Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
%20d%C3%A9riv%C3%A9es
Calcul des primitives.
Calcul des primitives. 2.2 tangente et fcts. réciproques. 2.2 Tangente tg arctangente Arctg
Tableaux des dérivées
%20primitives
Dérivabilité et primitive
Dans ce cas admet au point d'abscisse 0 une tangente de coéfficient directeur a. 2. Dérivabilité à gauche - dérivabilité à droite.
Petit formulaire bien utile Formules trigonométriques
Dérivées - Primitives. Les fonctions sinus hyperbolique cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont dérivables sur R. sh. ?. (x) = chx ch. ?. (
Dérivation & primitives
Soit f une fonction C sa courbe représentative et A un point de C d'abscisse x0. Si f est dérivable en x0
Chapitre13 : Fonctions hyperboliques
position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'abscisse 0 (position que F) Fonction th (tangente hyperbolique) ... Une primitive de x ÞÑ.
La dérivée lintégrale
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA04012.pdf
Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES.pdf
La fonction tangente hyperbolique. ( ). ( ). ( ). : x x x x f sh x. e e x y th x ch x. e e. ?. ?. ?. ?. = = = +. . . 6. La fonction. ( ) y th x. =.
Chapitre 1 - Dérivation développements limités et intégration
Cette tangente est la droite limite des cordes (Mx0 Mx0+h). appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable dont la dérivée est f.
[PDF] Tableaux (formulaires fonctions usuelles dérivées primitives - 2013
%2520d%25C3%25A9riv%25C3%25A9es
[PDF] Tableaux des dérivées
%2520primitives
[PDF] Calcul des primitives
En pratique pour calculer une primitive d'une fonction donnée on la ramène à un ca- talogue de primitives usuelles Ces primitives que l'on doit connaître
[PDF] Calcul des primitives
Calcul des primitives 2 2 tangente et fcts réciproques 2 2 Tangente tg arctangente Arctg arcsinus Arcsin et arccosinus Arccos
[PDF] Intégration et calcul de primitives
Définition 2 Grâce `a la fonction exponentielle on peut définir les fonctions sinus cosinus et tangente hyperbolique respectivement définies par :
[PDF] 1 Primitives
En considérant l'application ?: x ? ]? 2 3? 2 [ ?? cos(x) ?]0 1] on montre de façon analogue qu'une primitive de la fonction tangente sur
[PDF] PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Une primitive de la fonction f est une fonction dont la dérivée première est f ( ) d'une courbe la pente de la tangente est égale au triple de
[PDF] Calculs de primitives et dintégrales - Exo7
tann x dx 1 Calculer I0 et I1 Trouver une relation entre In et In+2 En déduire In en fonction de n 2 Montrer que In tend vers 0 quand n tend vers +?
[PDF] Dérivées Primitives et Intégrales - Définition calcul et applications
Coefficient directeur de la tangente `a la courbe représentative de la fonction étudiée Définition algébrique f (a) = lim x?a f (x)
Table des matières
1 "Rappels»2
2 trigonométrie5
2.1 sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 tangente et fcts. réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Primitives7
3.1 Définitions des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Propriétes des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Taylor avec reste primitive 11
4.1 Dérivées d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Notations
SoitI,J,...des intervalles réels1)[contenant plus d"un point].1)de l"un des neuf types :]a,b[,]a,b],[a,b[,[a,b],
]- ∞,b[,]- ∞,b],]a,+∞[,[a,+∞[, ]- ∞,+∞[=R, oùa,b?Rsont deux réels aveca < b. L"interieur◦Ide l"intervalleIest alorsRdans le dernier cas, ]a,b[dans les quatre premiers,]- ∞,b[dans les deux suivants et]a,+∞[dans les deux avant derniers. 1Math122Calcul des primitives.1 "Rappels
2)» de calcul différentiel.2)Une liste de propriétés de la dérivation des fonctions dérivables
qui sont utilisées pour le calcul des primitives. Ici on prendra ces propriétés comme des "Axiomes», les définitions dedérivable, fonctions dérivée,...et les preuves,partiellement vues en terminale, seront données en Mat121.À une fonction dérivablef:I→Ron associe sa (fonction) dérivéef?:I→R.
1.0.1 Proposition(Propriétés algébriques de la dérivation).
(i) (a) Une fonction constantefc:I→R t?→cest dérivable etf?c= 0 :I→Rt?→0. (b) L"inclusioni=iI:I→Rt?→test dérivable eti?= 1(=f1) :I→Rt?→1. Soitf,g:I→Rdérivables etλ,μ?Ralors :(ii) La combinaison linéaireλf+μg:I→Rest dérivable et :(Linéarité de la dérivation)
(λf+μg)?=λf?+μg?:I→R,t?→λf?(t) +μg?(t) (iii) Le produitf·g:I→R,t?→f(t)g(t)est dérivable et :(Formule de Leibniz)Si les deux fonctionsfetgne s"annullent pas
en divisant par le produitfgLeibniz donne la : formule d"addition de la dérivée logarithmique : ?fg? ?fg =f?f +g?g qui permet des calculs plus simples, comme : fg ?=f?f -g?g (f·g)?=f?·g+f·g?:I→R,t?→f?(t)g(t) +f(t)g?(t) (iv) Si pour toutt?I, g(t)?= 0alors le quotientI→R t?→f(t)g(t)est dérivable et : fg ?=f?g-fg?g2:I→R,t?→f?(t)g(t)-f(t)g?(t)g
2(t)1.0.2 Remarques.1. (a) L"ensembleD(I) ={f:I→R|fest dérivable}des fonctions réelles
sur l"intervalleIqui sont dérivables est un sous-espace vectoriel deF(I) ={f:I→R}, l"espace vectoriel de toutes les fonctions réelles surIet (b) l"application dérivéeD:D(I)→ F(I) f?→f?est linéaire.2. En admettant la première partie du dernier point de la proposition 4.1.3 (que le quotient est
dérivable), la formule pour la dérivée du quotient découle de la formule de Leibniz :1.0.3 Exercice.SoitIun intervalle réel etf,g,h:I→Rdérivables telles quegh=f.
En utilisant la formule de Leibnitz, vérifiergh?=f?-g?h, en déduire, si?t?I, g(t)?= 0, que?t?I,h?(t) =f?(t)g(t)-f(t)g?(t)g(t)2.
2Math122Calcul des primitives.1.0.4 Proposition(dérivée des fonctions composées et réciproques).
Soit?:J→Ietf:I→Rdérivables alors
(i) La fonction composéef◦?:J→Rt?→, f(?(t))est dérivable et :(dérivée des fonctions composées)
("chain rule" dans les livres en anglais) ?f◦?? (ii) Si?est bijective et pour toutt?J, ??(t)?= 0alors?-1:I→Jest dérivable et pour toutt?Jon a :(dérivée des fonctions réciproques)??-1??(?(t)) =1? ?(t)1.0.5 Remarques.1. Dans le second point de 1.0.4 la condition??(t)?= 0est nécessaire
et la formule de pour la dérivée de?-1découle de la dérivabilité de?-1: On aIdJ=?-1◦?donc, en admettant la dérivabilité de?-1, on a par point de 1.0.4 : pour toutt?J1 = Id? J(t) =??-1??(?(t))·??(t)donc??(t)?= 0et??-1??(?(t)) =1? ?(t)2. Une preuve géométrique second point de 1.0.4 : Rappelons que :
Graphe de la fonction réciproqueabcd
x (x) x (x)' -1 (1,? )(x)'(? ,1)(x) ?(a) i. Sifest une fonction dérivable définie enx, le vecteur(1,f?(x))est tangent au graphe de la fonctionfen son point(x,f(x))d"abscissex. ii. Réciproquement si le graphe d"une fonctionfa en son point(x,f(x))d"abscissexun vecteur tangent(s,t)non vertical (s?= 0) alorsfest dérivable enxetf?(x) =ts iii. Si une courbe planeΓa en un pointx?R2du plan un vecteur tangentv= (s,t)et D:R2→R2,M?→A(M)+Nest une application affine du plan de partie linéaireA alors la courbeD(Γ)admet le vecteurA(v)comme vecteur tangent au pointD(M). (b) Si?:J→Iest bijective alors le graphe de sa fonction réciproque?-1:I→Jest le symétrique{(y,?-1(y))|y?I}={(?(x),x)|x?J}du graphe{(x,?(x))|x?J}de?.Ainsi le vecteur(??(x),1), symétrique par rapport à la première diagonale du vecteur(1,??(x))
tangent en(x,?(x))au graphe de?, est tangent en(?(x),x)à celui de?-1. Si de plus??(x)?= 0est non nul, on a(??(x),1) =??(x)(1,1? ?(x))d"où le résultat par 2(a)ii 3 Math122Calcul des primitives.Graphes des fonctions Exponentielle et Logarithme-4 -2 0 2 4 -113579 -1 1 3 5 7 9 -4 -20241.0.6 Exemples.1. La fonction Exponentielle exp :R→]0,+∞[ est dérivable, bijective etexp ?= expdonc sa réciproque, la fonction Logarithme : LogDéf== exp-1:]0,+∞[→R
est dérivable et pour toutt?Ron aLog?(exp(t)) =1exp(t). Ainsi3)pour toutx?Ron aLog
?(x) =1x3) car pour toutx >0il y a unt?Rtel quex= exp(t)1.0.7 Remarque.L"exemple précédent suppose la "définition de terminale4)de la fonction exponentielle4)qui ne serait unedéfinitionqu"après que l"on aitprouvéque
cette équation différentielle a une unique solution, ce qui n"est(pour l"existence du moins) pas fait en terminale!t?→etcomme unique solution de l"équation différentiellee?=evérifiante?(0) = 1.
Commef:]0,+∞[→R,f(t) =1t
est continue le cours d"intégration assurera quefa une unique primitiveF= Log :]0,+∞[→Rtelle queF(1) = 0, que l"on prouve être bijective.1.0.8 Exercice.En définissant exponentielleexp :R→Rcomme la bijection réciproque deLog, prouver que l"exponentielle est dérivable et vérifieexp?= exp.
2. Soitα?Retpα:]0,+∞[→R,pα(t)=exp(αLog(t))=eαLog(t)(=tα), lapuissance d"ordre5)αcomposée5)Dans le cas oùα=1n
, l"inverse d"un entier positif :x1n =n⎷x, mais la notationx1nest plus pratique quen⎷x.de l"homothétiet?→αLog(t)et de l"exponentiellet?→et, est dérivable et pour toutt?]0,+∞[alors6):
6) p?α(t) = exp?(αlog(t))·αLog?(t) = exp?(αLog(t))·α·1t =eαLog(t)·α·e-Log(t)=αe(α-1) Log(t)=αtα-1p?α(t) =αtα-11.0.9 Exercice.Pourα=-1, déduire la formule précédente de 4.1.3, puis prouver la pourα=n?Zentier relatif par récurrence sur|n|et la formule de Leibniz .
1.0.10 Théorème(caractérisation des fonctions monotones dérivables).7)Soitf:I→Rdérivable7)CorollaireSif,g:I→Rsont dérivables et pour toutt?I
En particulierfest constante si et seulement si sa dérivée est la fonction nulle.1.0.11 Exercice.Déduire de la partie de 1.0.10 caractérisant les fonctions croissantes dérivables [l"énoncé sans les respectivement] la caractérisation des fonctions
dérivables décroissantes [l"énoncé de 1.0.10 avec les respectivement] et le corollaire en marge.
4 Math122Calcul des primitives.2 Fonctions circulaires et leurs fonctions réciproques.2.1 Les fonctions sinussinet cosinuscos.
Le cercle trigonométriquetg(t)tg(t)
sin(t) cos(t) ALes fonctionscos,sin :R→Rsont "définies» par : M(t) = (cos(t),sin(t))est le point à distancetdu pointA= (1,0)sur lecercle trigonométrique, le cercle unité{(x,y)?R2|x2+y2= 1}orienté dans le sens trigonométrique. On a donc :cos2+sin2= 12.1.1 Remarque(Raison des guillemets " » autour de définies).
Sauf pour les segments de droite, la longueur d"une courbe n"a pas été définie. Dans le cas présent (le cercle unité) où la courbe a des paramérisations8)u?→M(u) = (x(u),y(u))par des
8) ici, six >0, y?→(?1-y2,y), siy >0, x?→(x,⎷1-x2)six <0, y?→(-?1-y2,y), siy <0, x?→(x,-⎷1-x2)fonctionsx,ydérivables à dérivéesx?,y?continues la fonctionu?→??
x?(u)?2+?y?(u)?2associant au paramètreulalongueur du vecteur tangent enude la paramétrisation est continue. Quand on saura qu"une fonction continue admet
une primitive on pourra définir la longueur algébrique entre les pointsM(u1)etM(u2)de paramètreu1etu2par :
u2 u 1?? x?(u)?2+?y?(u)?2duLe cercle unité étant de longueur2π, les fonctionscosetsinsont2πpériodiques9)telles que :9)pour toutt?Ron acos(t+2π) = cos(t)etsin(t+2π) = sin(t)
Graphes des fonctions sinus(en bleu)et cosinus(en vert) -4 0 4 8 12 -1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5sin -1(0) =?nπ???n?Z?cos-1(0) =?2n+ 12 =nπ+π2 ??n?Z? et dérivables de dérivées :sin ?= cos,cos?=-sin2.1.2 Exercice.Soits:R→R,s(t) =π2 -t.1. Expliquer géométriquement la relationcos = sin◦s
2. Déterminers◦s. En déduire
(a) la relationsin = cos◦s, puis (b) de ce quesinest dérivable avecsin?=cos, quecosest dérivable aveccos?=-sinet (c) desin-1(0) ={nπ;n?Z}que l"on acos-1(0) =?2n+12π=nπ+π2
??n?Z? 5Math122Calcul des primitives.2.2 tangente et fcts. réciproques2.2 Tangentetg, arctangenteArctg, arcsinusArcsinet arccosinusArccos.
Graphe des fonctions tangentetget arctangenteArctg-4 0 4 8 12 -1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5La fonctiontangente:tg :R\cos-1(0)→R,tg(t) =sin(t)cos(t) est dérivable et pour toutt?R\cos-1(0)on a : tg?(t) =sin?(t)cos(t)-sin(t)cos?(t)cos(t)2=cos(t)cos(t)-sin(t)(-sin(t))cos(t)2=cos(t)2+ sin2(t)cos(t)2donc :
Graphe de tangentetg|et arctangenteArctg-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -3 -2-10123-3 -2 -1 0 1 2 3 -2.0 -1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0tg ?= 1 + tg2=1cos2La fonction tangente induit une bijectiontg|:]-π2
,π2 [→R. Donc la bijection réciproqueArctg :R→]-π2 ,π2 [est dérivable de dérivée :Arctg ?:R→]-π2 ,π2 [,Arctg?(x) =11 +x2?x= tg(t)?De même les fonctions sinus et cosinus induisent des bijections Graphe de sinussin|et arcsinusArcsin-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0Graphe de cosinuscos|et arccosinusArccos0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
-1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -101234: sin |: [-π2 ,-π2 ]→[-1,1],cos|: [0,π]→[-1,1]dérivables, de dérivées :sin?= cos,cos?=-sinne s"anullant pas sur les intervalles ouverts corres-
pondants]-π2 ,-π2 [et]0,-π[. Leurs bijections réciproquesArcsin : [-1,1]→[-π2 ,-π2 ]etArccos : [-1,1]→[0,π]sont donc dérivables sur l"intervalle ouvert]-1,1[et pour toutu,v?]-1,1[on a :Arcsin?(u) =1⎷1-u2,Arccos?(v) =-1⎷1-v2?u= sin(t), v= cos(t)?2.2.1 Exercice.1. Vérifier sis,t?]-1,1[les relations
(a)sin(Arccos(s)) =⎷1-s2 (b)cos(Arcsin((t)) =⎷1-t22. Déterminer les applicationsArccos◦sin : [-π2
,π2 ]→[-1,1]etArcsin◦cos : [0,π]→[-1,1]. 6 Math122Calcul des primitives.3 Primitives et leur calcul.3.1 Primitives et intégrales d"une fonction.
3.1.1 Définition et Proposition.Une fonctionf:I→Radmet uneprimitiveF:I→R
(festprimitivable) siFest continue, dérivable sur l"intérieur10)◦Ide l"intervalleIetf=F?.10)Rappelons que siIest un intervalle à plus d"un point, il est
d"un des neuf types : ]a,b[,]a,b],[a,b[,[a,b], ]- ∞,b[,]- ∞,b],]a,+∞[,[a,+∞[, ]- ∞,+∞[=R, oùa,b?Rsont deux réels aveca < b. L"interieur◦Ide l"intervalleIest alorsRdans le dernier cas, ]a,b[dans les quatre premiers,]- ∞,b[dans les deux suivantset]a,+∞[dans les deux avant derniersEn ce casF1est une autre primitive defsi et seulement siF1-Fest constante.
3.1.2 Définition.SoitFune primitive def:I→Retx,y?Ideux points de l"intervalleI.
L"intégrale (au sens des primitives) dexàydefest : y xfsyn==? y xf(t)dtDéf: =F(y)-F(x)Déf= :?F? y x3.1.3 Remarques.1. CommeFest dérivable sur l"intérieur◦Ide l"intervalleI, sa continuité est
automatique dans◦I. Ce n"est donc une hypothèse qu"aux extrémités éventuelles{a,b} ∩I.
y x y xg(b) Mais dans la définition de l"intégrale, contrairement aux rappels ci-dessus pour les extré-
mitésa,bdes intervalles oùa < b, on ne suppose aucun ordre entrexety, ainsi : x yf=-? y xfdonc? x yf= 03. "Lire à l"envers» les tables de dérivation
12)suffit, dans des cas simples à calculer ces intégrales.12)et d"appliquer la linéarité
3.1.4 Exemples.(a)?
y xcos =?sin? y x;? y xsin =?-cos? y x (b) Sin?Nalors? y xxn=?xn+1n+ 1? y xEn particulier? y xut2+vt+wdt=?ut33 +vt22 +wt? y xSi de plusxy >0etα?R\ {-1}alors :
(c) y x1t dt=?Log(|t|)? y x= Log(|yx |) = Log(yx (d) Siα?R\ {-1}alors :? y xxα=?xα+1α+ 1? y x 7 Math122Calcul des primitives.3.2 Propriétes des primitives3.2 Propriétés des primitives.3.2.1 Proposition(Changement de variable).Soit?:J→Icontinue, dérivable sur◦I
etf:I→Rune fonction13)admettant une primitiveF. Alorsg= (f◦?)·??:J→Rt?→?(t)·??(t)13)de sourceI, le but de?
admetF◦?comme primitive, ainsi pour toutx,y?Jon a : y xf(?(t))·??(t)dt=? ?(y) ?(x)f(s)dsDémonstration:?
y xf(?(t))·??(t)dt=?F◦?? y x=F(?(y))-F(?(x)) =?F? ?(y) ?(x)3.2.2 Exemple.Soitu,v,w?Ravecuw?= 0(doncu?= 0?=w) et la fonction14) 14)qui est bien définie car
u2t2+ 2uvt+v2+w2= (ut+v)2+w2≥w2>0
f:R→R,f(t) =1u2t2+ 2uvt+v2+w2
Comme?:R→R,?(s) =ux+vw
est dérivable et pour touts?R,??(s) =uw ?= 0et : N"apprennez pas par coeur ces formules, mais refaites le calcul dans chaque cas : f(t) =14t2+ 12t+ 34=14t2+ 12t+ 9 + 25 =152+ (2t+ 3)2=15·211+
?2t+ 352·25
110Arctg?(2t+ 35
)·25 =110Arctg?(?(t))·??(t)
où?(t) =2t+ 35 .f(t) =1(ut+v)2+w2=1w2+ (ut+v)2=1wu
11+ ?ut+vw2·uw
=uwArctg?(?(t))·??(t)
la fonctionF=1wuArctg◦?:R→R,F(t) =uw
Arctg(ut+vw
)est une primitive def.3.2.3 Exercice.Soitf:]-1,1[→R,f(t)t⎷1-t2.
Remarquerf(t) =12
(1-t2)-12 (-2t)etf(t) = cos(Arccos(t))-1⎷1-t2= sin?(Arccos(t))Arccos?(t).En déduire, six?]-1,1[, deux calculs de?
x 0 f(t)dtdont vous déduirez une autre solution de 1a de l"exercice 2.2.1 8Math122Calcul des primitives.3.2 Propriétes des primitives3.2.4 Proposition(intégration par partie).Soitf,g:I→Ravecgdérivable,fadmettant une
primitiveFetFg?admettant une primitive.Alorsfgadmet une primitive et six,y?Ion a :
y xfg=?Fg? y x-? y xFg? Démonstration: Par la proposition 4.1.3 la fonctionFgest dérivable et?Fg? ?=F?g+Fg?=fg+Fg? doncfg=?Fg? ?-Fg?admet une primitive et :?y xfg=? y x{?Fg? ?-Fg?}=? y x?Fg? y xFg?=?Fg? y x-? y xFg?.3.2.5 Exemple.
y xt2(1 +t2)2dt=?
y x-2t(1 +t2)2·?-t2 ?dt=?11 +t2·?-t2 ?y x-? y x11 +t2·?-12 ?dt=12Arctg(t)-t1 +t2?
y x. donc y x1(1 +t2)2dt=? y x1 +t2-t2(1 +t2)2dt=? y x11 +t2-t2(1 +t2)2dt=?Arctg(t)?
y x-12Arctg(t)-t1 +t2?
y x=12Arctg(t) +t1 +t2?
y x3.2.6 Exercice.Calculer la dérivée de la fonctionF:R→R,F(t) =12
[Arctg(t) +t1+t2]et retrouver le résultat de l"exemple précédent 3.2.5.3.2.7 Exercice.Soitx?R. En adaptant la méthode de l"exemple 3.2.5 calculer?
x01(1 +t2)3dt[il faut deux intégrations par partie].
3.2.8 Exemple.Soitx?]-1,1[etf:]-1,1[→R,f(t) =11-t2=12
[11 +t+11-t] donc : x 0 f=? x 012 [11 +t+11-t]dt=12Log(1 +t)-Log(1-t)?
x 0=12Log(1 +t1-t)?
x 0=12Log(1 +x1-x)
3.2.9 Exemple.Soitx?]-1,+∞[etg:]-1,+∞[→R,g(t) =3t2+ 3t+ 2t
3+t2+t+ 1=t2+ 1 + (2t+ 1)(t+ 1)(t2+ 1)(t+ 1)=1t+ 1+2t+ 1t
2+ 1=1t+ 1+2tt
2+ 1+1t
2+ 1 donc :? x 0 g=?quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] exercices cinématique terminale s
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