[PDF] CC - Correction 1 Vecteurs gaussiens 2 Convergence de suites de





Previous PDF Next PDF



PC 5 – Calcul de lois & Vecteurs gaussiens

20-May-2019 Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes gaussiennes centrées réduites. 1. Déterminer la loi de. (. X ...



Leçon 14 Exercices corrigés

L'objet de l'exercice est d'obtenir un bon encadrement de la Exercice 2. Montrer qu'il existe un vecteur gaussien centré X à valeurs.



TD no 8 : Vecteurs gaussiens

2. Montrer que (X +Y2X ?Y )t est un couple gaussien. Déterminer sa matrice de covariance. Exercice 3.



TD 2 : Vecteurs gaussiens construction du mouvement brownien

Expliquer comment simuler un vecteur gaussien centré de matrice de covariance K à partir de variables gaussiennes indépendantes. Solution de l'exercice 2 Soit d 



T. D. n 3 Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois

Exercice 1. Densité d'un vecteur gaussien. Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ. Nous.



TD1 : Variables aléatoires réelles vecteurs aléatoires

Exercice 12 (Extrait du partiel de novembre 2016) Montrer que (U X ?Y ) est un vecteur gaussien dont on précisera l'espérance et la matrice de ...



CC - Correction 1 Vecteurs gaussiens 2 Convergence de suites de

1 Vecteurs gaussiens. Exercice 1. 1. Une matrice est une matrice de covariance si et seulement si elle est sy- métrique et semi-définie positive.





TD 3 - Vecteurs Gaussiens I

TD 3 - Vecteurs Gaussiens I. 2018 - 19 lerouvillois@math.univ-lyon1.fr poudevigne@math.univ-lyon1.fr. Exercice 1. Soit (X1X2) un vecteur gaussien centré de 



TD - Vecteurs Gaussiens

Montrer que (UV) est un vecteur gaussien et calculer sa covariance. . On pose. W = (X ? U) + (Y ? U) . Exercice . Densité des vecteurs gaussiens.



PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens - univ-toulousefr

PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soient X et Y deux variables al eatoires ind ependantes gaussiennes centr ees r eduites 1 D eterminer la loi de Xp+Y 2;Xp Y 2 2 D eterminer la loi de X=Y Solution Comme Xet Y sont ind ependantes la loi de (X;Y) a une densit e 1 2? e x 2+y2 2 sur R2 Soit g: R2!R une fonction continue



Fiche 4 Vecteurs gaussiens

Fiche 4 Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soit Xet Y deux ariablesv aléatoires i i d de loi N(0;1) 1 On pose U= X+Y 2 et V = X Y 2 Montrer que (U;V) est un vecteur gaussien et déterminer sa loi 2 On pose W= 1 2 (X U)2 + 2 (Y U)2 montrer que Uet Wsont indépendantes et déterminer la loi de W Exercice 2



VECTEURS GAUSSIENS - u-bordeauxfr

vecteur gaussien standard et Aune matrice racine carrée de Alors les vecteurs X et m+ AZontmêmeloi Démonstration Ilsu?td’utiliserlerésultatprécédentetdevéri?erquepourlesdeuxvecteurson obtientlamêmefonctioncaractéristique Proposition9 Toutematricesymétriquesemi-dé?niepositive dedimensiond destlamatrice



VECTEURS GAUSSIENS - u-bordeauxfr

8 Chapitre I Vecteurs aléatoires gaussiens Démonstration Lapremièreéquivalenceprovientdeladé?nitiond’unvecteuraléatoiregaussien etdecelledelafonctioncaractéristiqued’unevariablealéatoiregaussienneréelle Pourl’équivalenceentre 1 et3 celaprovientsimplementduthéorème 3 etdespropriétésdesmatricessymétriquessemi-dé?nies





Chapitre 14 Vecteurs gaussiens - Centrale Marseille

Chapitre 14 Vecteurs gaussiens Renaud Bourl es - Ecole Centrale Marseille Math ematiques pour la nance



T D no 3 Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois

Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois conditionnelles Exercice 1 Densit´e d’un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d’esp´erance µ Nous supposons que C = ADAt ou` D est diagonale et A orthogonale Nops consid´erons le vecteur al´eatoire Y = At(X ?µ) 1 Montrer que Y est un vecteur



Exercices Rappels vecteurs gaussiens

Exercices Rappels vecteurs gaussiens Exercice 1 On donne les poids à la naissance (en kg) de 10 enfants : 3:2;2:4;3:3;3:4;3:9;2:9;3:3;4:5;1:9;3:3: 1 Calculer le poids moyen puis l'écart-type du poids des enfants 2 On a demandé aux mères si elles aaienvt traaillév au cours de leur grossesse : cinq ont tra-



PROBABILITÉS Exercices Vecteurs Gaussiens 2M R h y 2M

Exercices Vecteurs Gaussiens Soit = ( 1;:::; n) 2M 1;n(R) unvecteurligneet 2M n(R) unematricesymétrique dé?niepositive(i) OnditqueY = (Y 1;:::;Y n) estunvecteur gaussien demoyennes et matricedecovariance s’iladmetladensité f Y(y 1;:::;y n) = 1 p (2?)ndet() exp h T 1 2 (y ) 1(y ) i; ouonécrity = (y 1;:::;y n) 2M 1;n



VECTEURS GAUSSIENS - univ-rennes1fr

Application : simulation de vecteurs gaussiens Il est facile de simuler un vecteur gaussien de matrice de variance diagonalecarles composantessontalorsdes v a r indépendantes deloisgaussiennes Supposonsdonc que l’onaitàsimuleruneréalisationd’unvecteurgaussien X?N n(m;) IlexisteunematriceorthogonaleP telleque = P Pt(?) où = diag( 1



TD no 8 : Vecteurs gaussiens - CNRS

TD no 8 : Vecteurs gaussiens Exercice 1 SoientXetY deuxvar iid suivantchacuneloinormaleN(0;1) OnposeU= X+Y etV = X Y 1 Montrerque(U;V)t estuncouplegaussien 2 MontrerqueUetV sontindépendantes Exercice 2 Soit(X;Y)t uncouplegaussiencentrételqueE(X2) = 4 etE(Y2) = 1etlesvar 2X+Y etX 3Y sontindépendantes 1



Searches related to exercices vecteurs gaussiens filetype:pdf

TD9 - Vecteurs Gaussiens - Correction Exercice 7 6 En utilisant la question précédente et en se rappelant que la loi géométrique G„p”est d’espérance 1 p et

Quelle est la variance d’un vecteur gaussien ?

  • Esperance et Variance d’un vecteur gaussien. Rappelons qu’une variable gaussienne (normale) ;?est caracterisee par deux parametres : la moyenne et l’ecart-type ?(ou la variance ?2). De maniere analogue, un vecteur gaussien est caracterise pas le vecteur E(X) et la matrice de variance-covariance : 0 B B B B B B @ Var(X. 1) Cov(X. 1;X.

Quels sont les 3 entiers de Gauss ?

  • Trois entiers de Gauss : 1 + i, 2 + i et 1 + 3i. Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss possèdent une norme. Si N est cette norme, elle est définie par :

Comment calculer la fonction caractéristique d'une gaussienne?

  • Cette fonction caractéristique , qui se calcule à partir de la densité de probabilité, et caractérise la loi, est donnée par : . Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la densité de probabilité de la loi : on dit que la fonction caractéristique d'une gaussienne est gaussienne .

Qu'est-ce que la renormalisation des vecteurs gaussiens?

  • nest une constante de renormalisation. Les vecteurs Gaussiens sont souvent utilis´es dans les mod`eles statistiques multi-dimensionnels car ils s’av`erent assez faciles a manipuler, notamment graˆce au th´eor`eme de Cochran. Consid´erons par exemple un n-´echantillon X1,...,X

ISFA Lyon

L3 Actuariat

Probabilités AvancéesCC - Correction2018 - 19 lerouvillois@math.univ-lyon1.fr poudevigne@math.univ-lyon1.fr1 Vecteurs gaussiens

Exercice 1

1. Une matrice est une matrice de covariance si et seulement si elle est sy-

métrique et semi-définie positive. On a que t = donc la matrice est symétrique. Pour montrer qu"elle est semi-définie positive, on va calculer les mineurs principaux.

4= 4;42

2 2 = 4et 42 0
2 2 1 0 1 2 = 4: Tous les mineurs sont strictement positifs donc la matriceest définie posi- tive, en particulier elle est semi-définie positive, de plus elle est symétrique, on en déduit que c"est une matrice de covariance.

2. Un vecteur aléatoire est un vecteur gaussien si et seulement si toute com-

binaison linéaire de ce vecteur suit une loi normale. Soit1;22Rdeux réels. On a :

1Y1+2Y2=1(2X1+ 2X2) +2(X12X3)

=(21+2)X1+ 21X222X3: Toute combinaison linéaire deYest donc une combinaison linéaire deXor Xest un vecteur gaussien donc toute combinaison linéaire deXsuit une loi normale. On en conclut que toute combinaison linéaire deYsuit une loi normale doncYest un vecteur gaussien.

3. Pour les variances, on a :

Var(Y1) =Var(2X1+ 2X2) = 4Var(X1) + 8Cov(X1;X2) + 4Var(X2) = 8; Var(Y2) =Var(X12X3) =Var(X1)4Cov(X1;X3) + 4Var(X3) = 12:Pour la covariance, on a :

Cov(Y1;Y2) =Cov(2X1+ 2X2;X12X3)

=2Var(X1)4Cov(X1;X3) + 2Cov(X2;X1)4Cov(X2;X3) =0: On a donc que la matrice de covariance0deYest donnée par : 0=8 0 0 12

4. Le vecteur aléatoire(Y1;Y2)est une vecteur aléatoire et Cov(Y1;Y2) = 0

doncY1etY2sont indépendants.

5. Le vecteur gaussienXest centré donc le vecteur gaussienYest également

centré. Le vecteur aléatoireYest un vecteur gaussien centré de matrice de covariance0donc sa fonction caractéristique'Y:R27!Cest donné par :

Y(u1;u2) =e

12 u1u20 @8 0 0 121 A0 @u1 u 21
A =e12 (8u21+12u22) =e4u216u22

2 Convergence de suites de variables aléatoires

Exercice 2 (Minimum d"exponentielles)

1. Soitn2Netx2R. SoitFnla fonction de répartition deYn, on a :

F n(x) =P(Ynx) = 1P(Yn> x) = 1P(X1> x;:::;Xn> x):

Les(Xi)i2Nétant iid, on a :

1P(X1> x;:::;Xn> x) = 1P(X1> x)n:

1

Six <0,P(X1> x) = 1et doncFn(x) = 0.

Six0, on a :

P(X1> x) =+1Z

t=xe tdt=ex: On trouve alorsFn(x) = 1(ex)n= 1enx:On a donc que la fonction de répartition deYnest donnée par : F n(x) =1enx1[0;1[(x): On reconnaît la fonction de répartition d"une exponentielle de paramètren.

2. Les variables aléatoires(Xi)i2Nsont positives donc les variables aléatoires

(Yi)i2Nsont aussi positives. On en déduit que pour tout" >0:

P(jYnj ) =P(Yn") =en":

Puisque" >0alorsje"j<1donc la série géométrique de terme générale e n"est sommable. On a donc : X n1P(jYnj ") =X n1e n"=e"1e"<1:

Par le lemme de Borel-Cantelli, on en conclut queYnconverge p.s vers 0.Exercice 3 (Convergence d"une suite de variable aléatoire)

1. La fonctionfXndéfinit une densité surRsi et seulement si elle est positive

et d"intégrale 1. La fonction est clairement positive, il reste juste à prouver qu"elle est d"intégrale 1. On a : Z x2Rn(1 +nx)21[0;+1[(x)dx=1 Z x=0n(1 +nx)2=

11 +nx

+1 0 = 1: On en conclut quefXndéfinit bien une densité surR.

2. Les variables aléatoiresXnsont positives, on a donc pour tout" >0:

P(jXn0j> ") =P(Xn> ") =1

Z x="n(1 +nx)2=

11 +nx

+1 =11 +n":

Pour tout" >0, on a que :

11 +n"!0

doncP(jXn0j> ")!0doncXnconverge en probabilité vers 0.

3. Les(Xn)n2Nétant indépendant, on peut appliquer le lemme de Borel-

Cantelli qui nous dit que la suite(Xn)n2Nconverge presque sûrement vers

0 si et seulement si pour tout" >0:

X n1P(jXn0j> ")<1:

On a :

X n1P(jXn0j> ") =X n111 +n": 2

De plus on sait que pour tout" >0,11 +n"1n"

et la série de terme générale 1n" diverge donc X n111 +n"= +1: On en conclut, par le lemme de Borel-Cantelli, que la suite(Xn)n2Nne converge pas presque sûrement vers 0. Exercice 4 (Convergence et marche aléatoire simple)

1. C"est la loi des grands nombres qui donne le résultat pourn= 1. Pour tout

1, pour toutn2N, on a quejSnjn

jSnjn . Par conséquent, si presque sûrement Snn !0alors presque sûrementSnn !0.

2. Soit >12

. On va appliquer l"inégalité de Tchebychev. On a : E Snn =1n

E(Sn) =1n

E nX i=1X i! 1n n X i=1E(Xi) =1n n X i=10 = 0: Pour la variance, on utilise le fait que lesXisont indépendants, on a donc : Var nX i=1X i! =nX i=1Var(Xi) =nX i=1E(X2i)E(Xi)2=nX i=110 =n

On a donc

VarSnn

=1n

2Var(Sn) =nn

2=n12:On peut maintenant appliquer l"inégalité de Tchebychev (ce qui revient à

montrer la convergence dansL2). Pour tout" >0, on a : P S nn 0" =P S nn ESnn

VarSnn

2 n12" 2:

Si >12

alorsn12!0et donc pour tout" >0 P S nn 0" !0 et donc Snn converge en probabilité vers 0.

3. Soit0. On a, pour touti2N:

E(eXi) =P(Xi= 1)e+P(Xi=1)e=12

e+12 e= cosh():

Pour toutn2N, on a :

E eSn =E e nP i=1X i! nY i=1E eXi les(Xi)i2Nétant indépendants nY i=1cosh() =cosh()n: 3

4. (a) Pour toutx0, pour tout >0et pour toutn2N,Snxsi et

seulement siSnxdonc

P(Snx) =P

eSnex

Attention, cet argument est faux pour= 0.

Par l"inégalité de Markov, on a :

P eSnex EeSne x =cosh()nexd"après la question précédente en22 xd"après l"indication.

On a bienP(Snx) =P

eSnex en22 xpour toutx0et pour tout >0. (b) Soitx >0etn2N. Soitfla fonction deR+dansRdéfinie par f:!n22 x:

La fonctionfest dérivable et on a :

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
[PDF] exercices vocabulaire policier

[PDF] exercices word 2007 gratuit pdf

[PDF] exercices word 2010 pdf

[PDF] exercices word 2010 perfectionnement

[PDF] exercices word 2013 pdf

[PDF] exercices word gratuit télécharger

[PDF] exercices+corrigés de prise de notes

[PDF] exigences de la carrière d'un entrepreneur

[PDF] exigences des parties intéressées

[PDF] exigences essentielles dispositifs médicaux

[PDF] exigences ohsas 18001

[PDF] existance ou existence

[PDF] existe t il des formes de conscience commune selon weber

[PDF] existence anglais

[PDF] existence antonyme