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SPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON

COURS ALGÈBRE5 - ENDOMORPHISMES DANS LES ESPACES EUCLIDIENS I- ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES....................1

1. ISOMÉTRIES VECTORIELLES...............................................................................1

2. MATRICES ORTHOGONALES...............................................................................2

3. DÉTERMINANT ET VALEURS PROPRES.................................................................2

4. ORIENTATION...................................................................................................2

5. SYMÉTRIES ORTHOGONALES..............................................................................3

6. PRODUIT MIXTE,PRODUIT VECTORIEL...............................................................3

7. ISOMÉTRIES VECTORIELLES DU PLAN.................................................................3

8. ISOMÉTRIES VECTORIELLES DANS UN ESPACE DE DIMENSION3..........................4

9. ROTATIONS.......................................................................................................4

II- ENDOMORPHISMES AUTO-ADJOINTS ET MATRICES SYMÉTRIQUES........5

1. MATRICES SYMÉTRIQUES ET ANTISYMÉTRIQUES(RAPPELS ET COMPLÉMENTS)........5

2. ENDOMORPHISMES AUTO-ADJOINTS.................................................................5

3. ENDOMORPHISMES AUTO-ADJOINTS(MATRICES SYMÉTRIQUES)POSITIFS,DÉFINIS POSITIFS5

Dans tout ce chapitre, E est un espace euclidien, c"est-à-dire un espace préhilbertien réelde

dimension finie.I- ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES

1. ISOMÉTRIES VECTORIELLES

Uneisométrie vectorielle(ouautomorphisme orthogonal) de E est un endomorphisme qui conserve le produit scalaire c"est-à-dire ?(x,y)?E2,?u(x)??u(y)?=?x|y?DÉFINITION1Isométrie vectorielle

Une isométrie vectorielle conserve donc l"orthogonalité.REMARQUESoitu?L(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i)uest une isométrie vectorielle; (ii)utransforme toutes les bases orthonormées en bases orthonormées; (iii)utransforme une base orthonormée en base orthonormée ;

(iv)uconserve la norme :?x?E,?u(x)?=?x?.THÉORÈME1Caractérisation des isométries vectoriellesUne isométrie vectorielle est un automorphisme.COROLLAIRE1

Legroupe orthogonalest l"ensemble O(E) des isométries vectorielles de E.DÉFINITION2Groupe orthogonalO(E) est un groupe pour la loi◦, sous-groupe de GL(E).

Cela signifie que la composée et l"inverse d"isométries vectorielles sont des isométries vectorielles.THÉORÈME2 ?1? ALGÈBRE5- ENDOMORPHISMES DANS LES ESPACES EUCLIDIENSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON Soituune isométrie vectorielle de E. Si le sev F est stable paru, alors son orthogonal F ?est également stable paru.PROPOSITION1Stabilité et orthogonal

2. MATRICES ORTHOGONALES

M?Mn(R) est unematrice orthogonalesi M?M=InDÉFINITION3Matrice orthogonaleSoit M?Mn(R). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)M est orthogonale; (ii)les colonnes de M forment une base orthonormée deRn; (iii)les lignes de M forment une base orthonormée deRn; (iv)M est inversible et M-1=M?.THÉORÈME3Caractérisationdes matrices orthogonales On retiendra avec le plus grand intérêt que l"inverse d"une matrice orthogonale est sa transposée.REMARQUEBétant une base orthonormée de E,Cétant une base de E,

Cest orthonormée??la matrice de passage deBàCest orthogonale.PROPOSITION2Changement de BONBétant une base orthonormée quelconque de E,

u?L(E) est orthogonal si et seulement si sa matrice dansBest orthogonale.THÉORÈME4Matrice d"une isométrie vectorielle dans une BON

On note On(R) ou O(n) l"ensemble des matrices orthogonales deMn(R).DÉFINITION4Groupe orthogonal On(R) est un groupe pour le produit matriciel, sous-groupe de GLn(R).THÉORÈME5

3. DÉTERMINANT ET VALEURS PROPRES

Soit M une matrice orthogonale [resp.uune isométrie] . Alors

•detM=±1 [resp. detu=±1]

•les valeurs propres éventuelles de M [resp.u] sont±1. De plus, ker(u-IdE) et ker(u+IdE) sont orthogonaux.THÉORÈME6 •une matrice orthogonale [resp. une isométrie] n"admet pas nécessairement de va- leurs propres;

•un endomorphisme de déterminant 1 ou-1 n"est pas nécessairement une isométrie.REMARQUEUne matrice orthogonale [resp. isométrie] estdirect(e)si son déterminant est 1,indi-

rect(e)si son déterminant est-1. Une isométrie vectorielle directe est également appelérotation.

On note SO

n(R) ou SO(n) l"ensemble des matrices orthogonales directes deMn(R) et

SO(E) l"ensemble des rotations (= isométries directes) de E.DÉFINITION5SOn(R) [resp. SO(E)] est un groupe, sous-groupe de On(R) [resp. O(E)] appelé groupe

spécial orthogonal deMn(R) [resp. E].PROPOSITION3Groupe spécial orthogonal

4. ORIENTATION

Deux basesBetCde E ontmême orientationsi detB(C)>0. OrienterE, c"est choisir une baseBde référence. Une baseCest directe si elle a la

même orientation queBc"est-à-dire si detB(C)>0.DÉFINITION6OrientationBétant une base orthonormée directe (BOND),Cest une BOND??la matrice de

passage deBàCest orthogonale directe.PROPOSITION4Matrice de passage entre BOND ?2? ALGÈBRE5- ENDOMORPHISMES DANS LES ESPACES EUCLIDIENSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON Orienterl"hyperplanH,c"estchoisir un vecteurnorthogonalàH.Une base(e1,...,en-1) de H est alors directe si la base (u,e1,...,en-1) est directe dans E. Il y a deux orientations possibles de H.DÉFINITION7Orientation d"un hyperplan

5. SYMÉTRIES ORTHOGONALES

Unesymétrie orthogonaleest une symétrie dont les sous-espaces propres (ker(s-IdE) et ker(s+IdE)) sont orthogonaux.

Une réflexionest une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.DÉFINITION8Symétrie orthogonaleUne symétrie orthogonale est une isométrie vectorielle.PROPOSITION5u?L(E) est une symétrie orthogonale??sa matrice dans toute base orthonormée

est orthogonale et symétrique.PROPOSITION6

6. PRODUIT MIXTE,PRODUIT VECTORIEL

Dans E euclidienorientéde dimensionn, leproduit mixted"une famille denvecteurs de E est son déterminant dans une BOND. Ce déterminant ne dépend pas de la BOND choisie.

On le note entre crochets : [u,v], [u,v,w]...DÉFINITION9Produit mixteEn dimension 2 [resp. 3], le produit mixte est l"aire [resp. volume] du parallélogramme

[resp. parallélépipède] construit sur les vecteurs de la famille.PROPOSITION7Interprétation géométrique

Dans E euclidienorientéde dimension 3, leproduit vectorielde la famille (u,v) est l"unique vecteurwtel que?x?E, [u,v,x]=?w|x?.

On le noteu?v.DÉFINITION10Produit vectoriel

On a donc : [u,v,w]= ?u?v|w?, ce qui donne son sens à l"expression " produit mixte » comme "mélange» de produit scalaire et produit vectoriel.

Le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée.PROPOSITION8SoitB=(i,j,k) une BOND de E. Alorsk=i?j.

Soientu,v?E. Les coordonnées deu?vdansBsont((yz?-zy? zx ?-xz? xy ?-yx?)) .PROPOSITION9Expression du produit vectoriel en BOND On retiendra facilement ce résultat avec la notation formelle :u?v=??????x x ?i y y ?j z z ?k?????? qu"on déve- loppe selon la 3 ecolonne. u?v?uetu?v?v u?v=0E??(u,v) est liée

COROLLAIRE2

7. ISOMÉTRIES VECTORIELLES DU PLAN

a)Matricesorthogonales Les matrices de O2(R) sont les matrices de la forme : R

θ=?cosθ-sinθ

sinθcosθ? ; S

θ=?cosθsinθ

sinθ-cosθ? oùθ?R.

Les matrices de SO

2(R) (directes) sont les Rθ,θ?R(detRθ=+1).

Les matrices indirectes sont les S

θ,θ?R(detSθ=-1).PROPOSITION10

b)RotationsOn considèrePun plan vectoriel orienté etB=(?ı,??) une BOND deP. L"endomorphisme dePdont la matrice dansBest Rθ=?cosθ-sinθ sinθcosθ? est appeléro- tation d"angleθet sera notérθ.DÉFINITION11Rotation ?3? ALGÈBRE5- ENDOMORPHISMES DANS LES ESPACES EUCLIDIENSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON D"après la proposition précédente, la matrice derθdans toute BOND est Rθ.

θs"appelle l"angle de la rotation, il est défini modulo 2π.DÉFINITION12Angle d"une rotation

c)RéflexionsUne réflexion du plan euclidien est une symétrie orthogonalepar rapport à une droite.

SoitB=(?ı,??) une BON deP. L"endomorphisme dont la matrice dansBest Sθ=?cosθsinθ sinθ-cosθ? est la réflexion d"axe la droite d"angle polaire

2dansB.

PROPOSITION11

8. ISOMÉTRIES VECTORIELLES DANS UN ESPACE DE DIMENSION3

a)Réduction Soit E un espace euclidien de dimension 3 etf?O(E). Il existe une BOND de E dans laquellefa pour matrice :

•((1 0 00 cosθ-sinθ

0 sinθcosθ))

si detf=1 (-1 0 0

0 cosθ-sinθ

0 sinθcosθ))

si detf=-1 avec le cas particulierθ=0 [2π] :((-1 0 0 0 1 0

0 0 1))

, matrice de réflexion (symétrie orthogo- nale par rapport à un plan)PROPOSITION12Réduction

9. ROTATIONS

La rotation d"axeuet d"angleθest l"endomorphisme deR3défini par?f(u)=u la restriction defau planu?orienté paruest la rotation (plane) d"angleθDÉFINITION13Rotation

Siuest changé en-u,θest changé en-θ.REMARQUEUne rotation est déterminée par un couple axe-angle (u,θ). Rappel : (-u,-θ) convient

également.

On choisit un vecteur unitaireude ker(f-IdE).

La trace étant un invariant de similitude, trf=1+2cosθce qui fournit cosθ. Le signe de sinθest le même que det?u,x,f(x)?oùxest un vecteur non colinéaire àu.

En effet : det

?u,x,f(x)?=??????1x1x1

0x2x2cosθ-x3sinθ

0x3x2sinθ+x3cosθ??????

=(x22+x23)sinθEN PRATIQUE1.A=1 3(( -2-2 1 -2 1-2

1-2-2))

2.A=((0 0 11 0 00 1 0))

3.A=14((

3 1-? 6 1 3?6 6? 6-2)) 4.A=1 7(( 2 6-3 -6 3 2

3 2 6))

EXEMPLES

?4?

ALGÈBRE5- ENDOMORPHISMES DANS LES ESPACES EUCLIDIENSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFONII- ENDOMORPHISMES AUTO-ADJOINTS ET MATRICES SYMÉ-

TRIQUES

1. MATRICES SYMÉTRIQUES ET ANTISYMÉTRIQUES(RAPPELS ET COMPLÉMENTS)Onrappelle que latransposition est unendomorphisme involutif deMn(R):c"est une symé-

trie.Sn(R)=ker(T-Id) etAn(R)=ker(T+Id) sont donc des sous-espaces vectoriels supplé- mentaires dansMn(R).

Leurs dimensions sont respectivement

n(n+1)

2etn(n-1)

2. La décomposition d"une matrice selon cette somme directe est : A=1

2?A+A??+1

2?A-A??.

De plus T conserve le produit scalaire canonique deMn(R) : c"est une symétrie orthogonale etSn(R) etAn(R) sont supplémentaires orthogonaux dansMn(R).

2. ENDOMORPHISMES AUTO-ADJOINTS

L"endomorphismefde E estauto-adjoint(ousymétrique)si ?x,y?E,?f(x)|y?=?x|f(y)?DÉFINITION14Endomorphisme symétrique

On dispose du même théorème "Stabilité et orthogonal» que pour les isométries (cfla pro-

position 1) : Soitfun endomorphisme auto-adjoint de E. Si le sev F est stable parf, alors son or- thogonal F ?est également stable parf.PROPOSITION13Stabilité et orthogonalf?L(E) est auto-adjoint ??il existe une base orthonormée dans laquelle sa matrice est symétrique ??sa matrice dans toute base orthonormée est symétrique.THÉORÈME7Matrice dans une BON Attention, la matrice d"un endomorphisme auto-adjoint dans une basenon orthonor-

méen"est pas nécessairement symétrique.REMARQUELes sous-espaces propres d"un endomorphisme auto-ajoint (d"une matrice symé-

trique) sont deux à deux orthogonaux.PROPOSITION14Sep orthogonaux Tout endomorphisme auto-adjointf(toute matrice symétrique S) est orthogonale- ment diagonalisable c"est-à-dire : il existe une base orthonormée de vecteurs propres pourf; il existe une matrice orthogonale P telle que P

-1MP=tPMP soit diagonale.THÉORÈME8Théorème spectral (dem non exigible)Un projecteur est auto-adjoint??c"est un projecteur orthogonal.

Une symétrie est auto-adjointe??c"est une symétrie orthogonale.PROPOSITION15Projecteurset symétries orthogonales

3. ENDOMORPHISMES AUTO-ADJOINTS(MATRICES SYMÉTRIQUES)POSITIFS,

DÉFINIS POSITIFS

L"endomorphisme auto-adjointuest ditpositifsi?x?E,?u(x)|x??0. Il est ditdéfini positifsi?x?E\{0E},?u(x)|x? >0. On noteS+(E) [resp.S++(E)] l"ensemble des endomorphismes auto-adjoints positifs [resp. définis positifs] de E.DÉFINITION15

Traduction matricielle :

La matrice symétrique M est ditepositivesi?X?Rn,?MX)|X??0. Elle est ditedéfinie positivesi?X?Rn\{0Rn},?MX)|X?>0. OnnoteS+n(R)[resp.S++n(R)]l"ensemble desmatricessymétriques positives [resp.dé-

finies positives] de E.DÉFINITION16Soitu?S(E).u?S+(E) [resp.S++(E)]??ses vp sont toutes?0 [resp.>0].

Soit S?Sn(R). S?S+n(R) [resp.S++n(R)]??ses vp sont toutes?0 [resp.>0].PROPOSITION16Caractérisation spectrale

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