Baccalauréat ES Index des exercices avec des suites de 2013 à 2016
retour au tableau bac-suites-ES-obl. 2. Guillaume Seguin. Page 3. Baccalauréat ES obligatoire algorithmes. 2. Asie 2016. Le 1er septembre 2015 un ensemble
SUITES EXERCICES DE BAC ES
EXERCICES DE BAC ES. EXERCICE 1. Amérique du Nord 2017 (2). Une grande université types d'accompagnement : « Approfondissement » ou « Ouverture culturelle ».
bac-s-mathematiques-antilles-guyane-2018-obligatoire-corrige
19 juin 2018 Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit ... On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite ( ). Selon ...
Baccalauréat ES Index des exercices avec des probabilités de 2013
Suite à une étude statistique on considère que la masse d'un jouet est une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance µ = 400 et d'écart-type σ =
Exercices de mathématiques
Ce document propose des exercices conformes aux programmes de Terminale pour les filières S
bac-s-mathematiques-inde-2017-obligatoire-corrige-exercice-4
v = . Partie A : Conjectures. Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur
Exercices sur les suites arithmético-géométriques – CORRIGES en
Exercice 4 : Antilles Guyane Septembre 2011 : Un centre aéré ouvert tous les mercredis après midi à partir du 1er septembre
Baccalauréat ES spécialité Index des exercices avec des graphes
(c) Dans le contexte de cet exercice expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme. bac-graphes-ES-spe. 15. Guillaume Seguin. Page
Limite dune suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le
c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 0 ≤ un − 4 ≤. 1. 8n . 3.d) En déduire la limite de la suite (un). Suite : Exercice type Bac. On
Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie 2 septembre 2020
2 sept. 2020 Corrigé du baccalauréat Terminale ES Polynésie. 2 septembre 2020. Exercice 1. 4 points. Commun à tous les candidats. Seules les affirmations 1 ...
Baccalauréat ES Index des exercices avec des suites de 2013 à 2016
retour au tableau bac-suites-ES-obl. 2. Guillaume Seguin. Page 3. Baccalauréat ES obligatoire algorithmes. 2. Asie 2016. Le 1er septembre 2015 un ensemble
bac-es-mathematiques-amerique-du-nord-2017-obligatoire-corrige
c) Déterminer la limite de la suite et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice. Amérique du Nord 201 7 - freemaths . fr. Bac - Maths
Sujet et corrigé mathématiques bac s obligatoire
https://www.freemaths.fr/corriges-par-theme/bac-s-mathematiques-antilles-guyane-2018-obligatoire-corrige-exercice-4-suites.pdf
Exercices de mathématiques
Classes de terminale S ES
Suites arithmetico-géométriques - Exercices
10 janv. 2018 Terminale ES. Suites arithmético-géométriques - Exercices. Suites arithmetico-géométriques. Exercice 1 : (Métropole ES Juin 2017).
Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie
Exercices de mathématiques. 2 e partie. Classes terminales ES S
bac-s-mathematiques-inde-2017-obligatoire-corrige-exercice-4
v = . Partie A : Conjectures. Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur
Sujet du bac S Mathématiques Spécialité 2017 - Am. du Nord
Sujets Mathématiques Bac 2017 Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme ... Bac - Maths - 201 7 - Série S ...
Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4
Bac Terminale S Métropole 2017 exercice 4. L'idée de cet exercice est l'étude de Parmi les individus de type S en semaine n on observe qu'en semaine 1.
Suites arithmetico geometrique exercices TES - Free
Terminale ES Suites arithm´etico-g´eom´etriques - Exercices a) Montrer que la suite (v n)est une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera la raison et le premier terme v0 b) Pour tout entier naturel n exprimer v n en fonction de n c) En d´eduire que pour tout entier naturel n u n =50×08n +150
FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama
- Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants Le candidat doit traiter tous les exercices
Baccalauréat ES Index des exercices avec des suites de 2013 à
[Baccalauréat ES Index des exercices avec des suites de 2013 à 2016 Tapuscrit: GUILLAUME SEGUIN No Lieuet date géo arith-géo limite inéquation somme si pour tantque 1 Antillesjuin2016 × × pb ouvert 2 Asie2016 × variat°+ fairealgo 3 Pondichery2016 × × remboursement 4 Liban2016 × × × àcompléter 5 Polynésiejuin2016 × × ×
Terminale générale - Suites numériques - Exercices - Devoirs
Suites numériques – Exercices - Devoirs Exercice 1 corrigé disponible 1 Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier n un+1 = 5un + 4 Montrer que pour tout entier n un >0 2 Démontrer que pour tout n entier 4n+5 est un multiple de 3 3 Soit (un) la suite définie par u0 = -3 et pour tout entier n un+1 = 5 – 4un
Fiche BAC 01 Terminale S Raisonnement par récurrence Suites
Fiche BAC 01 Terminale S Raisonnement par récurrence Suites numériques Exercice n°1 [RÉSOLU] On considère la suite définie par : {u0=?1 un+1=?un+2n?0 1°) A la calculatrice ou avec un tableur : [Méthode de recherche - TICE] Afficher les 14 premières valeurs de la suite et faire des conjectures : a) Trouver un minorant de la
SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES EXERCICES
Exercice 7 : Dire si les suites suivantes définies sur sont des suites géométriques 1 u n 3n 1 2n 2 v n 52n 3 z n 2 3n Exercice 8: La suite (u n) est une suite géométrique de raison 15 et telle que u 5 81 32 1 Calculer u 20 2 Calculer le terme initial u 1 3 Exprimer u n en fonction de n; 4 Étudier les variations de la suite
Bac TES exercices types - hmalherbefr
TES Bac : Exercices types 2013-2014 7 PROBABILITES CONDITIONNELLES Dans un lycée 60 des élèves de Terminale sont des filles et 40 d’entre elles ont choisi la filière ES On sait par ailleurs que 50 des garçons ont choisi cette filière On choisit au hasard un élève de Terminale a) Représenter l’expérience par un arbre pondéré
Sujet du bac ES Mathématiques Obligatoire 2017 - Antilles-Guyane
Durée de l’épreuve : 3 heures Coef?cient : 5 (ES) 4(L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur †Le sujet est composé de 4 exercices indépendants
Sujets de bac : Suites
Correction sujets de bac : Suites Sujet n°1 : Antilles-Guyane – juin 2006 Partie A 1) 2) Par définition de nous avons ? ? ? et en passant aux abscisses : ? 2 3 1 3 ? 2 3 Partie B 1) a Pour `] : ? ? ? 3 4 ? 2 3 ? 3 9 ?8 ?4 12 ? 5 ?5 12 ? 5 12 ? ? 5 12 Donc la suite est géométrique de raison J
LES SUITES EXERCICES BAC
Les suites exercices bac TES 5/6 V Métropole juin 2015 Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la cha-leur du sous-sol Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle il est nécessaire de creuse plusieurs puits suffisamment profonds
Exercice type bac suites es
Exercice type bac suites es Dans les lycées français l’étude des suites arithmético-géométriques fait partie du programme de maths de la terminale générale (maths complémentaires) Cette page présente un exercice tiré d'une épreuve du bac ES de 2010 (centres étrangers) spécialité maths (à l’époque les suites n’étaient
Quels sont les différents types de suites?
- Etude de suites 2. Suites arithmétiques 3. Suites géométriques 4. Suites arithmético-géométriques 5. Raisonnement par récurrence 6. Limites de suites
Comment définir une suite?
- La suite (un) est définie par u0?]0;1[et un+1=un(2?un). a. Etudier les variations de la fonction f(x)=x(2?x). b. Démontrer par récurrence que pour tout entier n,0<1.
Comment calculer la suite d'un?
- La suite (un) est définie par u0?]0;1[et un+1=un(2?un). a. Etudier les variations de la fonction f(x)=x(2?x).
Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite divergente?
- Si une suite a une limite finie( ), on dit qu’elle est convergente. Dans le cas contraire(limite infinie ou absence de limite), on dit qu’elle est divergente. Unicité de la limite : - Si une suite est convergentealors elle admet une unique limite. Limite d’une suite arithmétique : - Si alors la suite tend vers
Sens de variations d'une suite :
Pour prouver qu'une suite
(un) est strictement croissante, on prouve que : ? n , un+1>un ou que ? n , un+1?un>0.Pour prouver qu'une suite
(un) est strictement décroissante, on prouve que : ? n , un+1Soit qu'
il existe un réel r tel que ? n , un+1=un+rSoit que ? n , un+1?un est une constante r.
Bien évidemment, si
r>0, (un) est strictement croissante, et si r<0, (un) est strictement décroissante. Leterme général d'une suite arithmétique de terme initial u0 et de raison r est un=u0+n×r.1
Différence entre deux termes d'une suite arithmétique de raison r : um?up=(m?p)×rSuites géométriques :
Pour prouver qu'une suite (un) est géométrique, on prouve :Soit qu'
il existe un réel q tel que ? n , un+1=q×un.Soit que
le terme général de la suite est de la forme b×an ? n . Leterme général d'une suite géométrique de terme initial u0 et de raison q est : un=u0×qn.2
Sens de variation et convergence des suites géométriques à termes positifs : Soit (un) une suite géométrique de premier terme strictement positif et de raison q>0 : •Si 0Somme des n+1 premières puissances de q :
Soit q
≠ 1 . Alors 1+q+q2+...+qn=1?qn+1 1?q1 Si le terme initial est u1, un=u1+(n?1)r.
2 Si le terme initial est
u1, un=u1×qn?1
L'essentiel pour traiter des problèmes de bac sur les suites - 1/6Opérations sur les limites :
•Si lim n→+∞qn=+∞, alors si a>0, lim n→+∞a×qn=+∞ et si a<0, lim n→+∞a×qn=?∞. •Si lim n→+∞qn=L (L ? ℝ), alors lim n→+∞a×qn=a×L.Et si vous cherchez la limite de
b+a×qn, il vous suffit d'ajouter b au résultat trouvé pour lim n→+∞a×qn, sachant que si on ajoute un réel à +∞ ou ?∞, ça reste +∞ ou -∞.Exemples
1) On veut connaître la limite de la suite
(un) telle que ? n, un=10?3×0,8n. lim n→+∞0,8n=0 car 0<0,8<1, donc lim n→+∞?3×0,8n=?3×0=0 donc lim n→+∞10?3×0,8n=10+0=10.2) On veut connaître la limite de la suite
(vn) telle que ? n, vn=15?3×2n : lim n→+∞2n=+∞ car 2>1, donc lim n→+∞?3×2n=?∞, donc lim n→+∞15?3×2n=?∞. (Même si on ajoute 15 à -∞, ça reste -∞)Exercice 1 (Exercice-type avec des valeurs simples, pour comprendre comment on se ramène à une suite
géométrique pour étudier une suite arithmético-géométrique) : (un) est la suite définie sur ℕ par u0=1 et ? n ? ℕ, un+1=2un?3. 31) Calculer u1, u2, u3 et u4.
2) On pose, pour tout n ? ℕ, vn=un?3.
a) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 2. 4 b) Exprimer vn en fonction de n. 53) Exprimer un en fonction de n. 6
4) Déterminer la limite de la suite (un). 7
Exercice 2 : (Problème de bac-type, avec une évolution en pourcentage et un ajout constant pour former une
suite arithmético-géométrique) Dans un village, l'association de gymnastique comptait 50 adhérents en 2006.Depuis cette date, la trésorière a remarqué que, chaque année, elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 15% des
anciens inscrits ne se réinscrivent pas, tandis que les autres renouvellent leur adhésion.On note
un le nombre d'adhérents pour l'année 2006+n.1) Que vaut u0 et que vaut, pour tout entier n, un+1 en fonction de un ? 8
2) On pose pour tout entier n, vn=un?120. a) Montrer que (vn) est géométrique, préciser sa raison et son
terme initial. b) Montrer que pour tout entier n, un=120?70×0,85n c) Étudier le sens de variations de la suite (un). d) Montrer que pour n⩾20, 117⩽un<120 et interpréter ce résultat.Et la représentation graphique ? Certains problèmes nous demandent de faire une représentation graphique
d'une suite pour conjecturer sa limite.3 C'est une suite arithmético-géométrique car elle est définie par une relation de récurrence du type : un+1=aun+b ? n.
Remarque : la suite géométrique associée aura pour raison a.4 La procédure est toujours la même : 1- On exprime v
n+1 en fonction de un+1. 2- On remplace un+1 par sa valeur en fonction de un 3- On factorise l'expression obtenue par la raison (ici : 2) 4- On obtient vn+1=vn×raison en remplaçant, ici, un?3 par vn.
5 Utiliser la formule du terme général d'une suite géométrique.
6 Remarquer que si, pour tout n,
v n=un?3, alors, pour tout n, un=vn+3.7 Procéder comme dans les exemples ci-dessus.
8 On obtient une relation du type
u n+1=a×un+b. La raison de la suite géométrique associée sera a, qui est le coefficientmultiplicatif de l'évolution en pourcentage : (1+t%) pour une augmentation de t% , (1-t%) pour une diminution de t%.
L'essentiel pour traiter des problèmes de bac sur les suites - 2/6 Il s'agit de suites arithmético-géométriques définies par une relation de récurrence du type : ? n, un+1=aun+b. On nous donne aussi son terme initial.On trace :
•La droite d'équation y=ax+b (notons-la D) •La droite d'équation y=x (notons-la ) On nous demande de représenter les premiers termes de la suite : on place u0 sur l'axe des abscisses.Le point de D d'abscisse
u0 aura pour ordonnée u1.Pour placer
u1 en abscisse, on utilise la droite .Puis on trouve
u2 en ordonnées à l'aide de la droite D, et on continue de la même manière. La limite à trouver est l'abscisse du point d'intersection des deux droites !Exemple ci-contre avec
u0=3, a=0,25 et b=6. L'énoncé du problème associé à ce graphique pourrait être : Exercice 3 : (un) est la suite définie sur ℕ par u0=3 et, pour tout entier naturel n, un+1=14un+6.
Partie A : Étude graphique.
1)Dans un repère orthonormé (d'unité 1 ou 2 cm au choix), tracer les droites D d'équation y=1
4x+6 et
d'équation y=x.2) Représenter dans ce repère les nombres u0, u1, u2 et u3.
3) Conjecturer le sens de variations et la limite de la suite (un).
Partie B : Étude calculatoire.
1)Calculer u1, u2 et u3. Les valeurs calculées semblent-elles coïncider avec les nombres construits partie A ?
2) Pour tout entier naturel n, on pose vn=un?8.
a) Prouver que (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer, pour tout n, vn en fonction de n. c) Exprimer, pour tout n, un en fonction de n. d) Quelles sont les limites des suites (vn) et (un) ? La limite de (un) trouvée dans la partie B coïncide-t-elle avec celle que vous avez conjecturée dans la partie A ?3) Étudier le sens de variations de la suite (un). Correspond-il à la conjecture de la partie A ?
L'essentiel pour traiter des problèmes de bac sur les suites - 3/6Corrigés des exercices :
Exercice 1 (un) est la suite définie sur ℕ par u0=1 et ? n ? ℕ, un+1=2un?3.1) u1=2u0?3=2×1?3=?1u2=2u1?3=2×(?1)?3=?2?3=?5
u3=2u2?3=2×(?5)?3=?10?3=?13 u4=2u3?3=2×(?13)?3=?26?3=?292) On pose, pour tout n ? ℕ, vn=un?3.
a) On va essayer de montrer qu'il existe un réel q tel que, pour tout n, vn+1=q×vn.On s'attend à ce que ce réel
q soit 2, car dans la relation de récurrence qui relie un+1 à un, de la forme un+1=aun+b, on a a=2. •On écrit vn+1 en fonction de un+1 : Pour tout n, vn+1=un+1?3. •On remplace un+1 par sa formule en fonction de un : Pour tout n, vn+1=(2un?3)?3=2un?6. •On factorise par 2 : Pour tout n, vn+1=2×un?2×3=2(un?3)On remplace un?3 par vn : Pour tout n, vn+1=2vn.
On vient de prouver que
(vn) est une suite géométrique de raison 2.On calcule son
terme initial : v0=u0?3=1?3=?2.b) Pour exprimer vn en fonction de n, on utilise la formule du terme général d'une suite géométrique :
On sait que si
(vn) est une suite géométrique de terme initial v0 et de raison q, on a, pour tout n, vn=v0×qn.
Ici, avec
v0=?2 et q=2, on a, pour tout entier n, vn=?2×2n.3) Pour exprimer un en fonction de n, on utilise la relation qui relie un et vn pour tout n :
Pour tout entier
n, on a : vn=un?3 ? vn+3=un.Donc pour tout entier n, on a un=vn+3, soit un=?2×2n+3, en utilisant la formule de vn en fonction de n.
4) On vient de prouver que, pour tout n ? ℕ, un=?2×2n+3.
Comme2>1, lim
n→+∞2n=+∞. Comme ?2<0, lim n→+∞?2×2n=?∞. Et comme " on ne change pas l'infini si on lui ajoute 3 » : lim n→+∞?2×2n+3=?∞.Conclusion
: lim n→+∞un=?∞. Exercice 2 : 1) u0=50 car l'association compte 50 adhérents en 2006.Pour tout
n, un+1=0,85un+18. Le 18 correspond au nombre de nouvelles adhésions chaque année. Le 0,85 aux 85 % d'anciens adhérents qui renouvellent leur abonnement.2) On pose pour tout entier n, vn=un?120.
a) On réitère le même cheminement que dans l'exercice précédent : •On exprime vn+1 en fonction de un+1 : Pour tout entier n, vn+1=un+1?120. •On remplace un+1 par sa formule en fonction de un : vn+1=0,85un+18?120=0,85un?102 L'essentiel pour traiter des problèmes de bac sur les suites - 4/6 •On factorise par le coefficient de un : Pour tout n, vn+1=0,85×un?0,85×120=0,85(un?120) On remplace un?120 par vn : Pour tout entier n, vn+1=0,85vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,85. Son terme initial est v0=u0?120=50?120=?70.b) Comme (vn) est une suite géométrique de terme initial ?70 et de raison 0,85, pour tout entier n, on a
v n=?70×0,85n.Comme pour tout entier
n, on a vn=un?120 ? vn+120=un ? un=vn+120. Donc pour tout entier n, un=?70×0,85n+120 ou encore un=120?70×0,85n. c) Pour tout n, un+1?un=(120?70×0,85n+1)?(120?70×0,85n) un+1?un=?70×0,85n+1+70×0,85n un+1?un=70×0,85n?70×0,85n+1 un+1?un=70×0,85n×1?70×0,85n×0,85 (car 0,85n+1=0,85n×0,851 ) u n+1?un=70×0,85n×(1?0,85) un+1?un=70×0,85n×0,15La différence
un+1?un est le produit de trois nombres strictement positifs. Donc, d'après la règle des signes, il
est strictement positif.Donc pour tout entier
n, un+1?un>0 ? un+1>un donc la suite (un) est strictement croissante. d) Il est facile de montrer que pour tout entier n, un<120.En effet : Pour tout entier n,
u n=120?70×0,85n.70×0,85n>0 donc ?70×0,85n<0, donc, en additionnant 120 aux deux membres de cette inégalité :
120?70×0,85n<120, soit un<120.
Maintenant, pour montrer que si
n⩾20, un⩽117, on utilise le fait que la suite (un) est strictement croissante.On calcule
u20=120?70×0,8520≈117,3, donc u20>117, et, comme la suite (un) est strictement croissante,
pour tout n⩾20, on aura un⩾u20>117 donc u20>117.On a bien, pour tout
n⩾20, 117⩽un<120, et même 1174un+6.
Partie A : Étude graphique.
1) et 2) Voir le graphique page 3.3) Il semble que la suite (un) soit croissante, car sur l'axe des abscisses, u0, u1, u2 ... apparaissent dans cet
ordre. Le point d'intersection de D et de a pour coordonnées (8;8). Les points de D d'abscisses un semblent s'accumuler vers ce point d'intersection. On conjecture donc que lim n→+∞un=8. L'essentiel pour traiter des problèmes de bac sur les suites - 5/6Partie B : Étude calculatoire.
1) u1=14u0+6=1
4×3+6=3
4+24 4=274u1=6,75
u2=14u1+6=1
4×27
4+6=27
16+9616=123
16u2≈7,69
u3=14u2+6=1
4×123
16+6=123
64+384
64=507
64u3≈7,92
Oui, ces valeurs semblent correspondre aux nombres construits sur le graphique.2) Pour tout entier naturel n, on pose vn=un?8.
a) On procède comme dans les deux exercices précédents : •On exprime vn+1 en fonction de un+1 : ? n ? ℕ, vn+1=un+1?8. •On remplace un+1 par sa formule en fonction de un : ? n ? ℕ, vn+1=( 14un+6)?8=1
4un?2.
•On factorise par le coefficient de un : ? n ? ℕ, vn+1=14×un?1
4×8=1
4(un?8)
On remplace un?8 par vn : ? n ? ℕ, vn+1=1
4vn.Ceci prouve que
(vn) est une suite géométrique de raison 14. Son terme initial est v0=u0?8=3?8=?5.
b) Comme (vn) est une suite géométrique de terme initial ?5 et de raison 1 4, pour tout entier n, on a vn=v0×raisonn, soit vn=?5×( 1 4) n , ou vn=?5×0,25n. c) Pour tout entier n, vn=un?8 donc un=vn+8, donc un=?5×0,25n+8. d) lim n→+∞0,25n=0 car 0<0,25<1. Donc lim n→+∞?5×0,25n=?5×0=0, soit lim n→+∞vn=0.Comme, pour tout
n ? ℕ, un=vn+8 et comme lim n→+∞vn=0, lim n→+∞un=0+8=8. Ce résultat coïncide bien avec la conjecture de la partie A.3) Étudions, pour tout entier n, le signe de un+1?un.
Pour tout entier naturel
n, un+1?un=(?5×0,25n+1+8)?(?5×0,25n+8) un+1?un=?5×0,25n+1+8+5×0,25n?8 u n+1?un=?5×0,25n+1+5×0,25n un+1?un=5×0,25n?5×0,25n+1 un+1?un=5×0,25n×1?5×0,25n×0,25 car 0,25n+1=0,25n×0,251 un+1?un=5×0,25n(1?0,25) un+1?un=5×0,25×0,75.La différence
un+1?un est le produit de trois nombres positifs. D'après la règle des signes, un+1?un>0 pour tout entier n, donc ? n ? ℕ, un+1>un. La suite (un) est donc bien strictement croissante, ce que nous avions conjecturé dans la partie A. L'essentiel pour traiter des problèmes de bac sur les suites - 6/6quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] exercices sur l absurde pdf
[PDF] exercices sur l'intensité du courant electrique
[PDF] exercices sur la diversité des entreprises
[PDF] exercices sur la gestion des fichiers et dossiers
[PDF] exercices sur la proportionnalité
[PDF] exercices sur le cercle
[PDF] exercices sur le cercle ce2
[PDF] exercices sur le cercle cm1
[PDF] exercices sur le genre et le nombre des noms cm1
[PDF] exercices sur le genre et le nombre des noms cm2
[PDF] exercices sur le langage non verbal
[PDF] exercices sur le portrait physique et moral
[PDF] exercices sur les 4 opérations à imprimer
[PDF] exercices sur les atomes
