Électronique3–Travauxdirigés Langevin-WallonPTSI2017-2018 PDF

L'oscillateur harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur méca- nique constitué d'un ressort et d'une masse. Cet exemple simple permettra.

Oscillateur harmonique Oscillateur harmonique

13 nov. 2017 4 - Calculer l'amplitude de son mouvement. Annale de concours. Exercice 6 : Deux ressorts à la verticale. [oral banque PT ???].

Exercices problèmes physique MPSI PCSI PTSI

Plus de 300 exercices et extraits de concours corrigés Un oscillateur harmonique perd 5 % de son énergie méca- nique par pseudo-période.

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OSCILLATEURS HARMONIQUES ET SIGNAUX SINUSOÏDAUX. 1. Méthodes à retenir. 2. Énoncés des exercices. 6. Du mal à démarrer ? 12. Corrigés des exercices.

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o 10 : Oscillateur harmonique (CCP 2006 MP)

Un point matériel M de masse m pouvant se mouvoir dans la direction. Oz (verticale descendante) est fixé `a l'extrémité d'un ressort de raideur.

MÉThODeS eT eXerCICeS

PCSI. PhySIqUE. MÉThODES ET EXErCICES. 3e édition Corrigés des exercices ... Chapitre 1 Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux.

Oscillateur harmonique

Les exercice «Associations de ressorts» et suivants sont plutôt des exercices Corrigés en TD : Ressort horizontal bille accrochée

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

Oscillateur harmonique : corrections. 2013-2014. OSCILLATEUR HARMONIQUE : CORRECTIONS. Exercices prioritaires : Deux ressorts accrochés. ?. Exercice n° 1.

Physique MPSI-PCSI-PTSI - Cours complet et exercices corrigés

L’oscillateur harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur méca-nique constitué d’un ressort et d’une masse Cet exemple simple permettra d’introduire le concept fondamental d’équation di?érentielle Plus générale-ment le modèle de l’oscillateur harmonique rend compte de l’évolution d’un système

SERIE D’EXERCICES N° 16 : MECANIQUE : OSCILLATEURS

Exercice 10 : oscillateur auto -entretenu modèle de Van der Pol On rappelle l’équation différentielle non linéaire de Van der Pol : d x dt x p dx dt x 2 2 2 0 +( ? ) +? 2 = 0 où x est l’élongation ? 0 la pulsation propre et p un paramètre positif

OSCILLATEURHARMONIQUE:CORRECTIONS - Institut national de

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 L’équation différentielle à résoudre est une équation différentielle homogène linéaire du deuxième ordre à coef?cients constants La méthode générale de résolution consiste à rechercher des solutions exponentielles complexes Ici nous sommes dans un cas

Électronique3–Travauxdirigés Langevin-WallonPTSI2017-2018

Oscillateur harmonique Exercices Exercice 1 : Force exercée par un ressort Danstouslescasilfautrepartirdeladé?nition # f = ?k(‘?‘ 0)# u sortant enexprimantséparément‘et # u sortant en fonctiondesparamètresgéométriquesduproblème Attentionauxsignes‘estunelongueurdonctoujourspositive 1 # f = ?k(x?‘ 0)# e x 2 # f

TD Oscillateur harmonique - Correction - CPGE Brizeux

PCSI – Lycée Brizeux Sébastien Gruat TD - Oscillateur harmonique TD Oscillateur harmonique - Correction Exercice 1 : Ressort vertical (1 2) On cherche la position d’équilibre = 0+ ???????? ???? ???? On trouve alors ?????+????02????=0 avec ????= ? Exercice 2 : Bus et dos d’âne 13(2)

M4 – OSCILLATEUR HARMONIQUE - Rectorat de Bordeaux

de l’oscillateur harmonique NON amorti et libre (non excité) Cf Cours Cf Poly : dans le cas du pendule simple la modélisation de l’oscillateur harmonique est valable lorsque le portrait de phase est assimilable à une ellipse Ce qui est le cas pour les faibles amplitudes : ?m = ? ? 20

Oscillateurs lin eaires Cours et exercices - École Polytechnique

harmonique Figure 1 2: Pendule simple et approximation harmonique de son energie potentielle de pesanteur Du fait de ce caract ere g en erique on rencontre des oscillateurs lin eaires dans tous les domaines de la physique En plus des syst emes m ecaniques d ej a cit es il est facile

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Correction d’exercices de la feuille 1 : oscillateur harmonique Exercice 1 1)Àl’équilibrelasommedesforcessubiesparlamasseestnulle Onadonc: P ~+F~ R= 0 soit: mgu~ x?k(l eq?l 0)u~ x=~0 Onendéduitaprèsprojectionsur u~ xetquelquescalculsque: l eq= l 0 + mg k = 79cm 2

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On considère dans les ?gures 1 et 2 deux trajectoires de phases d’un oscillateur harmonique de pulsation propre w0 = 20 rad 1s dont la grandeur x évolue selon la loi : x= éq +m cos(w0t j0) Dans ces deux situations déterminer les valeurs de xéq xm et j0 Page 1/4

Qu'est-ce que l'oscillateur harmonique amorti?

? D´e?nition : On appelle Oscillateur Harmonique Amorti un syst`eme `a un degr´e de libert´e dont l’´evolution est r´egie par l’´equation di?´erentielle lin´eaire du second ordre : x¨ + x? ? +?2 0x = 0 (EOHA) avec ?0la pulsation propre et ? le temps de relaxation (encore appel´ee dur´ee caract´eristique).

Comment calculer l’amortissement d’un oscillateur harmonique?

L’équation devient : x¨ + ?0 Q x? +?2 0x = 0 – d’équation caractéristique : r2+ r ? +?2 0= 0 (1) Propriété : Plus Q est grand, plus le terme lié à l’amortissement est faible. III.3 Les r´egimes de l’oscillateur harmonique amorti (?Cf.

Comment calculer la fréquence d’un oscillateur ?

dont on cherche une solution sous la forme z(t) = Z(!)ei!t. On trouve aussitot que Zverife a son tour l’equation algebrique : Z(!) = H(!) F 0 m!2 0 ou H(!) !2 0 !2 0! + i2! = !2 0 ! 0 !2 ( !) i 2! ( !) est la fonction de transfert qui caracterise la reponse en frequence de l’oscillateur etudie.

Comment savoir si un oscillateur est harmonique ?

Un oscillateur est dit harmonique" si sa position au cours du temps est une fonction sinusodale. L’amplitude de l’oscillateur peut decro^tre si le systeme est soumis a des frottements mais l’evolution peut rester periodique si les frottements ne sont pas trop importants.

Électronique 3 - Travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Oscillateur harmoniqueÉlectronique 3 - Travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Oscillateur harmonique

Exercices

Exercice 1 : Force exercée par un ressort []

Dans chacun des cas, exprimer la force exercée par le ressort sur le solide fixé enMen fonction de la raideurk

et de la longueur naturelle?0du ressort, de la positionxouzdu pointM, de la positionxHouzHdu pointHoù

le ressort est fixé à un bâti, et du vecteur unitaire#exou#ez. Les positions sont repérées à partir du pointO. Dans le

dernier cas, exprimer les forces exercées par les deux ressorts sur chacun des pointsM1etM2, d"abscissesx1etx2.

Les deux ressorts sont supposés différents, de caractéristiquesk,?0etk?,??0.1 - xO=HM2 - x

OHM3 -

x OHM 4 -z

O=HM5 -z

O=HM6 -

xO=HM 1M

2Exercice 2 : Une masse et deux ressorts []

Considérons un point matérielMde massemglissant horizontalement et sans frottement, repéré par son abscissex

telle que# OM=x#ex. Ce solide est relié à deux ressorts placés sur un même axe, eux-mêmes fixés enOetO?. Le

solide étudié se trouve entreOetO?. La longueurOO?est notéeL. Les ressorts ont pour raideur respectivek1etk2,

et pour longueur à vide?01et?02.

1 -Faire un schéma légendé de la situation. Il va de soi qu"il sera aussi clair, complet et propre.

2 -Établir l"équation différentielle vérifiée parx(t), appelée équation du mouvement.

3 -Montrer que la position d"équilibre est donnée par

éq=k1?01+k2(L-?02)k

1+k2

4 -En déduire la forme générale des solutions de l"équation du mouvement.

5 -Supposons qu"à l"instantt= 0,Mest placé enx=x0> xéqet lancé avec une vitesse initialev0vers la gauche.

Établir la loi horairex(t)et représenter son allure.

6 -Supposons maintenantx0=xéqetv0= 0. Que vérifie-t-on?

Exercice 3 : Oscillateur masse-ressort vertical []

L"objectif de cet exercice est de comprendre en quoi l"oscillateurverticalmontré en cours diffère de l"oscillateur

horizontalque nous avons modélisé. L"exercice propose de suivre la même démarche que celle du cours, en établissant

et résolvant l"équation différentielle régissant le mouvement, puis en contrôlant la conservation de l"énergie.

L"oscillateur de démonstration est modélisé par un ressort de longueur naturelleL0et de raideurk. Ce ressort

est attaché à une ficelle en un pointOsupposé fixe et pend verticalement. Un cylindre de massemest fixée à son

1/2Étienne Thibierge, 13 novembre 2017,www.etienne-thibierge.fr

TD E3 : Oscillateur harmonique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018

autre extrémité. La position du cylindre est repérée par sa cotez, définie le long d"un axe(Oz)orienté vers le bas

et dont l"origine est fixée au point d"attache du ressort.

1 -Établir l"équation différentielle vérifiée parz(t)et l"écrire sous forme canonique. En déduire la période des

oscillations et comparer au cas horizontal.

2 -Déterminer la position d"équilibrezéq. Commenter physiquement le résultat.

3 -Le cylindre est lâché sans vitesse initiale à partir d"une positionz0obtenue en étirant le ressort par rapport à la

position d"équilibre. Déterminer la loi horairez(t).

4 -L"énergie potentielle du cylindre peut s"écrire sous la forme

E p(z) =12 k(z-L0)2-mgz

Que représentent chacun des termes? Montrer que la solution générale obtenue traduit bien la conservation de

l"énergie mécanique du cylindre.

Exercice 4 : Étude énergétique d"un oscillateur harmonique électrique []η(t)Ci(t)LuDans le circuit ci-contre, le générateur supposé idéal est brusquement éteint. On

le modélise par un échelon de courant,η(t)passant deI0à0à l"instantt= 0. On appelleEtot=EC+ELl"énergie électrique totale stockée dans le condensateur et la bobine.

1 -Exprimer la dérivéedEtotdten fonction deietdidt.

2 -Justifier qualitativement queEtotest constante. En déduire l"équation différentielle vérifiée pari. Retrouver cette

équation par application des lois de Kirchoff.

3 -Établir les conditions initiales suriet sa dérivée.

4 -En déduire l"expression dei(t).

Exercice 5 : Mode de vibration d"une molécule de HCl []

La fréquence de vibration de la molécule de chlorure d"hydrogène HCl est mesurée par spectroscopie comme

valantf= 8,5·1013Hz. On aborde dans cet exercice un premier modèle simple de la molécule, décrite comme un

atome d"hydrogène mobile relié à un atome de chlore fixe. L"interaction entre les deux atomes est modélisée par un

pseudo-ressort de raideurk.

Données :masses molairesMH= 1,0g·mol-1etMCl= 35,5g·mol-1, nombre d"AvogadroNA= 6,0·1023mol-1.

1 -Pourquoi est-il raisonnable de supposer l"atome de chlore fixe?

2 -Calculer la raideurk.

3 -On admet que l"énergie de la molécule est égale à12

hfoùh= 6,62·10-34J·sest la constante de Planck. Calculer la vitesse maximale de l"atome d"hydrogène.

4 -Calculer l"amplitude de son mouvement.Annale de concours

Exercice 6 : Deux ressorts à la verticale [oral banque PT,]O k

1,?01k

2,?02m

21 -Si un ressort possède une raideurk, quelle est la raideur d"un demi-ressort?

2 -On considère le système ci-contre oùkiet?0isont les raideurs et longueurs à vide des ressorts.

Déterminer les allongementsΔ?1etΔ?2à l"équilibre.

3 -Établir les équations différentielles vérifiées par les écartsz1etz2aux positions d"équilibre.

4 -La massem2est maintenant supposée maintenue dans sa position d"équilibre. La massem1est

alors déplacée deZdde sa position d"équilibre et lâchée sans vitesse initiale. Trouver l"équationz1(t)

régissant le mouvement dem1.

5 -Quel est le rapport entre les deux premières questions de l"exercice?

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Électronique 3 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Oscillateur harmoniqueÉlectronique 3 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Oscillateur harmonique

Exercices

Exercice 1 : Force exercée par un ressort

Dans tous les cas il faut repartir de la définition, #f=-k(?-?0)#usortanten exprimant séparément?et#usortanten

fonction des paramètres géométriques du problème. Attention aux signes,?est une longueur donc toujours positive.

1# f=-k(x-?0)#ex 2# f=-k(xH-x-?0)(-#ex) =k(xH-x-?0)#ex 3# f=-k(x-xH-?0)#ex 4# f=-k(-z-?0)(-#ez) =-k(z+?0)#ez 5# f=-k(z-?0)#ez

6?Force exercée par le premier ressort surM1:#f=-k(x1-?0)#ex;

?Force exercée par le deuxième ressort surM1:#f=-k?(x2-x1-??0)(-#ex) =k?(x2-x1-??0)#ex;

?Force exercée par le premier ressort surM2: aucune! car le premier ressort n"est pas attaché au solide enM2...

mais cela ne veut évidemment pas dire qu"il n"a pasd"influencesur le mouvement deM2; ?Force exercée par le deuxième ressort surM2:#f=-k(x2-x1-?0)#ex.

Exercice 2 : Une masse et deux ressorts

1Voir figure 1.

xOO ?k

1,?01k

2,?02M

Figure 1-Schéma de la situation.Rien n"est précisé sur la situation des ressorts (comprimés, étendus, à l"équilibre) :

il n"est donc pas possible de représenter les forces.

2?Système : le solide de massem, repéré par la position du pointM;

?Référentiel : terrestre, que l"on considère en bonne approximation galiléen; ?Bilan des actions mécaniques exercées sur le système :

→son poids, vertical, est supposé exactement compensé par la réaction du support sur lequel il se trouve;

→force exercée par le ressort 1 :#f1=-k1(?1-?01)#usortant,1=-k1(x-?01)#ex;

→force exercée par le ressort 2 :#f2=-k2(?2-?02)#usortant,2=-k2(L-x-?02)(-#ex) =k2(L-x-?02)#ex;

→les frottements sont négligés. ?Loi de la quantité de mouvement : d #pdt=#f1+#f2avec#p=m#v=mdxdt#ex ce qui donne en projetant sur l"axex m d2xdt2=-k1(x-?01) +k2(L-x-?02).

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Correction TD E3 : Oscillateur harmonique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Écrivons cette équation sous forme canonique, m x=k1?01+k2(L-?02)m

On reconnaît une équation différentielle d"oscillateur harmonique dont on peut identifier la pulsation propre et qu"on

écrit finalement

2xdt2+ω20x=k1?01+k2(L-?02)m

avecω0=?k 1+k2m

.3La position d"équilibre du solide est donnée par une solution particulière constante de l"équation différentielle.

Pourx=xéq=cte, elle s"écrit

0 +ω20xéq=k1?01+k2(L-?02)m

doncxéq=k1?01+k2(L-?02)mω 20quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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Qu'est-ce que l'oscillateur harmonique amorti?

Comment calculer l’amortissement d’un oscillateur harmonique?

Comment calculer la fréquence d’un oscillateur ?

Comment savoir si un oscillateur est harmonique ?

Oscillateur harmonique

Exercices

Exercice 1 : Force exercée par un ressort []

OHM3 -

O=HM5 -z

O=HM6 -

2Exercice 2 : Une masse et deux ressorts []

1 -Faire un schéma légendé de la situation. Il va de soi qu"il sera aussi clair, complet et propre.

2 -Établir l"équation différentielle vérifiée parx(t), appelée équation du mouvement.

3 -Montrer que la position d"équilibre est donnée par

éq=k1?01+k2(L-?02)k

4 -En déduire la forme générale des solutions de l"équation du mouvement.

5 -Supposons qu"à l"instantt= 0,Mest placé enx=x0> xéqet lancé avec une vitesse initialev0vers la gauche.

6 -Supposons maintenantx0=xéqetv0= 0. Que vérifie-t-on?

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1 -Établir l"équation différentielle vérifiée parz(t)et l"écrire sous forme canonique. En déduire la période des

2 -Déterminer la position d"équilibrezéq. Commenter physiquement le résultat.

3 -Le cylindre est lâché sans vitesse initiale à partir d"une positionz0obtenue en étirant le ressort par rapport à la

4 -L"énergie potentielle du cylindre peut s"écrire sous la forme

1 -Exprimer la dérivéedEtotdten fonction deietdidt.

2 -Justifier qualitativement queEtotest constante. En déduire l"équation différentielle vérifiée pari. Retrouver cette

équation par application des lois de Kirchoff.

3 -Établir les conditions initiales suriet sa dérivée.

4 -En déduire l"expression dei(t).

1 -Pourquoi est-il raisonnable de supposer l"atome de chlore fixe?

2 -Calculer la raideurk.

3 -On admet que l"énergie de la molécule est égale à12

4 -Calculer l"amplitude de son mouvement.Annale de concours

1,?01k

2,?02m

21 -Si un ressort possède une raideurk, quelle est la raideur d"un demi-ressort?

2 -On considère le système ci-contre oùkiet?0isont les raideurs et longueurs à vide des ressorts.

3 -Établir les équations différentielles vérifiées par les écartsz1etz2aux positions d"équilibre.

4 -La massem2est maintenant supposée maintenue dans sa position d"équilibre. La massem1est

5 -Quel est le rapport entre les deux premières questions de l"exercice?

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Oscillateur harmonique

Exercices

Exercice 1 : Force exercée par un ressort

6?Force exercée par le premier ressort surM1:#f=-k(x1-?0)#ex;

Exercice 2 : Une masse et deux ressorts

1Voir figure 1.

1,?01k

2,?02M

2?Système : le solide de massem, repéré par la position du pointM;

1/7Étienne Thibierge, 13 novembre 2017,www.etienne-thibierge.fr

écrit finalement

2xdt2+ω20x=k1?01+k2(L-?02)m

Pourx=xéq=cte, elle s"écrit

0 +ω20xéq=k1?01+k2(L-?02)m