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Université d"Orléans Département de Mathématiques

Année 2021-2022Analyse S2

Calcul intégral, compléments

1 Primitives

Exercice 1

Soit la fonctionfdéfinie parf(x) = (sin2(x)-3sin(x) + 8)cos(x). Déterminer surRla primitiveFdef

telle queF?3π2 ?= 0.

Solution 1

Un calcul montre que

f(x) = cos(x)sin2(x)-3cos(x)sin(x) + 8cos(x).

Posonsu(x) = sin3(x),v(x) = sin2(x)etw(x) = sin(x). Alorsu?(x) = 3cos(x)sin2(x),v?(x) = 2cos(x)sin(x)

etw?(x) = cos(x). Autrement dit f(x) =u?(x)3 -3v?(x)2 + 8w?(x)

Les primitives defsont

F(x) =u(x)3

-3v(x)2 + 8w(x) +c=sin3(x)3 -3sin2(x)2 + 8sin(x) +c oùcdésigne un réel. Il en résulte que la primitiveFdeftelle queF?3π2 ?= 0est

F(x) =sin3(x)3

-3sin2(x)2 + 8sin(x) +596

Exercice 2

1. Montrer quex3+ 5x2+ 7x+ 4 = (x+ 3)(x2+ 2x+ 1) + 1.

2. En déduire une primitive de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+5x2+7x+4x

2+2x+1sur]- ∞,-1[.

Solution 2

1. Nous avons

(x+ 3)(x2+ 2x+ 1) + 1 =x3+ 2x2+x+ 3x2+ 6x+ 3 + 1 =x3+ 5x2+ 7x+ 4.

2. D"après ce qui précède

x

3+ 5x2+ 7x+ 4x

2+ 2x+ 1=(x+ 3)(x2+ 2x+ 1) + 1x

2+ 2x+ 1=x+ 3 +1x

2+ 2x+ 1=x+ 3 +1(x+ 1)2;

une primitive defest donc x 22
+ 3x-1x+ 2.

Exercice 3

Calculer

1.? 1 0dtt

2+ 22.?

12 12 dt1-t23.? 3

22t+ 1t

2+t-3dt

Solution 3

1

1. On a

1 0dtt

2+ 2=12

1 0dt? t⎷2 2+ 1 ⎷2 2 1 0d? t⎷2 t⎷2 2+ 1

1⎷2

1 0d? t⎷2 t⎷2 2+ 1

1⎷2

arctan?t⎷2 1 0

1⎷2

arctan?1⎷2 -arctan(0)?

1⎷2

arctan?1⎷2

2. Puisquex?→11-x2est paire on a?

12 12 dt1-t2= 2? 12

0dt1-t2.

Il s"en suit que

12 12 dt1-t2= 2? argth(t)? 12 0 = 2argth?12 -2argth(0) = 2×12

×ln?1 +12

1-12 = ln(3)

3. On a

3

22t+ 1t

2+t-3dt=?

3

2(t2+t-3)?t

2+t-3dt

ln|t2+t-3|? 3 2 = ln(9)-ln(3) = ln?93 = ln(3)

Exercice 4

Déterminer une primitive de

1.x?→tan(x).

2.x?→cos(x)sin2(x).

3.x?→exp(-x)sh

3(x).

Solution 4

2

1. L"application tangente est2πpériodique et elle est continue sur chacun des intervalles?

π2 ,π2 et? π2 ,3π2 Calculons les primitives sur chacun des intervalles.

L"applicationφ:x??

π2 ,π2 ?→cos(x)?]0,1]est dérivable. Considéronsf:u?]0,1]?→ -1u . On a tan(t)dt=?sin(t)cos(t)dt --sin(t)cos(t)dt f(φ(t))φ?(t)dt f(u)du? u=φ(t) f(u)du? u=cos(t) -ln(|u|)? u=cos(t) =-ln(|cos(t)|) =-ln(cos(t))

En considérant l"applicationφ:x??

π2 ,3π2 ?→cos(x)?]0,1]on montre de façon analogue qu"une primitive de la fonction tangente sur? π2 ,3π2 estx?→ -ln(-cos(x)).

2. L"applicationφ:x?R?→sin(x)?[-1,1]est dérivable etφ?:x?R?→cos(x). Posonsf:u?[-1,1]?→u2.

On a? g(t)dt=? f(φ(t))φ?(t)dt=?? f(u)du? u=φ(t)=?u33 u=φ(t)=sin3(t)3

3. La fonction sinus hyperbolique est continue surRet s"annule uniquement en0. Il s"en suit que la fonction

x?→exp(-x)sh

3(x)admet des primitives sur chacun des intervalles]- ∞,0[et]0,+∞[.

Considéronsφ:x?]- ∞,0[?→exp(2x)?]0,1[. Elle est dérivable sur]- ∞,0[etφ?:x?]- ∞,0[?→

2exp(2x)?]0,1[. On a

?exp(-t)sh

3(t)dt=?8exp(-t)(exp(t)-exp(-t))3dt

?8exp(2t)(exp(2t)-1)3dt ?4φ?(t)(φ(t)-1)3dt ??4(u-1)3? u=φ(t) -2(u-1)2? u=exp(2t) =-2(exp(2t)-1)2

Exercice 5

Calculer les intégrales suivantes

1.?

π/2

0dt1 + sin(t)2.?

π/2

0sin(t)1 + sin(t)dt

Solution 5

3

1. PosonsI=?π/2

0dt1+sin(t). Posonsu= tan?t2

?, alors t= arctan?u2 ,sin(t) =2u1 +u2 tan(t) =2u1-u2, dt=2du1 +u2 Ainsi I=? 1 011 +

2u1+u22du1 +u2=?

1

021 +u2+ 2udu

2

02(1 +u)2du=?

-21 +u? 1 0 = 1

2. PosonsJ=?π/2

0sin(t)1+sin(t)dt. Remarquons que

I+J=?

π/2

0dt1 + sin(t)+?

π/2

0sin(t)1 + sin(t)dt=?

π/2

01 + sin(t)1 + sin(t)dt=?

π/2

0 dt=? t?

π/2

0=π2

Il en résulte queJ=π2

-I=π2 -1.

2 Intégrations par parties

Exercice 6

Déterminer une primitive de :

1. x?→x2ln(x) 3. x?→ln(x)puisx?→ln(x))2

2. x?→xarctan(x) 4. x?→cos(x)exp(x)

Solution 6

1. Posonsu(t) = ln(t)etv(t) =t33

; alorsu?(t) =1t etv?(t) =t2. On a t

2ln(t)dt=?

u(t)v?(t)dt = [u(t)v(t)]-? u ?(t)v(t)dt ln(t)t33 -?1t t 33
dt ln(t)t33 -?t23 dt ln(t)t33 -?t39 = ln(t)t33 -t39 +c 4

2. Posonsu(t) = arctan(t)etv?(t) =t; alorsu?(t) =11+t2etv(t) =t22

. Par conséquent tarctan(t)dt=? u(t)v?(t)dt = [u(t)v(t)]-? u ?(t)v(t)dt arctan(t)t22 -?11 +t2t 22
dt arctan(t)t22 -12 x21 +t2dt arctan(t)t22 -12

1 +t2-11 +t2dt

arctan(t)t22 -12

1-11 +t2?

dt arctan(t)t22 -12 dt+12

11 +t2dt

arctan(t)t22 -?t2 +?arctan(t)2 t2arctan(t)2 -t2 +arctan(t)2 +c

1 +t22

arctan(t)-t2 +c

3. Posonsu(t) = ln(t)etv(t) =t. Alorsu?(t) =1t

etv?(t) = 1. Nous avons ln(t)dx=? u(t)v?(t)dt = [tln(t)]-?1t tdt = [tln(t)]-? dt = [tln(t)-t]

Donc une primitive dex?→ln(x)estxln(x)-x.

Posonsa(x) = (ln(x))2etb(x) =x. Alorsa?(x) =2ln(x)x etb?(x) = 1. Nous avons (ln(x))2dx=? a(x)b?(x)dx = [a(x)b(x)]-? a ?(x)b(x)dx = [x(ln(x))2]-?2ln(x)x xdx = [x(ln(x))2]-2? ln(x)dxquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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