[PDF] Séance 9 : Adjoint. Espaces euclidiens et hermitiens. 4 novembre

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Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux AL3 S ´eance 9 : Adjoint. Espaces euclidiens et hermitiens.

ENS Rennes

4 novembre 2020

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux S

´eance pr´ec´edente

Existence de base orthogonales, algorithme de Gauss.

Classification des formes quadratiques surCetR.

Signature d"une forme quadratique r´eelle.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Groupe orthogonal d"une forme quadratiqueD

´efinition 9.1Soit(E;q)un espace quadratique. On appellegroupe orthogo- nalde(E;q), not´eO(q), le groupe des isom´etries de(E;q).Exemple Soit x2E un vecteur non isotrope, on appelle r´eflexion d"axe x l"application x:E!E y7!y2b(x;y)q(x)x:

C"est une isom

´etrie.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Groupe orthogonal d"une forme quadratiqueD

´efinition 9.1Soit(E;q)un espace quadratique. On appellegroupe orthogo- nalde(E;q), not´eO(q), le groupe des isom´etries de(E;q).Exemple Soit x2E un vecteur non isotrope, on appelle r´eflexion d"axe x l"application x:E!E y7!y2b(x;y)q(x)x:

C"est une isom

´etrie.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Structure deO(q)Th

´eor`eme 9.1Soit(E;q)un espace quadratique non d´eg´en´er´e. AlorsO(q) engendr

´e par les r´eflexions.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Adjoint d"une application lin

´eaireProposition 9.2

Soient(E;q),(E0;q0)des espaces quadratiques, de formes polaires respectivesb;b0. On suppose que(E;q)est non d

´eg´en´er´e et de dimension finie.

Soitu2 L(E;E0). Alors il existe un uniqueu2 L(E0;E)tel que pour tousx2E;y2E0: b

0(u(x);y) =b(x;u(y)):D

´efinition 9.2Sous les hypoth

`eses pr´ec´edentes,us"appelleadjointdeu. Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Adjoint d"une application lin

´eaireProposition 9.2

Soient(E;q),(E0;q0)des espaces quadratiques, de formes polaires respectivesb;b0. On suppose que(E;q)est non d

´eg´en´er´e et de dimension finie.

Soitu2 L(E;E0). Alors il existe un uniqueu2 L(E0;E)tel que pour tousx2E;y2E0: b

0(u(x);y) =b(x;u(y)):D

´efinition 9.2Sous les hypoth

`eses pr´ec´edentes,us"appelleadjointdeu. Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Adjoint : propri

´et´esProposition 9.3

Soient(E;q)et(E0;q0)de dimension finie, non d´eg´en´er´es.

Alors :

L"application

L(E;E0)! L(E0;E)

u7!u est un isomorphisme, etu= (u). si(E;q) = (E0;q0), alors pouru;v2 L(E), on a (uv)=vu.Proposition 9.4 Soit(E;q)de dimension finie, non d´eg´en´er´e. Soitu2 L(E), et soitFEun sous-espace stable paru.

AlorsF?est stable paru.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Adjoint : propri

´et´esProposition 9.3

Soient(E;q)et(E0;q0)de dimension finie, non d´eg´en´er´es.

Alors :

L"application

L(E;E0)! L(E0;E)

u7!u est un isomorphisme, etu= (u). si(E;q) = (E0;q0), alors pouru;v2 L(E), on a (uv)=vu.Proposition 9.4 Soit(E;q)de dimension finie, non d´eg´en´er´e. Soitu2 L(E), et soitFEun sous-espace stable paru.

AlorsF?est stable paru.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Endomorphismes normauxD

´efinition 9.3On dit queu2 L(E)estnormalsiuetucommutent.Exemple u autoadjoint : u=u u2O(q): u=u1 u antisym´etrique : u=u.Proposition 9.5 Soit(E;q)de dimension finie, non d´eg´en´er´e. Soitu2 L(E). On suppose queuest normal. Alors pour toutP2K[X],kerP(u) est stable paru. Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Endomorphismes normauxD

´efinition 9.3On dit queu2 L(E)estnormalsiuetucommutent.Exemple u autoadjoint : u=u u2O(q): u=u1 u antisym´etrique : u=u.Proposition 9.5 Soit(E;q)de dimension finie, non d´eg´en´er´e. Soitu2 L(E). On suppose queuest normal. Alors pour toutP2K[X],kerP(u) est stable paru. Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Endomorphismes normauxD

´efinition 9.3On dit queu2 L(E)estnormalsiuetucommutent.Exemple u autoadjoint : u=u u2O(q): u=u1 u antisym´etrique : u=u.Proposition 9.5 Soit(E;q)de dimension finie, non d´eg´en´er´e. Soitu2 L(E). On suppose queuest normal. Alors pour toutP2K[X],kerP(u) est stable paru. Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Formes sesquilin

´eairesD

´efinition 9.4SoitE;FdesC-espaces vectoriels etu:E!Fune application.

On dit queuestsemi-lin´eairesi

8x;y2E;82C;u(x+y) =u(x) +u(y):D

´efinition 9.5SoitEunC-espace vectoriel. Uneforme sesquilin´eairesurE est une applicationf:EE!Ctelle que :

8y2E,f(;y)est lin´eaire;

8x2E,f(x;)est semi-lin´eaire.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Formes hermitiennes et produits scalairesD

´efinition 9.6SoitEunC-espace vectoriel. Uneforme hermitiennesurEest une forme sesquilin

´eairefv´erifiant de plus la relation

8x;y2E;f(x;y) =f(y;x):D

´efinition 9.7SoitEun espace vectoriel surC(resp.R). Un produit scalaire surEest la donn´ee d"une forme hermitienne (resp. bilin´eaire sym

´etrique)ftelle que :

8x2E,f(x;x)2R+(positive)

8x2E,f(x;x) =0 si et seulement six=0 (d´efinie).

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Espaces euclidiens et hermitiensD

´efinition 9.8Un espace hermitien (resp. euclidien) est un espace vectoriel de dimension finie surC(resp.R) muni d"un produit scalaire.Exemple

Rnmuni de(x;y)7!P

ixiyi,

Cnmuni de(x;y)7!P

ixiyi.

C[X] aP(t)Q(t)dt.D ´efinition 9.9La matrice du produit scalaireh;ien base(ei)est la matrice M= ( ei;ej), de sorte quehx;yi=tXMY. Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux In ´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Norme euclidienneProposition 9.6 (In ´egalit´e de Cauchy-Schwarz)Soit(E;h;i)un espace euclidien ou hermitien. Alors :

8x;y2E;jhx;yij26hx;xihy;yi:Corollaire 9.7

Soit(E;h;i)un espace euclidien ou hermitien. Alors x7! kxk=phx;xi est une norme surE. Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Orthogonalit

´eD

´efinition 9.10SoitEun espace euclidien (resp. hermitien). SoitAE, l"or- thogonal deAest A ?=fx2E;8y2A;hx;yi=0g:Th ´eor`eme 9.8SoitEeuclidien ou hermitien, alors l"application : E!E y7!fy:E!K x7! hx;yi est un isomorphisme (resp. un isomorphisme semi-lin

´eaire).Corollaire 9.9

SoitFEun sous-espace vectoriel, alorsE=FF?.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux Orthonormalisation d"une famille libreProposition 9.10 SoitEeuclidien ou hermitien. Soitx1;:::;xkune famille libre. Alors il existe une unique famillee1;:::;ektelle que :

La familleeiest orthonormale;

816i6k, Vect(x1;:::;xi) =Vect(e1;:::;ei);

816i6k,hxi;eii>0.Corollaire 9.11

Tout espace euclidien ou hermitien admet une base ortho- norm

´ee.

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Algorithme de Gram-Schmidt

Soitx1;:::;xkune famille libre d"un espace vectoriel euclidien ou hermitien.

1.e1=x1=kx1k.

2.

P our2 6i6k:

z i=xii1X j=1 xi;ejej e j=zj=kzjk Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Adjoint d"un endomorphismeProposition 9.12

SoitEeuclidien ou hermitien. Soitu2 L(E). Alors il existe un uniqueu2 L(E)tel que pour tousx;y2E, hx;u(y)i=hu(x);yi:D ´efinition 9.11L"endomorphismeuest l"adjointdeu.Remarque

Dans une base orthonorm

´ee, on a :

Mat(u) =tMat(u):

Groupe orthogonalAdjointEspaces euclidiens et hermitiensAdjoint. Endomorphismes normaux

Endomorphismes normauxD

´efinition 9.12SoitEeuclidien ou hermitien. Soitu2 L(E). On dit queuest normalsiuetucommutent.Exemple u autoadjoint (ou sym´etrique) : u=u u unitaire (ou orthogonal) : uu=id u anti-autoadjoint (ou antisym´etrique) : u=u.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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