Etel que

∀(x,y)∈E2, (f(x)|f(y))=(x|y).

Montrer quef∈O(E).

Exercice 6 :SoientEun espace euclidien,a∈Eunitaire etα∈R. On pose f Montrer quefα∈O(E) si et seulement siα=0 ouα=-2. Exercice 7 :Dans un espace euclidienE, soitf∈L(E). Montrer que deux des trois assertions suivantes entraînent la troisième. (i)L "endomorphismefest une isométrie. (ii)O na f2=-Id. (iii)P ourt outx∈E, le vecteurf(x) est orthogonal àx. Exercice 8 :On considèreE=Rn[X] muni du produit scalaire ∀(P,Q)∈E2, (P|Q)=Z 1 0

P(t)Q(t)dt.

On définit l"applicationϕ:E→Eparϕ(P(X))=P(1-X). 1.

M ontrerqu eϕ∈L(E).

2.

M ontrerqu eϕ∈O(E).

3. M ontrerqu eϕest une symétrie. Déterminer ses caractéristiques. Exercice 9 :SoientEun espace vectoriel euclidien etu∈O(E). 1.

M ontrerqu eI m(u-Id)=Ker(u-Id)⊥.

2.

M ontrerqu ela su ite

p n=1n (Id+u+···+un-1). converge vers la projection orthogonale sur Ker(u-Id).1

Exercice 10

: Soit (a,b,c,d,e)∈R5. On considère la matrice M=1p6 p3 p2c ∈M3(R). 1. Dé terminerles él éments( a,b,c,d,e)∈R5tels queM∈O3(R). 2. Dé terminerles él éments( a,b,c,d,e)∈R5tels queM∈SO3(R). Exercice 11 :Soit (a,b,c)∈R3. On considère la matrice

M=

a b c c a b ∈M3(R).

On noteσ=ab+bc+acets=a+b+c.

1. M ontrerqu eM∈O3(R) si et seulement siσ=0 ets∈{-1,1}. 2. M ontrerqu eM∈SO3(R) si et seulement siσ=0 ets=1. 3. M ontrerqu eM∈SO3(R) si et seulement si il existek∈[0,4/27]de sorte que les nombresa,betcsont les racines du polynômeX3-X2+k. Exercice 12 :Déterminer les matrices triangulaires supérieures de On(R). Exercice 13 :Déterminer les matrices de On(R) dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

Exercice 14

: Pour toutn∈N∗, déterminer le cardinal des ensembles suivants. (i) On(R)∩Mn(Z), (ii) SOn(R)∩Mn(Z).Exercice 15: SoitM∈On(R). Montrer que

¯¯¯¯¯X

1⩽i,j⩽nm

i,j¯

¯¯¯¯⩽n⩽X

1⩽i,j⩽n|mi,j|⩽n3/2.

Exercice 16 :SoitA∈On(R). On suppose que 1∉Sp(A). 1.

É tudierla c onvergenced ela suite

U k=1k+1(In+A+···+Ak). 2.

L asu ite( Ap)p∈Nest-elle convergente?

Exercice17

:SoitJ∈Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Déterminer les matricesA∈On(R) telles queJ+Aest inversible.

Exercice 18 :Soitn∈N∗. On définit

1.

M ontrerqu eϕest bien définie.

2. M ontrerqu eϕréalise une bijection deAn(R) sur {M∈On(R)|-1∉Sp(M)}. Exercice 19 :SoitM∈Mn(R) une matrice inversible. 1. M ontrerq u"ilexist eO∈On(R) etT∈Mn(R) triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux strictement positifs tels queM=OT. 2.

M ontrerqu ecet tedécomp ositionest u nique.

3. E ndéduir equ esi l "onn oteM1,...,Mnles colonnes deM, on a 1. M ontrerqu e( ·|·) est un produit scalaire surMn(R). 2.

P ourP∈Mn(R), on note

P:Mn(R)→Mn(R),M7→PM.

Déterminer les matricesP∈Mn(R) tels queϕP∈O(Mn(R)). 3.

P ourP∈Mn(R), on note

P:Mn(R)→Mn(R),M7→P-1MP.

Déterminer les matricesP∈Mn(R) tels queψP∈O(Mn(R)). I.C -

R éductiondes isomé tries

Exercice 21 :Montrer que siλ∈Cest une valeur propre complexe deM∈On(R), alors on a|λ|=1.

Exercice 22 :Soitn∈N∗.

1.

Dé terminerles mat ricesde O

n(R) diagonalisables surR. 2.

Dé terminerles mat ricesde O

n(R) diagonalisables surC. Exercice 23 :Déterminer les matricesM∈On(R) tels que (M-In)2=0. I.D -

I sométriesd upla net de l "espace

Exercice24

:SoitEun espace vectoriel euclidien orienté muni d"une base ortho- normée directeB=(i,j). Étudier l"endomorphismeu∈L(E) dont la matrice dans la baseBest (i)12 p2-p2 p2 p2 , (ii)12 1p3 , (iii)15 3 4 , (iv)113 5 12 .Exercice25:SoitEunespace vectoriel euclidien orienté muni d"une base ortho- normée directeB=(i,j,k). Étudier l"endomorphismeu∈L(E) dont la matrice dans la baseBest (i)13 2 2 1 1-2 2 , (ii)12 1-p2 1 p2 0-p2 1p2 1 , (iii)19 7 4 4 4-8 1 (iv)19 -8 4 1 4 7 4 , (v)14 3 1p6

1 3-p6

, (vi)13 2 2-1 1-2-2 Exercice 26 :Soit (a,b,c,d)∈R4. On considère la matrice M=17 6 3a -2 6b ∈M3(R). 1. D éterminerles él éments( a,b,c,d)∈R4tels queM∈O3(R). 2. Dé terminerles ca ractéristiquesde l "isométrieudeR3associé àMpour cha- cune des valeurs trouvées.

Exercice 27

: Soit (a,b)∈R2. On considère la matrice

A=

a b b b a b ∈M3(R). 1. D éterminerles él éments( a,b)∈R2, a-t-onA∈O3(R)? 2. Dé terminerles ca ractéristiquesde l "isométrieudeR3associé àMpour cha- cune des valeurs trouvées.3 M=13 a-2a+1 a+1-a-2 ∈M3(R). 1. Dé terminerles él émentsa∈Rtels queM∈SO3(R). 2. Dé terminerles ca ractéristiquesde l "isométrieudeR3associé àMpour cha- cune des valeurs trouvées. Exercice 29 :On noteB=(i,j,k) la base canonique deR3. 1. Dé terminerla m atricedans l abase Bde la rotation deR3d"axe dirigé par le vecteuri-2jet d"angleπ/3. 2. Dé terminerla m atricedans l abase Bde la rotation deR3d"axe dirigé par le vecteuri+j+ket d"angleπ/4. Exercice30:SoientEun espace euclidien orienté de dimension 3,u∈Eunitaire etθ∈R. Montrer que l"applicationf:E→Edéfinie par est la rotation d"axe dirigé paruet d"angleθ∈R.

Exercice31

:SoitEunespace vectoriel euclidien orienté muni d"une base ortho- normée directeB=(i,j,k). Déterminer les rotationsudeEvérifiant u(i)=-jetu(i-j+k)=i-j+k.Partie IIEndomorphismes autoadjoints

II.A -

Gé néralités

Exercice 32 :SoitA∈Mn(R) avecn∈N∗. On définitu∈L(Mn(R)) par Montrer queuest un endomorphisme autoadjoint de l"espace vectorielMn(R) Exercice 33 :SoientEun espace euclidien etu:E→Eune application vérifiant ∀(x,y)∈E2, (u(x)|y)=(x|u(y)).

Montrer queuest un endomorphisme autoadjoint.

Exercice 34 :SoitEun espace euclidien de dimensionn⩾2, un vecteura∈E unitaire et un scalairek∈R. On considère l"applicationf:E→Edéfinie par ∀x∈E,f(x)=x+k(x|a)a. 1. M ontrerqu efest un endomorphisme autoadjoint deE. 2. É tudierles v aleursp ropreset les sou s-espacespr opresde f.

Exercice35

les vecteursaetbne sont pas colinéaires. On définit l"applicationf:E→Epar ∀x∈E,f(x)=(b|x)a+(a|x)b. 1. M ontrerqu efest un endomorphisme autoadjoint deE. 2. D éterminerles v aleursp ropresde fet leur ordre de multiplicité. Exercice 36 :Déterminer les isométries qui sont aussi des endomorphismes au- toadjoints d"un espace euclidien.4 que la projectionpest orthogonale si et seulement sipest autoadjoint.

Exercice 38

: Soit (p,q)∈L(E)2un couple de projecteurs orthogonaux d"un es- pace euclidienE. 1.

M ontrerqu epest un endomorphisme autoadjoint.

2. M ontrerqu ep◦q◦pest un endomorphisme autoadjoint. 3. M ontrerqu e(I m(p)+Ker(q))⊥=Im(q)∩Ker(p). 4.

M ontrerqu ep◦qest diagonalisable.

5.

M ontrerqu eS p(p◦q)⊂[0,1].

Exercice39

:Soituun endomorphisme autoadjoint d"un espace euclidienE. On considère (a,b)∈R2tel queaM ontrerqu epour tou tx∈E, on a 2. S oitvun endomorphisme autoadjoint deE. Montrer que

Sp(u+v)⊂[min(Sp(u))+min(Sp(v)),max(Sp(u))+max(Sp(v))].Exercice 42: Soituun endomorphisme autoadjoint d"un espace euclidienEde

dimension non nulle. On considère l"ensemble H u=©x∈E|(u(x)|x)=1ª. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur Sp(u) pour qu"il existe un vecteur unitaire dansHu.

Exercice 43 - Théorème min-max

: SoientEun espace vectoriel euclidien de di- mensionnetSsa sphère unité. Pourp∈J1,nK, on noteFpl"ensemble des sous- espaces vectoriels deEde dimensionp. Soitfun endomorphisme autoadjoint deEdont on note les valeurs propresλ1⩽···⩽λn. Montrer que

II.B -

M atricessym étriques

Exercice 44 :Diagonaliser les matrices symétriques réelles suivantes avec une matrice de passage orthogonale. (i) 1-2 0 -2 0 2 , (ii) 2 0-1 0 1 0 , (iii) 1-1 1 -1 1-1

Exercice 45

: Soitn∈Navecn⩾2. On considère une matrice

M=

1b10···0

b

1a2b2......

0b2......0

.........an-1bn-1 où (a1,...,an)∈Rnet (b1,...,bn-1)∈(R∗)n-1. Montrer que la matriceMadmetn valeurs propres réelles distinctes.5 On considère une matrice symétriqueA∈Sn(R) et on suppose que les valeurs propresµ1,...,µn-1de la matriceB=(ai,j)(i,j)∈J1,n-1K2sont distinctes et rangées dans l"ordre croissant. 1. M ontrerqu "ile xisteu nemat riceP∈On(R) et (α1,...,αn)∈Rntels que P -1AP=

10···0α1

0µ2......α2.........0...

0···0µn-1αn-1

2.

M ontrerqu epour tou tx∈R\Sp(B), on a

x-αn-n-1X i=1α 2 ix-µi! 3. E ndéduir equ esi S p(A)={λ1,...,λn} avecλ1⩽···⩽λn, alors on a 1.

Dé terminerles mat ricesn ilpotentesde Sn(R).

2.

Exercice 48

Exercice 49 :SoitA∈Sn(R) de valeurs propresλ1⩽···⩽λn. Montrer que Exercice 50 :SoitA∈Sn(R) de valeurs propresλ1,...,λn∈R. Montrer que n X i=1n X j=1a2 i,j=nX i=1λ2 i.Exercice 51 :SoientA,B∈Sn(R) etp∈N. Montrer que A

2p+1=B2p+1⇔A=B.

Exercice 52 :Soit (A,B)∈Sn(R)2.

1. M ontrerqu es "ilexist eP∈On(R) tel queB=PA, alorsA2=B2. 2.

O nsu pposequ eA2=B2.

(a)

M ontrerq uer ang(A2)=rang(A).

(b)

E ndédui req ueK er(A)=Ker(B) et Im(A)=Im(B).

(c) M ontrerq u"ilexist eune mat riceQ∈On(R), un entierr∈J0,nKet des matrices inversibles

˜A∈Sr(R) et˜B∈Sr(R) tels que

(d)

M ontrerl ar éciproquede la qu estion1 .

Exercice 53

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