[PDF] TD 2 : Vecteurs gaussiens construction du mouvement brownien





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PC 5 – Calcul de lois & Vecteurs gaussiens

20-May-2019 Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes gaussiennes centrées réduites. 1. Déterminer la loi de. (. X ...



Leçon 14 Exercices corrigés

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TD no 8 : Vecteurs gaussiens

2. Montrer que (X +Y2X ?Y )t est un couple gaussien. Déterminer sa matrice de covariance. Exercice 3.



TD 2 : Vecteurs gaussiens construction du mouvement brownien

Expliquer comment simuler un vecteur gaussien centré de matrice de covariance K à partir de variables gaussiennes indépendantes. Solution de l'exercice 2 Soit d 



T. D. n 3 Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois

Exercice 1. Densité d'un vecteur gaussien. Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ. Nous.



TD1 : Variables aléatoires réelles vecteurs aléatoires

Exercice 12 (Extrait du partiel de novembre 2016) Montrer que (U X ?Y ) est un vecteur gaussien dont on précisera l'espérance et la matrice de ...



CC - Correction 1 Vecteurs gaussiens 2 Convergence de suites de

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TD 3 - Vecteurs Gaussiens I. 2018 - 19 lerouvillois@math.univ-lyon1.fr poudevigne@math.univ-lyon1.fr. Exercice 1. Soit (X1X2) un vecteur gaussien centré de 



TD - Vecteurs Gaussiens

Montrer que (UV) est un vecteur gaussien et calculer sa covariance. . On pose. W = (X ? U) + (Y ? U) . Exercice . Densité des vecteurs gaussiens.



PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens - univ-toulousefr

PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soient X et Y deux variables al eatoires ind ependantes gaussiennes centr ees r eduites 1 D eterminer la loi de Xp+Y 2;Xp Y 2 2 D eterminer la loi de X=Y Solution Comme Xet Y sont ind ependantes la loi de (X;Y) a une densit e 1 2? e x 2+y2 2 sur R2 Soit g: R2!R une fonction continue



Fiche 4 Vecteurs gaussiens

Fiche 4 Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soit Xet Y deux ariablesv aléatoires i i d de loi N(0;1) 1 On pose U= X+Y 2 et V = X Y 2 Montrer que (U;V) est un vecteur gaussien et déterminer sa loi 2 On pose W= 1 2 (X U)2 + 2 (Y U)2 montrer que Uet Wsont indépendantes et déterminer la loi de W Exercice 2



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vecteur gaussien standard et Aune matrice racine carrée de Alors les vecteurs X et m+ AZontmêmeloi Démonstration Ilsu?td’utiliserlerésultatprécédentetdevéri?erquepourlesdeuxvecteurson obtientlamêmefonctioncaractéristique Proposition9 Toutematricesymétriquesemi-dé?niepositive dedimensiond destlamatrice



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8 Chapitre I Vecteurs aléatoires gaussiens Démonstration Lapremièreéquivalenceprovientdeladé?nitiond’unvecteuraléatoiregaussien etdecelledelafonctioncaractéristiqued’unevariablealéatoiregaussienneréelle Pourl’équivalenceentre 1 et3 celaprovientsimplementduthéorème 3 etdespropriétésdesmatricessymétriquessemi-dé?nies





Chapitre 14 Vecteurs gaussiens - Centrale Marseille

Chapitre 14 Vecteurs gaussiens Renaud Bourl es - Ecole Centrale Marseille Math ematiques pour la nance



T D no 3 Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois

Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois conditionnelles Exercice 1 Densit´e d’un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d’esp´erance µ Nous supposons que C = ADAt ou` D est diagonale et A orthogonale Nops consid´erons le vecteur al´eatoire Y = At(X ?µ) 1 Montrer que Y est un vecteur



Exercices Rappels vecteurs gaussiens

Exercices Rappels vecteurs gaussiens Exercice 1 On donne les poids à la naissance (en kg) de 10 enfants : 3:2;2:4;3:3;3:4;3:9;2:9;3:3;4:5;1:9;3:3: 1 Calculer le poids moyen puis l'écart-type du poids des enfants 2 On a demandé aux mères si elles aaienvt traaillév au cours de leur grossesse : cinq ont tra-



PROBABILITÉS Exercices Vecteurs Gaussiens 2M R h y 2M

Exercices Vecteurs Gaussiens Soit = ( 1;:::; n) 2M 1;n(R) unvecteurligneet 2M n(R) unematricesymétrique dé?niepositive(i) OnditqueY = (Y 1;:::;Y n) estunvecteur gaussien demoyennes et matricedecovariance s’iladmetladensité f Y(y 1;:::;y n) = 1 p (2?)ndet() exp h T 1 2 (y ) 1(y ) i; ouonécrity = (y 1;:::;y n) 2M 1;n



VECTEURS GAUSSIENS - univ-rennes1fr

Application : simulation de vecteurs gaussiens Il est facile de simuler un vecteur gaussien de matrice de variance diagonalecarles composantessontalorsdes v a r indépendantes deloisgaussiennes Supposonsdonc que l’onaitàsimuleruneréalisationd’unvecteurgaussien X?N n(m;) IlexisteunematriceorthogonaleP telleque = P Pt(?) où = diag( 1



TD no 8 : Vecteurs gaussiens - CNRS

TD no 8 : Vecteurs gaussiens Exercice 1 SoientXetY deuxvar iid suivantchacuneloinormaleN(0;1) OnposeU= X+Y etV = X Y 1 Montrerque(U;V)t estuncouplegaussien 2 MontrerqueUetV sontindépendantes Exercice 2 Soit(X;Y)t uncouplegaussiencentrételqueE(X2) = 4 etE(Y2) = 1etlesvar 2X+Y etX 3Y sontindépendantes 1



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TD9 - Vecteurs Gaussiens - Correction Exercice 7 6 En utilisant la question précédente et en se rappelant que la loi géométrique G„p”est d’espérance 1 p et

Quelle est la variance d’un vecteur gaussien ?

  • Esperance et Variance d’un vecteur gaussien. Rappelons qu’une variable gaussienne (normale) ;?est caracterisee par deux parametres : la moyenne et l’ecart-type ?(ou la variance ?2). De maniere analogue, un vecteur gaussien est caracterise pas le vecteur E(X) et la matrice de variance-covariance : 0 B B B B B B @ Var(X. 1) Cov(X. 1;X.

Quels sont les 3 entiers de Gauss ?

  • Trois entiers de Gauss : 1 + i, 2 + i et 1 + 3i. Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss possèdent une norme. Si N est cette norme, elle est définie par :

Comment calculer la fonction caractéristique d'une gaussienne?

  • Cette fonction caractéristique , qui se calcule à partir de la densité de probabilité, et caractérise la loi, est donnée par : . Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la densité de probabilité de la loi : on dit que la fonction caractéristique d'une gaussienne est gaussienne .

Qu'est-ce que la renormalisation des vecteurs gaussiens?

  • nest une constante de renormalisation. Les vecteurs Gaussiens sont souvent utilis´es dans les mod`eles statistiques multi-dimensionnels car ils s’av`erent assez faciles a manipuler, notamment graˆce au th´eor`eme de Cochran. Consid´erons par exemple un n-´echantillon X1,...,X

Processus aléatoiresThomas Budzinski

ENS Paris, 2018-2019 Bureau V2

thomas.budzinski@ens.fr TD 2 : Vecteurs gaussiens, construction du mouvement brownien

Corrigé

Mercredi 19 Septembre

1 Vecteurs gaussiens

Exercice 1SoientX,Yet"trois variables aléatoires indépendantes avecXetYgaussiennes de loi

N(0;1)etP("=1) =P("= 1) =12

. Lesquels des vecteurs suivants sont gaussiens ?

1.(X;")

2.(X;Y)

3.(X;"X)

4.(X;"Y)5.("jXj;"jYj)

6.(X;X+Y)

7.(X;X+"Y)

8.(X;"X+Y)

Solution de l"exercice 1Les vecteurs 2, 4, 6 et 7 sont gaussiens. Les vecteurs 2 et 4 le sont car ils ont

leurs deux coordonnées indépendantes de loiN(0;1). Les vecteurs 6 et 7 le sont car ils sont les images

respectivement des vecteurs 2 et 4 par une application linéaire.

Le vecteur 1 n"est pas gaussien car sa seconde coordonnée ne l"est pas. Le vecteur 3 ne l"est pas car

P(X+"X= 0) =12

donc la somme de ses deux coordonnées n"est pas gaussienne. Pour montrer que

le vecteur 8 ne l"est pas, on peut par exemple calculer la fonction caractéristique de la somme de ses

coordonnées : Eh eiu((1+")X+Y)i =12

1 +eu2eu2=2p2:

Pour montrer que le vecteur 5 ne l"est pas, on peut soit calculer aussi sa fonction caractéristique, soit

remarquer que("jXj;"jYj)a une densité strictement positive surR+R+mais une probabilité nulle d"être dansRR+. Exercice 2SoitKune matrice symétrique positive. Expliquer comment simuler un vecteur gaussien centré de matrice de covarianceKà partir de variables gaussiennes indépendantes. Solution de l"exercice 2Soitdla taille de la matriceKet soitZ= (Z1;:::;Zd), où lesZisont i.i.d.

de loiN(0;1). Notons queZest un vecteur gaussien de matrice de covariance identité. On cherche à

construire notre vecteur de manière linéaire à partir deZ. Plus précisément, soitA= (ai;j)1i;jdune

matriceddet soitX=AZ. Notons que toute combinaison linéaire des coordonnées deXest une combinaison linéaire des coordonnées deZ, donc est gaussienne, doncXest un vecteur gaussien. 1

De plus, pour tous1i;jd, on a

E[XiXj] =E" X

ka i;kZk! X `a j;`Z`!# X k;`a i;kaj;`E[ZkZ`] X k;`a i;kaj;`?k=` X ka i;kaj;k; donc la matrice de covariance deXestAtA. Il nous suffit donc de trouverAtelle queAtA=K. Or, commeKest symétrique positive, il existe une matrice orthogonaleQtelle queK=tQDQ, oùDest

une matrice diagonale de coefficients diagonauxd1;:::;dn0. On peut alors prendreA=tQpDQ, oùpDest la matrice diagonale de coefficients diagonauxpd

1;:::;pd

n. Exercice 3Soitune variable aléatoire gaussienne de loiN(0;1)etx >0. 1.

Mon trerque

1p2 1x 1x

3ex2=2P( > x)1p21x

ex2=2. 2.

Mon trerque P( > x)ex2=2.

Solution de l"exercice 31.On calcule la dériv éedu mem brede droite : ddx 1p21x ex2=2 =1p21x

21 +x2ex2=2

1p2ex2=2

et, commeP( > x) =R1 xet2=2dt, on obtient la borne supérieure en intégrant entrexet+1. De même, la dérivée du membre de gauche est ddx 1p2 1x 1x 3 e x2=2 =1p2 13x 4 e x2=2

1p2ex2=2

et on obtient la borne inférieure en intégrant entrexet+1. 2.

Si on p osef(x) =ex2=2P( > x)alorsf0(x) =

1p2x e x2=2doncfest croissante surh

0;1p2i

et décroissante surh

1p2;+1h

. Comme on a aussif(0) = 0etlimx!+1f(x) = 0on en déduit quefest positive surR+. Exercice 4Soit(n)une suite de variables gaussiennes surRqui converge en loi vers une variable aléatoireX. Montrer queXest gaussienne.

Solution de l"exercice 4On passe par la fonction caractéristique : pour toutn, on notenl"espérance et

2nla variance den. Pour toutu2Ron a'n(u) = exp

i nu2 nu22 !'X(u). En prenantu= 1 et en considérant le module, on obtient queexp 2 n2 converge donc2nconverge vers2. 2 On en déduit queeinuconverge pour toutudoncnconverge vers2R(c"est le théorème de Lévy pour des variables déterministes), donc'n(u)!exp iu2u22 doncXest bien gaussienne (éventuellement de variance nulle). Exercice 5Construire des variablesX,YetZtelles que les vecteurs(X;Y),(Y;Z)et(Z;X)soient gaussiens mais pas le vecteur(X;Y;Z). Solution de l"exercice 5Prendre par exemple(X;Y;Z) = ("1j1j;"2j2j;"1"2j3j)avec"1,"2,1,2et3 indépendantes, lesigaussiennes de loiN(0;1)et les"iuniformes surf1;1g. Il est facile de vérifier queX,YetZont pour loiN(0;1)et que deux d"entre elles sont toujours

indépendantes. En particulier, deux d"entre elles forment toujours un vecteur gaussien. En revanche, si

(X;Y;Z)était un vecteur gaussien, alorsX,YetZseraient indépendantes, ce qui est faux, par exemple

carP(X >0;Y >0;Z <0) = 0etP(X >0)P(Y >0)P(Z <0) =18 Exercice 6(Formule de Wick) Soit(X1;:::;Xd)un vecteur gaussien centré. Montrer que E dY i=1X i# =X Y fa;bg2E[XaXb]; où la somme se fait sur toutes les partitionsde[[1;d]]en parties de taille2.

Solution de l"exercice 6SoitZun vecteur gaussien de matrice de covariance identité. Alors il existe une

matriceAtelle queXa la même loi queAZ(cf. Exercice 2). La formule qu"on veut montrer peut donc se mettre sous la forme E" dY i=1f i(Z)# =X Y fa;bg2E[fa(Z)fb(Z)];

où lesfisont des formes linéaires surRd. Or, cette dernière formule est linéaire en chacune desfi, donc

il suffit de la prouver dans le cas où chaquefiest de la formez!zj. Autrement dit, il suffit de montrer

que pour tousj1;:::;jk, on a E" dY i=1Z ji# =X Y fa;bg2E[ZjaZjb]:(1) Pour toutj2[[1;d]], on notekjle nombre deitels queji=j. Alors par indépendance desZj, le membre de droite vautdY j=1EZkj;

oùZest une variable gaussienne centrée de variance1. Remarquons tout d"abord que si un deskjest

impair, on aE[Zkj] = 0donc le membre de gauche dans (1) est nul. D"autre part, siest une partition de[[1;d]]en paires, une des paires contient un nombre impair deitel queji=j. Soitfa;bgcette paire. Alorsja6=jb, doncE[ZjaZjb] = 0, donc la contribution deest nulle. Comme c"est vrai pour tout,

le membre de droite est aussi nul. On suppose donc désormais que tous leskjsont pairs, et on écrit

k j= 2`j. Les moments deZse calculent par exemple par intégration par partie, et on obtientEZ2`=(2`)!2 ``!pour tout`2N, donc le membre de gauche de (1) vaut d Y j=1(2`j)!2 `j`j!:

Il reste à étudier le membre de droite de (1). Soitune partition en paires etfa;bg 2. Sija6=jb, alors

Z jaetZjbsont indépendantes doncE[ZjaZjb] = 0et la contribution des"annule. Sija=jbpour tout fa;bg 2, alors la contribution devaut1, donc il suffit de compter le nombre dequi contribuent. Choisir un telrevient, pour toutj, à partitionner en paires lesitels queji=j. Or, le nombre de 3 partitions en paires d"un ensemble à2`éléments vaut(2`1)(2`3) 31 =(2`)!2 ``!, donc le nombre dequi contribuent à la somme vaut d Y j=1(2`j)!2 `j`j!; d"où (1), d"où le résultat.

2 Comment identifier la loi d"un processus ?

SoitT >0. On munit l"espaceC([0;T])des fonctions continues de[0;T]dansRde la norme infinie, et de

la tribu borélienneB(C([0;T]))associée à cette norme. On rappelle (TD de la semaine dernière, exercice

1) que la tribu borélienne est aussi la plus petite tribu surC([0;T])qui rend mesurables les projections

x!xtpour toutt2[0;T]. Exercice 7SoientXetYdeux variables aléatoires à valeurs dans l"espaceC([0;T]). On suppose que pour toutk1et toust1;:::;tk2[0;T], les vecteurs (Xt1;Xt2;:::;Xtk)et(Yt1;Yt2;:::;Ytk) ont la même loi. Montrer queXetYont la même loi. Solution de l"exercice 7C"est une conséquence du rappel ci-dessus et du lemme de classe monotone.

D"après le rappel, la tribuC([0;T])est engendrée par les événements de la formefXt2Agavect2[0;T]

etA2 B(R), donc par les événements de la forme fXt12A1;Xt22A2;:::;Xtk2Akg(2) avect1;:::;tk2[0;T]etA1;:::;Ak2 B(R). De plus, les événements de la forme (2) sont stables

par intersections finies. D"après le lemme de classe monotone, la classe monotone qu"ils engendrent est

doncB(C([0;T])). Or, l"ensemble desA2 B(C([0;T]))tels queP(X2A) =P(Y2A)est une classe

monotone (c"est une vérification facile), qui contient lesAde la forme (2) d"après l"hypothèse de l"énoncé.

On a doncP(X2A) =P(Y2A)pour toutA2 B(C([0;T])), doncXetYont la même loi. Exercice 8En déduire que siXvérifie les trois conditions suivantes: (i) p ourtous t1;:::;tk0le vecteur(Xt1;:::;Xtk)est un vecteur gaussien, (ii) p ourtout t0on aE[Xt] = 0, (iii) p ourtous s;t0on aE[XsXt] = min(s;t), alorsXa la loi d"un mouvement brownien.

Solution de l"exercice 8SoitBun mouvement brownien ett1;:::;tk2[0;T]: d"après l"exercice précé-

dent, il suffit de vérifier que(Xt1;:::;Xtk)a la même loi que(Bt1;:::;Btk). Or, les deux sont des vecteurs

gaussiens d"après l"hypothèse (i) et on sait que la loi d"un vecteur gaussien est entièrement déterminée

par son espérance et par sa matrice de covariance. Or, d"après l"hypothèse (ii) on aE[Xti] =E[Bti] = 0

pour touti, et d"après l"hypothèse (iii) on aEXtiXtj=EBtiBtj= min(ti;tj)pour tousietj, donc on peut conclure.

RemarqueDans la suite, on pourra admettre que les exercices 7 et 8 restent vrais en remplaçantC([0;T])

par l"espace des fonctions continues de[0;T]dansRd, ou par l"espace des fonctions continues deR+dans R

d(muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact et de la tribu borélienne associée).

Ce n"est pas un résultat difficile, il suffit d"adapter l"exercice 1 du TD1 à ces cas. 4

3 Plein de mouvements browniens !

Exercice 9SoitBun mouvement brownien eta >0. Montrer que les processus suivants sont des mouvements browniens : X= 1pa Bat t0,

Y=tB1=t

t0, Z= B tRt 0B ss ds t0.

Solution de l"exercice 9Il est facile de vérifier que les deux premiers processus sont gaussiens et centrés.

Il suffit donc de vérifier les covariances :

E[XsXt] =1a

min(as;at) = min(s;t)doncXest bien un mouvement brownien

E[YsYt] =stmin1s

;1t = min(s;t)doncYest bien un mouvement brownien Pour le troisième, on commence par vérifier que l"intégrale converge. On a E Zt

0jBsjs

ds =Z t 01s

E[jBsj]ds=Z

t

0E[jB1j]ps

ds <+1 donc Rt

0jBsjs

ds <+1p.s. doncZest bien défini p.s. De plus, soientt1;:::;tk2R+et1;:::;k2R. En

écrivant l"intégraleRt

0B ss dscomme limite de sommes de Riemann, on voit que1Zt1++kZtkest une

limite p.s. de combinaisons linéaires de valeur deB, donc une limite p.s. de variables gaussiennes, donc

une limite en loi de variables gaussiennes. Or, une limite en loi de variables gaussiennes est gaussienne

(exercice 4), donc1Zt1++kZtkest gaussienne. Le processusZest donc gaussien et il est facile de

vérifier qu"il est centré. Il n"y a donc plus qu"à calculer les covariances. En supposantston a :

E[ZsZt] = min(s;t)Z

s

0min(t;u)u

duZ t

0min(s;u)u

du+Z s 0Z t

0min(u;r)ur

dudr =ssZ s

0min(s;u)u

duZ t smin(s;u)u du+Z s 0Z s

0min(u;r)ur

dudr+Z s 0Z t smin(u;r)ur dudr =sslnts + 2Z

0urs1r

dudr+Z s 0Z t s1u dudr =sslnts + 2Z s 0rr dr+slnts =s+ 2s=s:

Exercice 10(Mouvement brownien surR+) Soit

(Bnt)t2[0;1] n0une suite de mouvements browniens sur[0;1]indépendants. Pour toutt2R+, on pose 0

Bt=btc1X

n=0B n11 A +Bbtc tbtc:

Vérifier que pour touss;t2R, on a bien

E[BsBt] = min(s;t):

5

Solution de l"exercice 10En développantBsBtet en intervertissant somme et espérance, on obtient

E[BsBt] =bsc1X

m=0btc1X n=0E[Bm1Bn1] +bsc1X m=0Eh

Bm1Bbtc

tbtci +btc1X n=0Eh Bbsc sbscBn1i +Eh Bbsc sbscBbtc tbtci bmin(s;t)c1X n=0E[(Bn12+?btcbsc1Eh Bbtc 1Bbtc tbtciquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
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