Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 PDF

L'oscillateur harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur méca- nique constitué d'un ressort et d'une masse. Cet exemple simple permettra.

Oscillateur harmonique Oscillateur harmonique

13 nov. 2017 4 - Calculer l'amplitude de son mouvement. Annale de concours. Exercice 6 : Deux ressorts à la verticale. [oral banque PT ???].

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Un point matériel M de masse m pouvant se mouvoir dans la direction. Oz (verticale descendante) est fixé `a l'extrémité d'un ressort de raideur.

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Oscillateur harmonique

Les exercice «Associations de ressorts» et suivants sont plutôt des exercices Corrigés en TD : Ressort horizontal bille accrochée

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

Oscillateur harmonique : corrections. 2013-2014. OSCILLATEUR HARMONIQUE : CORRECTIONS. Exercices prioritaires : Deux ressorts accrochés. ?. Exercice n° 1.

Physique MPSI-PCSI-PTSI - Cours complet et exercices corrigés

L’oscillateur harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur méca-nique constitué d’un ressort et d’une masse Cet exemple simple permettra d’introduire le concept fondamental d’équation di?érentielle Plus générale-ment le modèle de l’oscillateur harmonique rend compte de l’évolution d’un système

SERIE D’EXERCICES N° 16 : MECANIQUE : OSCILLATEURS

Exercice 10 : oscillateur auto -entretenu modèle de Van der Pol On rappelle l’équation différentielle non linéaire de Van der Pol : d x dt x p dx dt x 2 2 2 0 +( ? ) +? 2 = 0 où x est l’élongation ? 0 la pulsation propre et p un paramètre positif

OSCILLATEURHARMONIQUE:CORRECTIONS - Institut national de

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 L’équation différentielle à résoudre est une équation différentielle homogène linéaire du deuxième ordre à coef?cients constants La méthode générale de résolution consiste à rechercher des solutions exponentielles complexes Ici nous sommes dans un cas

Électronique3–Travauxdirigés Langevin-WallonPTSI2017-2018

Oscillateur harmonique Exercices Exercice 1 : Force exercée par un ressort Danstouslescasilfautrepartirdeladé?nition # f = ?k(‘?‘ 0)# u sortant enexprimantséparément‘et # u sortant en fonctiondesparamètresgéométriquesduproblème Attentionauxsignes‘estunelongueurdonctoujourspositive 1 # f = ?k(x?‘ 0)# e x 2 # f

TD Oscillateur harmonique - Correction - CPGE Brizeux

PCSI – Lycée Brizeux Sébastien Gruat TD - Oscillateur harmonique TD Oscillateur harmonique - Correction Exercice 1 : Ressort vertical (1 2) On cherche la position d’équilibre = 0+ ???????? ???? ???? On trouve alors ?????+????02????=0 avec ????= ? Exercice 2 : Bus et dos d’âne 13(2)

M4 – OSCILLATEUR HARMONIQUE - Rectorat de Bordeaux

de l’oscillateur harmonique NON amorti et libre (non excité) Cf Cours Cf Poly : dans le cas du pendule simple la modélisation de l’oscillateur harmonique est valable lorsque le portrait de phase est assimilable à une ellipse Ce qui est le cas pour les faibles amplitudes : ?m = ? ? 20

Oscillateurs lin eaires Cours et exercices - École Polytechnique

harmonique Figure 1 2: Pendule simple et approximation harmonique de son energie potentielle de pesanteur Du fait de ce caract ere g en erique on rencontre des oscillateurs lin eaires dans tous les domaines de la physique En plus des syst emes m ecaniques d ej a cit es il est facile

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Correction d’exercices de la feuille 1 : oscillateur harmonique

Correction d’exercices de la feuille 1 : oscillateur harmonique Exercice 1 1)Àl’équilibrelasommedesforcessubiesparlamasseestnulle Onadonc: P ~+F~ R= 0 soit: mgu~ x?k(l eq?l 0)u~ x=~0 Onendéduitaprèsprojectionsur u~ xetquelquescalculsque: l eq= l 0 + mg k = 79cm 2

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On considère dans les ?gures 1 et 2 deux trajectoires de phases d’un oscillateur harmonique de pulsation propre w0 = 20 rad 1s dont la grandeur x évolue selon la loi : x= éq +m cos(w0t j0) Dans ces deux situations déterminer les valeurs de xéq xm et j0 Page 1/4

Qu'est-ce que l'oscillateur harmonique amorti?

? D´e?nition : On appelle Oscillateur Harmonique Amorti un syst`eme `a un degr´e de libert´e dont l’´evolution est r´egie par l’´equation di?´erentielle lin´eaire du second ordre : x¨ + x? ? +?2 0x = 0 (EOHA) avec ?0la pulsation propre et ? le temps de relaxation (encore appel´ee dur´ee caract´eristique).

Comment calculer l’amortissement d’un oscillateur harmonique?

L’équation devient : x¨ + ?0 Q x? +?2 0x = 0 – d’équation caractéristique : r2+ r ? +?2 0= 0 (1) Propriété : Plus Q est grand, plus le terme lié à l’amortissement est faible. III.3 Les r´egimes de l’oscillateur harmonique amorti (?Cf.

Comment calculer la fréquence d’un oscillateur ?

dont on cherche une solution sous la forme z(t) = Z(!)ei!t. On trouve aussitot que Zverife a son tour l’equation algebrique : Z(!) = H(!) F 0 m!2 0 ou H(!) !2 0 !2 0! + i2! = !2 0 ! 0 !2 ( !) i 2! ( !) est la fonction de transfert qui caracterise la reponse en frequence de l’oscillateur etudie.

Comment savoir si un oscillateur est harmonique ?

Un oscillateur est dit harmonique" si sa position au cours du temps est une fonction sinusodale. L’amplitude de l’oscillateur peut decro^tre si le systeme est soumis a des frottements mais l’evolution peut rester periodique si les frottements ne sont pas trop importants.

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OSCILLATEUR HARMONIQUE : CORRECTIONS

Exercices prioritaires :Deux ressorts accrochés

?Exercice n° 1Deux ressorts sans masse de longueursl1etl2au repos et de raideursk1etk2sont accrochés

bout à bout et tendus horizontalement entre deux murs distants deDÈl1Ål2 . Le dispositif est immobile. Remarque: L"énoncé définissant les constantes de raideur des ressorts, il est implicitement

supposé que l"on peut utiliser l"approximation linéaire pour modéliser l"élasticité des res-

sorts.1.C alculerl "allongementde ch acundes r essorts.

On notex1etx2les allongements respectifs

des ressorts 1 et 2, à l"équilibre, comme re- présenté sur le schéma ci-contre.

Ces deux inconnues sont reliées par la re-

lationDAEl1Åx1Ål2Å x2, donc il suffit de trouver une équation sans inconnues sup-

plémentaires pour pouvoir trouverx1etx2.On va voir que ceci est possible en considérant le point d"attache A des deux ressorts.

Référentiel: terrestre, supposé galiléen (on ne demande pas ici de justification. On admettra que pour les problèmes posés dans ce TD cette hypothèse est vérifiée avec une bonne approximation. voir cours pour un peu plus de détails.) Repère: On choisit comme repèreR(0,~i) (voir le schéma ci-dessus) Système: On considère comme système le point d"attache A des deux ressorts. Bilan des forces extérieures(BFE) : Faisons un bilan des forces extérieures s"exerçant sur ce système : -forces à distance : aucune, car la masse de ce point étant nulle, le poids est nul. -forces de contact :UJF L1 1 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 - la force de rappel exercée par le ressort 1 sur A : ~F1!AAE¡k1x1~i - la force de rappel exercée par le ressort 2 sur A : ~F1!AAEk2x2~i PI: Le référentiel étant galiléen, on peut uti- liser le principe d"inertie. Puisque le système est immobile, d"après le principe d"inertie, le système est isolé. Ainsi :

F1!AÅ~F2!AAE¡k1x1~iÅk2x2~iAE~0.Ainsi, en projetant cette relation sur Ox, on obtient : 0AE¡k1x1Åk2x2(1), relation que

l"on peut réécrire ainsi :x1AEk2x2k 1. On a donc bien obtenu une nouvelle équation reliantx1etx2, sans inconnue supplé- mentaire. En utilisantDAEl1Ål2Åx1Åx2, on obtient les résultats cherchés : x

1AEk2k

1Åk2(D¡(l1Ål2)) etx2AEk1k

1Åk2(D¡(l1Ål2)).

Remarques :

- Les résultats sont bien homogènes. - Les résultats sont symétriques par échange des indices 1 et 2 : ceci est cohérent avec le fait que les deux ressorts ont des rôles équivalents - Si la somme des longueurs à vide correspond àD, on s"attend à un allongement nul des ressorts, ce qui est bien le cas avec les relations obtenues.

(Cette étude a été menée en supposant les ressorts compressibles. On pouvait donc considérer le

cas oùDÇl1Ål2. Ceci n"est pas toujours vérifié, par exemple avec ceux utilisés lors du TP, où les

spires se retrouvent au contact les unes des autres lorsque l"on essaie de comprimer le ressort à

partir de sa position de repos. Dans ce cas, l"approximation linéaire n"est plus valable et on ne peut

donc pas utiliser les équations trouvées.)2.C alculerp ourch aquer essortla for cequ "ile xercesur l emur au quelil est fixé. C omparer.

Afin de prévoir la force exercée par le mur sur le ressort 1, isolons maintenant le sys- tème consitué par le ressort 1.

Système: {ressort 1}

Bilan des forces extérieures:

-forces de contact : la force de rappel exercée par le ressort 2 au point A : ~F2!A la force exercée par le mur ~Fmur!1.

PI -Le système étant à l"équilibre, d"après le PI :~F2!AÅ~Fmur!1AE~0.UJF L1 2 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

Ainsi :

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

Or ~F1!murAE¡~Fmur!1, donc :

F1!murAEk1k2k

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

De même, en isolant le ressort 2, on obtient :

F2!murAE¡k1k2k

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

Onremarqueque:

Il s"agit de la relation que l"on obtient à l"aide du PI appliqué au système constitué par

l"association des deux ressorts. Le résultat est donc cohérent.3.C alculerla for cequi ag itsu rle p ointcommun aux deu xr essorts,lo rsqueles r essortssont

écartés dexpar rapport à la position d"équilibre. Soit ~Fla force exercée sur le point d"attache A.

On a :

Ainsi, en utilisant la relation (1), on obtient :

FAE¡(k1Åk2)x~i.

ressort accroché au mur de gauche, de constante de raideurk1Åk2, et de longueur à

videl1Åx1.4.E nsupp osantq uece point commun a une mas sem, écrire l"équation qui régit le mouve-

ment dem. Pour cela on repérera la masse sur un axe horizontal par sa positionx(xAE0 quand le système est immobile). ment) sont perpendiculaires au mouvement et se compensent. En projetant sur l"axe

Oxet en utilisant la forme trouvée à la question précédente (xa bien la même défini-

tion) on a : m xAE05.Dé terminercomplètementx(t)ensupposantqu"àtAE0lamasseestlâchéedepuisx0sans vitesse.UJF L1 3 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

L"équation différentielle à résoudre est une équation différentielle homogène linéaire

à rechercher des solutions exponentielles complexes. Ici nous sommes dans un cas classique (terme du premier ordre absent et terme constant positif) caractéristique de l"oscillateur harmonique. Les solutions sont des fonctions sinusoïdales de pulsa- tion!0AEqk

1Åk2m

x(t)AEAcos(!0tÅÁ) oux(t)AE®cos(!0t)Å¯sin(!0t) tions connues car l"équation est d"ordre 2. Ici les deux conditions connues sont les conditions initiales sur la position et la vi- tesse :x(0)AEx0etx(0)AE0. On trouve facilement (AAEx0etÁAE0) ou (®AEx0et¯AE0) ce qui nous donne la solution complète : x(t)AEx0cos(!0t) avec!0AEsk

1Åk2m

Ressort et gravité

?Exercice n° 2 Une massemest pendue à un ressort sans masse de raideurket de longueur à videl0. On repérera la position de la massempar sa coordonnéezsur un axe vertical.

Orientons l"axe vertical par un vecteur unitaire

# uzdirigé vers le bas.1.Dé terminerla long ueurl00du ressort lorsquemest à l"équilibre.

Les forces sur la massemsont son poidsm#gAEmg# uzet la force de rappel du ressort#FAE¡k(l00¡l0)# uz(sil00Èl0le ressort est en extension et donc "tire vers le haut" ce qui

explique le signe "-»). L"équilibre de la masse s"écrit donc : m #gÅ#FAE#0,mg# uz¡k(l00¡l0)# uzAE#0)mg¡k(l00¡l0)AE0UJF L1 4 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

On en déduit donc la position d"équilibre.

00AEl0Åmgk

2. O né cartela masse v ersl ebas d "uned istance¢zpar rapport à sa position d"équilibre. dez. Le choix de l"origine deszle plus naturel pourrait être celui correspondant à l"allon- gement " à vide ». Dans ce cas l"allongement du ressort vaudrazet la force de rap-quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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Qu'est-ce que l'oscillateur harmonique amorti?

Comment calculer l’amortissement d’un oscillateur harmonique?

Comment calculer la fréquence d’un oscillateur ?

Comment savoir si un oscillateur est harmonique ?

OSCILLATEUR HARMONIQUE : CORRECTIONS

On notex1etx2les allongements respectifs

Ces deux inconnues sont reliées par la re-

1AEk2k

1Åk2(D¡(l1Ål2)) etx2AEk1k

1Åk2(D¡(l1Ål2)).

Remarques :

Système: {ressort 1}

Bilan des forces extérieures:

Ainsi :

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

F1!murAEk1k2k

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

De même, en isolant le ressort 2, on obtient :

F2!murAE¡k1k2k

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

Onremarqueque:

On a :

Ainsi, en utilisant la relation (1), on obtient :

FAE¡(k1Åk2)x~i.

1Åk2m

1Åk2m

Ressort et gravité

Orientons l"axe vertical par un vecteur unitaire

On en déduit donc la position d"équilibre.

00AEl0Åmgk