[PDF] Feuille d’exercices n 2: vecteurs gaussiens Rappels sur les





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PC 5 – Calcul de lois & Vecteurs gaussiens

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Leçon 14 Exercices corrigés

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TD no 8 : Vecteurs gaussiens

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TD 2 : Vecteurs gaussiens construction du mouvement brownien

Expliquer comment simuler un vecteur gaussien centré de matrice de covariance K à partir de variables gaussiennes indépendantes. Solution de l'exercice 2 Soit d 



T. D. n 3 Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois

Exercice 1. Densité d'un vecteur gaussien. Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ. Nous.



TD1 : Variables aléatoires réelles vecteurs aléatoires

Exercice 12 (Extrait du partiel de novembre 2016) Montrer que (U X ?Y ) est un vecteur gaussien dont on précisera l'espérance et la matrice de ...



CC - Correction 1 Vecteurs gaussiens 2 Convergence de suites de

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TD 3 - Vecteurs Gaussiens I. 2018 - 19 lerouvillois@math.univ-lyon1.fr poudevigne@math.univ-lyon1.fr. Exercice 1. Soit (X1X2) un vecteur gaussien centré de 



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Montrer que (UV) est un vecteur gaussien et calculer sa covariance. . On pose. W = (X ? U) + (Y ? U) . Exercice . Densité des vecteurs gaussiens.



PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens - univ-toulousefr

PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soient X et Y deux variables al eatoires ind ependantes gaussiennes centr ees r eduites 1 D eterminer la loi de Xp+Y 2;Xp Y 2 2 D eterminer la loi de X=Y Solution Comme Xet Y sont ind ependantes la loi de (X;Y) a une densit e 1 2? e x 2+y2 2 sur R2 Soit g: R2!R une fonction continue



Fiche 4 Vecteurs gaussiens

Fiche 4 Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soit Xet Y deux ariablesv aléatoires i i d de loi N(0;1) 1 On pose U= X+Y 2 et V = X Y 2 Montrer que (U;V) est un vecteur gaussien et déterminer sa loi 2 On pose W= 1 2 (X U)2 + 2 (Y U)2 montrer que Uet Wsont indépendantes et déterminer la loi de W Exercice 2



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8 Chapitre I Vecteurs aléatoires gaussiens Démonstration Lapremièreéquivalenceprovientdeladé?nitiond’unvecteuraléatoiregaussien etdecelledelafonctioncaractéristiqued’unevariablealéatoiregaussienneréelle Pourl’équivalenceentre 1 et3 celaprovientsimplementduthéorème 3 etdespropriétésdesmatricessymétriquessemi-dé?nies





Chapitre 14 Vecteurs gaussiens - Centrale Marseille

Chapitre 14 Vecteurs gaussiens Renaud Bourl es - Ecole Centrale Marseille Math ematiques pour la nance



T D no 3 Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois

Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois conditionnelles Exercice 1 Densit´e d’un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d’esp´erance µ Nous supposons que C = ADAt ou` D est diagonale et A orthogonale Nops consid´erons le vecteur al´eatoire Y = At(X ?µ) 1 Montrer que Y est un vecteur



Exercices Rappels vecteurs gaussiens

Exercices Rappels vecteurs gaussiens Exercice 1 On donne les poids à la naissance (en kg) de 10 enfants : 3:2;2:4;3:3;3:4;3:9;2:9;3:3;4:5;1:9;3:3: 1 Calculer le poids moyen puis l'écart-type du poids des enfants 2 On a demandé aux mères si elles aaienvt traaillév au cours de leur grossesse : cinq ont tra-



PROBABILITÉS Exercices Vecteurs Gaussiens 2M R h y 2M

Exercices Vecteurs Gaussiens Soit = ( 1;:::; n) 2M 1;n(R) unvecteurligneet 2M n(R) unematricesymétrique dé?niepositive(i) OnditqueY = (Y 1;:::;Y n) estunvecteur gaussien demoyennes et matricedecovariance s’iladmetladensité f Y(y 1;:::;y n) = 1 p (2?)ndet() exp h T 1 2 (y ) 1(y ) i; ouonécrity = (y 1;:::;y n) 2M 1;n



VECTEURS GAUSSIENS - univ-rennes1fr

Application : simulation de vecteurs gaussiens Il est facile de simuler un vecteur gaussien de matrice de variance diagonalecarles composantessontalorsdes v a r indépendantes deloisgaussiennes Supposonsdonc que l’onaitàsimuleruneréalisationd’unvecteurgaussien X?N n(m;) IlexisteunematriceorthogonaleP telleque = P Pt(?) où = diag( 1



TD no 8 : Vecteurs gaussiens - CNRS

TD no 8 : Vecteurs gaussiens Exercice 1 SoientXetY deuxvar iid suivantchacuneloinormaleN(0;1) OnposeU= X+Y etV = X Y 1 Montrerque(U;V)t estuncouplegaussien 2 MontrerqueUetV sontindépendantes Exercice 2 Soit(X;Y)t uncouplegaussiencentrételqueE(X2) = 4 etE(Y2) = 1etlesvar 2X+Y etX 3Y sontindépendantes 1



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TD9 - Vecteurs Gaussiens - Correction Exercice 7 6 En utilisant la question précédente et en se rappelant que la loi géométrique G„p”est d’espérance 1 p et

Quelle est la variance d’un vecteur gaussien ?

  • Esperance et Variance d’un vecteur gaussien. Rappelons qu’une variable gaussienne (normale) ;?est caracterisee par deux parametres : la moyenne et l’ecart-type ?(ou la variance ?2). De maniere analogue, un vecteur gaussien est caracterise pas le vecteur E(X) et la matrice de variance-covariance : 0 B B B B B B @ Var(X. 1) Cov(X. 1;X.

Quels sont les 3 entiers de Gauss ?

  • Trois entiers de Gauss : 1 + i, 2 + i et 1 + 3i. Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss possèdent une norme. Si N est cette norme, elle est définie par :

Comment calculer la fonction caractéristique d'une gaussienne?

  • Cette fonction caractéristique , qui se calcule à partir de la densité de probabilité, et caractérise la loi, est donnée par : . Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la densité de probabilité de la loi : on dit que la fonction caractéristique d'une gaussienne est gaussienne .

Qu'est-ce que la renormalisation des vecteurs gaussiens?

  • nest une constante de renormalisation. Les vecteurs Gaussiens sont souvent utilis´es dans les mod`eles statistiques multi-dimensionnels car ils s’av`erent assez faciles a manipuler, notamment graˆce au th´eor`eme de Cochran. Consid´erons par exemple un n-´echantillon X1,...,X

Universit

e de Strasbourg Segolen Geffray

M1 - Magist

eregeray@math.unistra.fr

Statistique -

etudes de casAnnee 2013/2014Feuille d'exercices n2: vecteurs gaussiens

Rappels sur les vecteurs aleatoires:

SiXest un vecteur aleatoire a valeurs dansRpet siYest un vecteur aleatoire deRq, alors la matrice de covariance entreXetYest denie par:

Cov(X;Y) =E(XE[X])(YE[Y])t:

Si l'on noteX=0

B @X (1) X (p)1 C

AetY=0

B @Y (1) Y (q)1 C

A, alors on peut ecrire que

Cov(X;Y) =E2

6 40
B @X (1)E[X(1)]... X (p)E[X(p)]1 C

A:Y(1)E[Y(1)];:::;Y(q)E[Y(q)]3

7 5 de sorte que

Cov(X;Y) =0

B @CovX(1);Y(1):::CovX(1);Y(q)

CovX(p);Y(1):::CovX(p);Y(q)1

C A:

Attention, on n'a plus

Cov(X;Y)ZZ=Cov(Y;X) mais Cov(X;Y) = Cov(Y;X)t

puisque

Cov(Y;X) =E2

6 40
B @Y (1)E[Y(1)]... Y (q)E[Y(q)]1 C

A:X(1)E[X(1)];:::;X(p)E[X(p)]3

7 5 0 B @CovY(1);X(1):::CovY(1);X(p)

CovY(q);X(1):::CovY(q);X(p)1

C A et que l'on a l'egalite terme a terme pour les composantes (qui sont reelles): Cov

X(i);Y(j)=EX(i)EX(i)Y(j)EY(j)= CovY(j);X(i):

La variance ou plut^ot la matrice de variance deXest denie par:

Var(X) = Cov(X;X) =E(XE[X]):(XE[X])t:

C'est une matrice symetrique a coecients reels (donc diagonalisable) semi-denie positive (ce qui signie que toutes ses valeurs propres sont0). 1 Rappelons egalement que siX1etX2sont deux vecteurs aleatoires a valeurs dansRpet siY1 etY2sont deux vecteurs aleatoires deRq, alors Cov(X1+X2;Y1+Y2) = Cov(X1;Y1) + Cov(X1;Y2) + Cov(X2;Y1) + Cov(X2;Y2) et, en particulier, Var(X1+X2) = Var(X1) + Cov(X1;X2) + Cov(X2;X1) + Var(X2):

Exercice 1.

SoitXun vecteur aleatoire a valeurs dansR3de matrice de variance egale a 0 @2 1 0 1 1 0

0 0 11

A :(1) SoitYle vecteur aleatoire a valeurs dansR3deni par Y=0 @X(1) 2X(2)

3X(3)1

A 1. V erierq ue( 1)d enitb ienl am atriced ev arianced 'unv ecteural eatoire. 2. D eterminerl am atriced eco varianceCo v(X;Y). Que remarquez vous? 3.

D eterminerl am atriced ev arianceV ar(X+Y).

Exercice 2.

Parmi les matrices suivantes, lesquelles peuvent^etre la matrice de variance d'un vecteur aleatoire

UdeR2?1 2

2 1 11=2 1=21 11=2 1=2 1 1 1=2 1=2 1 1 0 0 0 1 1 1 1=2 1 1=2 1=3 1

Exercice 3.

SoitXune variable aleatoire gaussienne centree reduite. On pose Y=(

XsijXj<1;

XsijXj 1:

Montrer queYest une variable aleatoire gaussienne mais que le vecteur (X;Y) n'est pas gaussien.

Exercice 4.

Soit (X;Y;Z) un vecteur gaussien dont l'esperance et la variance sont donnees respectivement par0 @7 0 11 A et0 @101 4 1 11 41 21
A 2 Montrer que (X;Y;Z) appartient presque-s^urement a un hyperplan deR3que l'on determinera.

Exercice 5.

Soit (X;Y) un vecteur gaussien centre de matrice de variance l'identite. CalculerE[max(X;Y)].

Exercice 6.

Soit (X;Y) un vecteur gaussien centre de matrice de variance2 1 1 1 1.

Ca lculerE[XjY]. En deduire la loi deE[XjY].

2.

Ca lculerE[XjYX]. En deduire la loi deE[XjYX].

Exercice 7.

Soit (X;Y;Z) un vecteur gaussien centre de matrice de variance0 @1 1 1 1 51 11 21 A 1. Q uelleest l al oid ec hacuned esv ariablesal eatoiresX,YetZ? 2.

Mo ntrerq ue( XY;Y+Z) est un vecteur gaussien.

3.

D eterminerl al oid eU=X+Y+Z.

4.

Q uelleest l al oid uv ecteur( Z;X;Y)?

5. D eterminerl 'ensembled esv ariablesa;b;c=aX+bY+cZindependantes deU.

Exercice 8.

Soit (X;Y;Z) un vecteur gaussien dont l'esperance et la variance sont donnees respectivement par0 @4 1 31
A et0 @4 2 2 2 3 0

2 0 21

A 1.

D onnerl al oim arginaled eX.

2.

D onnerl al oid eXsachantZet celle deYsachantX.

3.

Ca lculerE[YjX;Z].

4. Est -ceq ueYetZsont independants conditionnellement aX? 5.

Ca lculerE[XYjZ].

6.

D onnerl al oid eYsachant (X;Z)t.

7.

D onnerl al oid eXsachant 2Y+Z.

8.

D onnerl al oid e( X;Y) sachantX+Z.

9. Ces l oisso nt-ellesa bsolumentcon tinuesp arra pport al am esured eLe besgue?S io ui, donner leur densite. 3

Exercice 9.

SoientU1,U2etU3des variables aleatoires independantes normales centrees et reduites. 1.

Q uelleest l al oid uv ecteur

0 @U 12U2 U

1+U2+U3

U 2U31 A 2.

Q uelleest l al oid el av ariableX=13

(U1+U2+U3)2+12 (U2U3)2? 3. Q uelleest l al oid el av ariableY=(U1+U2+U3)2(U2U3)2? 4. Q uelleest l al oid el av ariableZ=U1+U2+U3jU2U3j? 4quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
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