Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4 PDF

retour au tableau bac-suites-ES-obl. 2. Guillaume Seguin. Page 3. Baccalauréat ES obligatoire algorithmes. 2. Asie 2016. Le 1er septembre 2015 un ensemble

SUITES EXERCICES DE BAC ES

EXERCICES DE BAC ES. EXERCICE 1. Amérique du Nord 2017 (2). Une grande université types d'accompagnement : « Approfondissement » ou « Ouverture culturelle ».

bac-s-mathematiques-antilles-guyane-2018-obligatoire-corrige

19 juin 2018 Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit ... On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite ( ). Selon ...

Baccalauréat ES Index des exercices avec des probabilités de 2013

Suite à une étude statistique on considère que la masse d'un jouet est une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance µ = 400 et d'écart-type σ =

Exercices de mathématiques

Ce document propose des exercices conformes aux programmes de Terminale pour les filières S

bac-s-mathematiques-inde-2017-obligatoire-corrige-exercice-4

v = . Partie A : Conjectures. Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur

Exercices sur les suites arithmético-géométriques – CORRIGES en

Exercice 4 : Antilles Guyane Septembre 2011 : Un centre aéré ouvert tous les mercredis après midi à partir du 1er septembre

Baccalauréat ES spécialité Index des exercices avec des graphes

(c) Dans le contexte de cet exercice expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme. bac-graphes-ES-spe. 15. Guillaume Seguin. Page

Limite dune suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le

c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 0 ≤ un − 4 ≤. 1. 8n . 3.d) En déduire la limite de la suite (un). Suite : Exercice type Bac. On

Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie 2 septembre 2020

2 sept. 2020 Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie. 2 septembre 2020. Exercice 1. 4 points. Commun à tous les candidats. Seules les affirmations 1 ...

Baccalauréat ES Index des exercices avec des suites de 2013 à 2016

retour au tableau bac-suites-ES-obl. 2. Guillaume Seguin. Page 3. Baccalauréat ES obligatoire algorithmes. 2. Asie 2016. Le 1er septembre 2015 un ensemble

bac-es-mathematiques-amerique-du-nord-2017-obligatoire-corrige

c) Déterminer la limite de la suite et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice. Amérique du Nord 201 7 - freemaths . fr. Bac - Maths

Sujet et corrigé mathématiques bac s obligatoire

https://www.freemaths.fr/corriges-par-theme/bac-s-mathematiques-antilles-guyane-2018-obligatoire-corrige-exercice-4-suites.pdf

Suites arithmetico-géométriques - Exercices

10 janv. 2018 Terminale ES. Suites arithmético-géométriques - Exercices. Suites arithmetico-géométriques. Exercice 1 : (Métropole ES Juin 2017).

Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie

Exercices de mathématiques. 2 e partie. Classes terminales ES S

bac-s-mathematiques-inde-2017-obligatoire-corrige-exercice-4

v = . Partie A : Conjectures. Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur

Sujet du bac S Mathématiques Spécialité 2017 - Am. du Nord

Sujets Mathématiques Bac 2017 Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme ... Bac - Maths - 201 7 - Série S ...

Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4

Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4. L'idée de cet exercice est l'étude de Parmi les individus de type S en semaine n on observe qu'en semaine 1.

Suites arithmetico geometrique exercices TES - Free

Terminale ES Suites arithm´etico-g´eom´etriques - Exercices a) Montrer que la suite (v n)est une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera la raison et le premier terme v0 b) Pour tout entier naturel n exprimer v n en fonction de n c) En d´eduire que pour tout entier naturel n u n =50×08n +150

FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama

- Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants Le candidat doit traiter tous les exercices

Baccalauréat ES Index des exercices avec des suites de 2013 à

[Baccalauréat ES Index des exercices avec des suites de 2013 à 2016 Tapuscrit: GUILLAUME SEGUIN No Lieuet date géo arith-géo limite inéquation somme si pour tantque 1 Antillesjuin2016 × × pb ouvert 2 Asie2016 × variat°+ fairealgo 3 Pondichery2016 × × remboursement 4 Liban2016 × × × àcompléter 5 Polynésiejuin2016 × × ×

Terminale générale - Suites numériques - Exercices - Devoirs

Suites numériques – Exercices - Devoirs Exercice 1 corrigé disponible 1 Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier n un+1 = 5un + 4 Montrer que pour tout entier n un >0 2 Démontrer que pour tout n entier 4n+5 est un multiple de 3 3 Soit (un) la suite définie par u0 = -3 et pour tout entier n un+1 = 5 – 4un

Fiche BAC 01 Terminale S Raisonnement par récurrence Suites

Fiche BAC 01 Terminale S Raisonnement par récurrence Suites numériques Exercice n°1 [RÉSOLU] On considère la suite définie par : {u0=?1 un+1=?un+2n?0 1°) A la calculatrice ou avec un tableur : [Méthode de recherche - TICE] Afficher les 14 premières valeurs de la suite et faire des conjectures : a) Trouver un minorant de la

SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES EXERCICES

Exercice 7 : Dire si les suites suivantes définies sur sont des suites géométriques 1 u n 3n 1 2n 2 v n 52n 3 z n 2 3n Exercice 8: La suite (u n) est une suite géométrique de raison 15 et telle que u 5 81 32 1 Calculer u 20 2 Calculer le terme initial u 1 3 Exprimer u n en fonction de n; 4 Étudier les variations de la suite

Bac TES exercices types - hmalherbefr

TES Bac : Exercices types 2013-2014 7 PROBABILITES CONDITIONNELLES Dans un lycée 60 des élèves de Terminale sont des filles et 40 d’entre elles ont choisi la filière ES On sait par ailleurs que 50 des garçons ont choisi cette filière On choisit au hasard un élève de Terminale a) Représenter l’expérience par un arbre pondéré

Sujet du bac ES Mathématiques Obligatoire 2017 - Antilles-Guyane

Durée de l’épreuve : 3 heures Coef?cient : 5 (ES) 4(L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur †Le sujet est composé de 4 exercices indépendants

Sujets de bac : Suites

Correction sujets de bac : Suites Sujet n°1 : Antilles-Guyane – juin 2006 Partie A 1) 2) Par définition de nous avons ? ? ? et en passant aux abscisses : ? 2 3 1 3 ? 2 3 Partie B 1) a Pour `] : ? ? ? 3 4 ? 2 3 ? 3 9 ?8 ?4 12 ? 5 ?5 12 ? 5 12 ? ? 5 12 Donc la suite est géométrique de raison J

LES SUITES EXERCICES BAC

Les suites exercices bac TES 5/6 V Métropole juin 2015 Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la cha-leur du sous-sol Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle il est nécessaire de creuse plusieurs puits suffisamment profonds

Exercice type bac suites es

Exercice type bac suites es Dans les lycées français l’étude des suites arithmético-géométriques fait partie du programme de maths de la terminale générale (maths complémentaires) Cette page présente un exercice tiré d'une épreuve du bac ES de 2010 (centres étrangers) spécialité maths (à l’époque les suites n’étaient

Quels sont les différents types de suites?

Etude de suites 2. Suites arithmétiques 3. Suites géométriques 4. Suites arithmético-géométriques 5. Raisonnement par récurrence 6. Limites de suites

Comment définir une suite?

La suite (un) est définie par u0?]0;1[et un+1=un(2?un). a. Etudier les variations de la fonction f(x)=x(2?x). b. Démontrer par récurrence que pour tout entier n,0<1.

Comment calculer la suite d'un?

La suite (un) est définie par u0?]0;1[et un+1=un(2?un). a. Etudier les variations de la fonction f(x)=x(2?x).

Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite divergente?

Si une suite a une limite finie( ), on dit qu’elle est convergente. Dans le cas contraire(limite infinie ou absence de limite), on dit qu’elle est divergente. Unicité de la limite : - Si une suite est convergentealors elle admet une unique limite. Limite d’une suite arithmétique : - Si alors la suite tend vers

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 1

Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4

L'idée de cet exercice est l'étude de l'évolution d'une épidémie suivant certaines hypothèses, sujet

prémonitoire et d'actualité en ces temps sombres de mars 2020.

Malheureusement, en tant que sujet de baccalauréat, la situation est dépouillée de tout ce qui peut en faire le

sel, au profit d'une utilisation de tableur dont le caractère bidon n'échappera à personne.

Le sujet ci-dessous, mal léché j'en conviens, essaie sommairement d'en rétablir la saveur. J'y envisage deux

méthodes de résolution, l'une avec l'outil des suites, l'autre avec l'outil matriciel. Le texte de l'énoncé n'est

pas " finement ciselé », loin s'en faut, il rappelle quelques grandes lignes. Dans la partie suite, on tombera

sur une suite " récurrente double » dont je ne détaille pas la méthode d'étude. Dans la partie matrices, je ne

détaille pas non plus la diagonalisation et son emploi pour calculer la puissance d'une matrice. Il appartient

le cas échéant au lecteur qui n'en serait pas averti de peaufiner sa culture mathématique.

1. Le sujet

On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité : · soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est " de type S » ; · soit malade (atteint par le virus), on dira qu'il est " de type M » ;

· soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus), on dira qu'il est " de type I ».

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. Pour

tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

· Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine 1+n :

85% restent de type S, 5% deviennent malades et 10% deviennent immunisés ;

Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu'en semaine 1+n: 65% restent malades, et

35% sont guéris et deviennent immunisés.

Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine 1+n. On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants: A n : " l'individu est de type Sen semaine n » de probabilité an ; B n : " l'individu est malade en semaine n » de probabilité bn ; C n : " l'individu est immunisé en semaine n » de probabilité cn.

En semaine 0, tous les individus sont considérés " de type S », on a donc les probabilités suivantes :

0;1000===cba

On se propose d'étudier l'évolution à long terme de l'épidémie, en supposant que les hypothèses émises ci-

dessus perdurent au cours du temps.

0. Exprimer pour tout entier naturel n des relations de récurrence entre ()111;;+++nnncba et ()nnncba;; .

Calculer

()nnncba;; lorsque 2;1==nn

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 2

A. Une étude à l'aide des suites

1. Caractériser la suite ()na et exprimer an en fonction de n pour tout entier naturel n.

2. Démontrer que, pour tout entier strictement positif n : 05525,05,111=+--+nnnbbb (R).

En mettant en oeuvre les techniques d'étude des suites récurrentes doubles justifier qu'il existe deux réels x et

y tels que pour tout entier naturel n : nn nyxb85,0.65,0.+=. Les calculer et exprimer bn en fonction de n.

Déterminer la valeur de n pour laquelle b

n est maximal.

3. Montrer que pour tout entier naturel n : 1=++nnncba. Que peut-on dire de l'évolution à long terme de

l'épidémie ?

B. Une étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on introduit le vecteur colonne : 9 99
8: nnn ncba v et on désigne par M la matrice : 9 99
8:

135,01,0065,005,00085,0

1. Justifier la relation matricielle : nnvMv´=+1 entre deux vecteurs colonnes consécutifs.

2. Diagonaliser par la méthode de votre choix la matrice M .

3. Montrer que ( )

9 999
8: nnnnnnn n M.

4. Retrouver les résultats de la partie A.

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 3

2. Eléments de correction

0. Comptes tenu des règles de transition d'une semaine à la suivante :

1 21
34
nnnnnnnnncbacbabaa

35,01,065,005,085,0111

Aux premiers rangs :

1 21
34
1,0

05,085,0111cba

et 1 21
34

2025,0075,07225,0222cba

A. Une étude à l'aide des suites

1. La suite ()na est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme 10=a. On peut conclure sans coup férir

que pour tout entier naturel n : n na85,0=.

2. Considérons la suite ()nu définie pour tout entier naturel n par : nnnncbau++=.

Sa valeur initiale est : 1

0000=++=cbau.

D'autre part, pour tout entier naturel n :

Soit :

Quel que soit n, les termes de rang n et 1

+n de cette suite sont égaux, donc cette suite est constante. La valeur de cette constante est celle de son premier terme. Pour tout entier naturel n : 1=++= nnnncbau

3. On dispose des relations : 1

21
34
+´==+nn nn nbba

65,085,005,085,01

de sorte qu'en écrivant la relation de récurrence portant sur la suite ()nb sur deux rangs consécutifs, pour tout entier n strictement positif : 1 21
34
-nn nn n nbbbb

65,085,005,065,085,005,011

1 et par conséquent : ()nnnnbbbb65,065,085,011+-´=-+. On obtient une relation de récurrence concernant trois termes consécutifs :

05525,05,111=+--+nnnbbbgj (R)

La suite ()nb appartient à l'ensemble E des suites réelles qui vérifient la relation de " récurrence double »

05525,05,1

11=+--+nnnbbb (R).

On sait que cet ensemble est un espace vectoriel de dimension 2. L'équation caractéristique associée à la relation (R) est l'équation : 05525,05,12=+-qq, équation qui admet deux solutions distinctes 85,0;65,0

21==qq

Dans ces circonstances, une base de

E est formée par la suite des puissances de chacune des deux solutions, c'est-à-dire par les gjsuites n65,0 et ()n85,0 .

Il existe deux réels

x et y tels que pour tout entier naturel n : nn nyxb85,0.65,0.+= et ces réels sont déterminés par la valeur des deux premiers termes : 234
yxbyxb

85,065,005,0010

ce qui conduit, par résolution du système de deux équations correspondant, à 4 1; 4

1=-=yx

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 4

Et nous obtenons : ()nn

nb65,085,04

1-=, conformément à l'indication

gjde l'énoncé original.

Une étude sur tableur (qu'il faudrait justifier) fait apparaître que le terme maximal est celui d'indice 4 (je ne

détaille pas).

Les deux suites géométriques en jeu ont une raison comprises entre 0 et 1, elles convergent vers zéro, ce qui

implique la convergence vers zéro aussi bien de la suite ()na que de la suite ()nb. Il en résulte que la suite ()nc converge vers 1. On peu prévoir, à long terme, une immunisation de la totalité de la population.

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 5

B. Une étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on introduit le vecteur colonne : 9 99
8: nnn ncba v de sorte que l'on a la relation matricielle : nnvv´ 9 99
8:

135,01,0065,005,00085,0

1 entre deux vecteursgjcolonnes consécutifs.

On désigne par M la matrice :

9 99
8:

135,01,0065,005,00085,0

M. C'est une matrice triangulaire, ses valeurs propres sont les éléments de sa diagonale principale, à savoir les valeurs distinctes 0,85 ; 0,65 ; 1.

Vecteurs propres : La droite vectorielle des vecteurs propres associée à la valeur propre 0,65 a pour base le

vecteur

()1;2,0;8,0--, la droite vectorielle des vecteurs propres associée à la valeur propre 0,65 a pour

base le vecteur ()1;1;0-, la droite vectorielle des vecteurs propres associée à la valeur propre 1 a pour base le vecteur ()1;0;0 de sorte que la matrice de passage de la base usuelle à une base de vecteurs propres est la matrice : 9 99
8:

111012,0008,0

Il en résulte la diagonalisation : DPMP=

9 99
8:

100065,000085,0

1 La puissance n-ième de cette matrice D est gjulia nn nD 9 999
8:

100065,000085,0

de sorte que : 1

100065,000085,0

9 999
8:

´=PPM

nn n gj

Nous sommes en mesure d'exprimer la puissance n-

ième de M , ce qu'un logiciel de calcul formel nous aide à faire : 9 999
8: nnnnnnn n M

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 6

Nous obtenons : ( )

9 999
8: 9 99
8: 9 99
8:

165,025,085,025,165,085,025,085,0

0 01 nnnnn n n nn gjuliaM cba Ce qui concorde avec les résultats de la partie A.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

[PDF] Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4

Quels sont les différents types de suites?

Comment définir une suite?

Comment calculer la suite d'un?

Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite divergente?

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 1

Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4

1. Le sujet

85% restent de type S, 5% deviennent malades et 10% deviennent immunisés ;

35% sont guéris et deviennent immunisés.

0;1000===cba

0. Exprimer pour tout entier naturel n des relations de récurrence entre ()111;;+++nnncba et ()nnncba;; .

Calculer

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 2

A. Une étude à l'aide des suites

1. Caractériser la suite ()na et exprimer an en fonction de n pour tout entier naturel n.

2. Démontrer que, pour tout entier strictement positif n : 05525,05,111=+--+nnnbbb (R).

Déterminer la valeur de n pour laquelle b

3. Montrer que pour tout entier naturel n : 1=++nnncba. Que peut-on dire de l'évolution à long terme de

B. Une étude matricielle

135,01,0065,005,00085,0

1. Justifier la relation matricielle : nnvMv´=+1 entre deux vecteurs colonnes consécutifs.

2. Diagonaliser par la méthode de votre choix la matrice M .

3. Montrer que ( )

4. Retrouver les résultats de la partie A.

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 3

2. Eléments de correction

0. Comptes tenu des règles de transition d'une semaine à la suivante :

35,01,065,005,085,0111

Aux premiers rangs :

05,085,0111cba

2025,0075,07225,0222cba

A. Une étude à l'aide des suites

1. La suite ()na est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme 10=a. On peut conclure sans coup férir

2. Considérons la suite ()nu définie pour tout entier naturel n par : nnnncbau++=.

Sa valeur initiale est : 1

0000=++=cbau.

D'autre part, pour tout entier naturel n :

Soit :

Quel que soit n, les termes de rang n et 1

3. On dispose des relations : 1

65,085,005,085,01

65,085,005,065,085,005,011

05525,05,111=+--+nnnbbbgj (R)

05525,05,1

11=+--+nnnbbb (R).

21==qq

Dans ces circonstances, une base de

Il existe deux réels

85,065,005,0010

1=-=yx

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 4

Et nous obtenons : ()nn

1-=, conformément à l'indication

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 5

B. Une étude matricielle

135,01,0065,005,00085,0

1 entre deux vecteursgjcolonnes consécutifs.

On désigne par M la matrice :

135,01,0065,005,00085,0

111012,0008,0

Il en résulte la diagonalisation : DPMP=

100065,000085,0

100065,000085,0

100065,000085,0

´=PPM

Nous sommes en mesure d'exprimer la puissance n-

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, 2019/2020 6

Nous obtenons : ( )

165,025,085,025,165,085,025,085,0