[PDF] endomorphismes dun espace vectoriel euclidien - psi

View - Download endomorphismes dun espace vectoriel euclidien - psi

Previous PDF

Next PDF

PSIENDOMORPHISMES D"UN ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN

Dans ce chapitre,Eest un espace vectoriel euclidien de dimensionn>1, dont on note< ; >le produit scalaire.

I-ISOMÉTRIES VECTORIELLES1)Isométrie vectorielle ou automorphisme orthogonalth.1Soitu2 L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :a)8x2E;jju(x)jj=jjxjj.b)8(x;y)2E2; < u(x);u(y)>=< x;y >.c)utransforme une base orthonormale en une base orthonormale .Lorsqueuvérifie l"une des ces assertions,uest bijectiveet on dit queuest une isométrie vectorielle ou un automorphisme orthogonal.On noteO(E)l"ensemble des automorphismes orthogonaux.

th.2La composée de deux isométries vectorielles est une isométrie vectorielle. La réciproque d"une isométrie vectorielle est une isométrie vectorielle.

Le déterminant d"une isométrie vectorielle vaut1ou1.L"ensemblefu2O(E)= det(u) = 1gest appelé groupe spécial orthogonal ou groupe des rotations, et notéSO(E)ouO+(E).

th.3Les valeurs propres réelles éventuellesd"un endomorphisme orthogonalusont1et1.De plus, les sous espaces vectorielsKer(uIdE)etKer(u+IdE)sont orthogonaux.

th.4SoitFun sous espace vectoriel deEstable par l"isométrie vectorielleu. AlorsF?est également stable paru.De plus l"endomorphisme induit parusurF?est une isométrie vectorielle.

2)Matrices orthogonalesdéf.Une matriceA2 Mn(R)est orthogonale lorsquetAA=Ince qui équivaut àtA=A1.On noteOn(R)l"ensemble des matrices orthogonales.

th.1SoitB= (e1;e2;:::;en)une base orthonormale deEfixée.SoitA2 Mn(R)etu2 L(E)tel queA=MB(u).AlorsAest une matrice orthogonale si et seulement siuest une isométrie vectorielle.

th.2Les propriétés suivantes sont équivalentes : a)A2 Mn(R)est orthogonale.b)

tAest orthogonale.c)Les vecteurs colonnes deAforment une base orthonormale deMn1(R)pour le produit scalaire usuel.d)Les vecteurs lignes deAforment une base orthonormale deM1n(R)pour le produit scalaire usuel.e)Aest la matrice de passage entre deux bases orthonomales deRn.

th.3Le produit de deux matrices orthogonales est une matrice orthogonale. L"inverse d"une matrice orthogonale est une matrice orthogonale. SO n(R) =fA2 On(R)=det(A) = 1gs"appelle le groupe spécial orthogonal.

EndoEvEuclidien - page 1 sur 5

3)Symétries orthogonalesSoitFest un sous espace deE. On sait queE=FF?.

La symétriesassociée à cette somme directe est appelée symétrie orthogonale par rapport àF.

Rappelons que six=y+z2FF?alorss(x) =yz.

prop.1Sisest une symétrie orthogonalealorss2 O(E).

prop.2Soitsune symétrie orthogonale par rapport à un hyperplanH.sest la réflexionpar rapport àH.Alors :s(x) =x2< x;a >< a;a >

:aoùaest un vecteur non nul normal àH.s2 O(E) SO(E).Soits0la symétrie orthogonale par rapport à la droiteD=R:aoùa2E f0Eg.s

0est le retournementd"axeD.Alors :s0(x) =x+ 2< x;a >< a;a >

:a. Doncs0=s.s02 SO(E)()nest impair.

III-ORIENTATION EN DIMENSION2ET3SoitEun espace vectoriel euclidien de dimensionnégale à 2 ou à 3.

1)RappelsNotonsLl"ensemble des bases orthonormales et ordonnées deE.

SiBetB0sont deux bases orthonormales deE, la matrice deB0dansBest une matrice orthogonale donc son déterminant vaut1ou1. DoncdetBB0=1 On étudie la relationRdéfinie par :8(B;B0)2 L2;B R B0()detBB0= 1. Rest une relation d"équivalence : réflexive, symétrique et transitive.

OrienterE, c"est choisir arbitrairement une baseBqui sera dite "directe", de même que toutes les bases

en relation avecB(et donc en relation entre elles). Ces bases seront appelées bases directes, les autres bases indirectes. En dimension3, soitDune droite vectorielle orientée par un de ses vecteurs~u6= 0E On oriente alors le planH=D?de la manière suivante : !e1;!e2)est une base directe deHsi et seulement si(!e1;!e2;~u)est une base directe deE.

2)Produit mixtea. En dimension 2

Soit(X1;X2)2E2etBetB0deux bases orthonormales directes deE. det B(X1;X2) = detB0(X1;X2)detB(B0) = detB0(X1;X2)cardetB(B0) = 1. déf.det

B(X1;X2)est indépendant de la base orthonormale directeBchoisie pour le calculer.On l"appelle produit mixte des vecteursX1;X2et on le note[X1;X2].

b. En dimension 3Soit(X1;X2;X3)2E3etBetB0deux bases orthonormales directes deE. det B(X1;X2;X3) = detB0(X1;X2;X3)detB(B0) = detB0(X1;X2;X3)cardetB(B0) = 1. déf.det

B(X1;X2;X3)est indépendant de la base orthonormale directeBchoisie pour le calculer.On l"appelle produit mixte des vecteursX1;X2;X3et on le note[X1;X2;X3].

EndoEvEuclidien - page 2 sur 5

IV-CLASSIFICATION EN DIMENSION 2On considèreEun espace vectoriel euclidien orienté de dimension2.

1)Le groupeO2(R)th.O

2(R) =ab

b a =(a;b)2R2eta2+b2= 1 [a b ba =(a;b)2R2eta2+b2= 1

2)Caractérisation des éléments deO(E)th.SoitBune base orthonormale deEetu2 L(E)1)u2 SO(E)() 9(a;b)2R2= MB(u) =ab

b a et a

2+b2= 1Dans ce cas,uest une rotation etu=IdEou Ker(uIdE) =fOEg.Siu6=IdEetu6=IdEalorsun"a pas de valeur propre réelle.2)u2 O(E) SO(E)() 9(a;b)2R2= MB(u) =a b

ba et a

2+b2= 1Dans ce cas,uest une réflexion par rapport à une droiteDil existe une base orthonormaleCtelle queMC(u) =1 0

01

et Ker(uIdE) =D.Les rotations sont caractérisées par leur déterminant qui vaut1.Les réflexions sont caractérisées par leur déterminant qui vaut1.

3)Angle d"une rotationth.1Siretr0sont deux rotationsalorsrr0=r0r.

Démonstration:

SoitBune base orthonormale deEetretr0deux rotations. Alors

9(a;b)2R2= MB(r) =A=ab

b a eta2+b2= 1et

9(a0;b0)2R2= MB(r0) =A0=a0b0

b 0a0 eta02+b02= 1.

AlorsMB(rr0) =AA0=aa0bb0a0bab0

a

0b+ab0aa0bb0

=A0A=MB(r0r).

Doncrr0=r0retSO(E)est un groupe commutatif.

th.2La matrice d"une rotation dans une base orthonormaledirectene dépend pas de la base orthonormale

directe choisie.

Démonstration:

SoitBetB0deux bases orthonormales directes deEetrune rotation. NotonsA=MB(r)etA0=MB0(r)etPla matrice de passage deBàB0.

AlorsA0=P1AP. Orrétant une rotation et les bases étant directes,A,P, et doncP1, sont dansSO2(R).

Donc elles commutent, doncA0=AP1P=A.

déf.Soitr2 SO(E).Sa matrice dans toute base orthonormale directeest de la forme ab b a

aveca2+b2= 1.On définità2près tel quea= cosetb= sin.s"appelle l"angle de la rotationr.Soitrla rotation d"angle.rassocie au pointMd"affixezle pointM0d"affixeeiz

th.38(;)2R2; rr=r+=rret[r]1=r()

EndoEvEuclidien - page 3 sur 5

V-CLASSIFICATION EN DIMENSION 3On considèreEun espace vectoriel euclidien orienté de dimension3.

1)Étude des rotations deEth.Soitu2 SO(E)Il existe une base orthonormale directeB= (e1;e2;e3)deEet il existe2Rtelle que :M

B(u) =0

@cossin0 sincos0

0 0 11

ASi= 0 (2)alorsu=IdE.Si6= 0 (2)alorsKer(uIdE) =fX2E = u(X) =Xg=V ect(e3).C"est une droite vectorielle qu"on noteraD.

déf.On dit queuest la rotation d"axeDet d"angle,Détant orientée suivante3. prop.1Si6=(2)alorsKer(u+IdE) =fX2E = u(X) =Xg=f0Eg.Si=(2)alorsKer(u+IdE) =fX2E = u(X) =Xg=D?=P.

prop.2Tr(u) = 1 + 2cospermet le calcul decos. Alorssin2= 1cos2;d"oùjsinjsina le signe de[X;u(X);e3]pour toutX =2D

2)Description des isométries vectorielles deEOn classe les élémentsudeO(E)suivant la dimension deF= Ker(uIdE).

Sidim(F) = 3alorsu=IdE.

Sidim(F) = 2alorsuest la symétrie orthogonale par rapport au planF= Ker(uIdE),. ie la réflexion par rapport àF. Sidim(F) = 1alorsuest une rotation autour de l" axeF= Ker(uIdE). Sidim(F) = 0alorsSeul le vecteur0Eest invariant. On a l"alternative : u=IdE. u6=IdEet il existe un axe, un planorthogonal à, tels queu=rs=sr,rétant une rotation autour de etsune réflexion par rapport à. De plus,retssont uniques.us"appelle anti- rotation. SO(E)est constitué deIdEet des rotations autour d"un axe. O(E) SO(E)est constitué des réflexions, deIdEet des anti-rotations.

Remarque : Un retournement d"axeD, ie une symétrie orthogonale par rapport àD, est une rotation d"axeD

et d"angle.

EndoEvEuclidien - page 4 sur 5

I-RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES1)Définitiondéf.u2 L(E)est un endomorphisme symétrique lorsque8(x;y)2E2; < u(x);y >=< x;u(y)>On noteraS(E)l"ensemble des endomorphismes symétriques.

th.1SoitBest une base orthonormale deEetu2 L(E).Alorsu2 S(E)si et seulement siMB(u)est symétrique th.2S(E)est un sous-espace vectoriel deL(E)isomorphe àSn(R). Donc dim(S(E)) =n(n+ 1)2

th.3Soituun endomorphisme symétrique deE.SiFest un sous espace vectoriel deEstable parualorsF?est également stable paruet les endomorphismes induits parusurFetF?sont symétriques.Sietsont deux valeurs propres distinctesdeualorsE(u)?E(u).

Exemples :Les projecteurs orthogonaux et les symétries orthogonales sont des endomorphismes symétriques.

2)Théorème spectralth.1Soituun endomorphisme symétrique de l"espace vectoriel euclidienE. AlorsToute valeur propre deuest réelle.uest donc scindé dansR.uest diagonalisable et admet une base orthonormée de vecteurs propres.Eest donc la somme directe orthogonale des sous espaces propres deu.Les sous espaces propres deusont deux à deux orthogonaux.

th.2SoitA2 Sn(R).Aest donc une matrice symétrique réelle.Alors "Aest diagonalisable en base orthonormale » c"est-à-dire :Il existeDune matrice diagonale etPune matrice orthogonale telles que :A=P DtP.

EndoEvEuclidien - page 5 sur 5

quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] Enduits décoratifs et laine de roche, une conception ininflammable

[PDF] l 'energie cinetique - ASSOCIATION ADILCA

[PDF] énergie cinétique et sécurité routière - Lyon

[PDF] EXERCICES ENERGIE CINETIQUE et POTENTIELLE

[PDF] Chapitre 5 Le ressort - physique-collegialeca

[PDF] L 'énergie dans l 'habitat - STI2D - lycée Saint Joseph Pierre Rouge

[PDF] Le fonctionnement d 'une éolienne

[PDF] Principes de fonctionnement et usages de la géothermie

[PDF] Energies marines hydrolienne et houlomotrice - Institut Coriolis

[PDF] Énergie Maritime

[PDF] Production de l 'électricité en Tunisie

[PDF] L 'énergie Hydraulique - monassier

[PDF] L 'énergie hydraulique Prénom - CM2 Dolomieu

[PDF] Énergie libre - Incapable de se taire

[PDF] Chap2 : L Energie mécanique