[PDF] Leçon 14 Exercices corrigés L'objet de l'exercice

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Leçon 14 Exercices corrigés

(Une étoile * désignera une question de difficulté supérieure.) Exercice 1.L"objet de l"exercice est d"obtenir un bon encadrement de la probabilité de queue d"une variableXde loiN(0;1), à savoir

P(Xt) =1p2Z

[t;1[e12 x2d=1p2Z 1 t e12 x2dx quandt0est grand. a) Démontrer, par une étude de fonction, que pour toutt0,

P(Xt) =1p2Z

1 t e12 x2dx12 e12 t2: b) Par une intégration par parties, établir que sit >0, Z 1 t e12 x2dx=1t e12 t2Z 1 t1x 2e12
x2dx: c) Vérifier de la même façon que sit >0, Z 1 t1x 2e12
x2dx=1t 3e12
t2Z 1 t3x 4e12
x2dx: d) Conclure des questions b) et c) que pour toutt >0, 1t 1t 3

1p2e12

t2P(Xt)1t

1p2e12

t2:

Indication.b) Pourt >0,R1

te12 x2dx=R1 t1x xe12 x2dx, ete12 x2est une primitive dexe12 x2. 1 Exercice 2.Montrer qu"il existe un vecteur gaussien centréXà valeurs dansR3de matrice de covariance 0 @5 0 3 0 6 0

3 0 21

A

CalculerE(hc;Xi2)pour toutc2R3.

Indication.D"après les constructions de la leçon, il suffit de vérifier que la matriceest symétrique et (semi-) définie positive.

Exercice 3.Sur(

;A;P), soitXune variable aléatoire de loi normale N(0;1)et soit", une variable aléatoire indépendante deX, telle que

P("=1) =P("= +1) =12

. Démontrer que"Xsuit la loiN(0;1). Le couple (X;"X)est-il gaussien? Corrigé.Les divers outils décrivant une loi sont à disposition pour vérifier que"Xsuit la loiN(0;1), toutes s"appuyant sur le fait que la densité de la loiN(0;1)est paire, et en conséquence que la loi deXest symétrique (voir Exercice 5, Leçon 9). Par exemple, avec la fonction de répartition, pour tout t2R,

P("Xt) =P("= +1;Xt) +P("=1;Xt):

Par indépendance entre"etX,

P("Xt) =12

P(Xt) +12

P(Xt) =P(Xt)

car

P(Xt) =P(X t) =1p2Z

[t;+1[e12 x2d 1p2Z ]1;t]e12 x2d=P(Xt) 2 après le changement de variablex7! x(il n"est pas inutile non plus de représenter graphiquement ces intégrales). Ainsi"XetXont même fonction de répartition, donc même loi. Si le couple(X;"X)était gaussien, par exemple la combinaison linéaireX+"Xdevrait suivre une loi normale en tant que variable aléatoire réelle. À ce titre,P(X+"X= 0) = 0car les lois gaussiennes ont une densité par rapport à la mesure de Lebesgue surR. Mais

P(X+"X= 0)P("=1) =12

ce qui exprime la contradiction. Exercice 4.SoientXetYdeux variables aléatoires normales centrées réduitesN(0;1)indépendantes. Quelle est la loi du couple(X;Y)? Déterminer la loi de XY Corrigé.Par indépendance, la loi du couple(X;Y)a pour densité 12e12
(x2+y2),(x;y)2R2, par rapport à la mesure de Lebesgue2surR2.

CommeP(Y= 0) = 0, la variable aléatoireXY

est bien définie presque sûre- ment. Si:R!Rest borélienne, positive ou bornée, par le théorème de transport pour la loi du couple(X;Y), E XY =12Z R 2xy e 12 (x2+y2)d2(x;y):

Après le changement de variable(u;v) = (xy

;y)de jacobien1y =1v E XY =12Z R

2(u)e12

(1+u2)v2jvjd2(u;v): (Rigoureusement, le changement de variable prendra place pour(x;y)2RR.)

Comme2=

, en vertu du théorème de Fubini-Tonelli, E XY =12Z R (u) Z R e12 (1+u2)v2jvjd(v) d(u) Z R (u)1(1 +u2)d(u) 3 après une intégration par calcul de primitive en la variablev(séparerv >0et v <0). La loi deXY est donc la loi de Cauchy de densité1(1+u2),u2R, par rapport à la mesure de Lebesgue surR. Exercice 5*.Soit(X;Y)un couple aléatoire de loiN(0;Id)surR2; rap- peler les lois marginales. Démontrer queXYa même loi que12 (X2Y2). (Indication: utiliser la formule de polarisation4XY= (X+Y)2(XY)2.) Corrigé.CommeXetYsont indépendantes de même loiN(0;1),1p2 (X+Y) et 1p2 (XY)sont toutes deux de loiN(0;1)après vérification de leur moyenne et de leur variance. La formule de polarisation indiquée se transcrit sous la forme XY=12 h1p2 (X+Y)i 2h1p2 (XY)i 2 L"affirmation demandée s"ensuivra donc sous réserve de démontrer que 1p2 (X+Y) et 1p2 (XY)sont indépendantes. (Autrement dit, le couple 1p2 (X+Y);1p2 (XY) a même loi que(X;Y).) Il revient au même de démontrer queX+YetXY sont indépendantes. Mais, le couple(X+Y;XY)étant gaussien (toute combinaison linéaire des coordonnées l"est car(X;Y)lui-même est gaussien), il suffit de démontrer queX+YetXYne sont pas corrélées. OrE(X+Y) =

E(XY) = 0et

E (X+Y)(XY)=E(X2)E(Y2) = 0:

Le résultat est établi.

Exercice 6.SoitX= (X1;:::;Xd)un vecteur aléatoire de loi gaussienne standardN(0;Id)surRd; démontrer que la loi deXjXjest invariante par trans- formation orthogonale (pour rappeljXj=Pd k=1X2k 12 ). Quelle est cette loi? 4 Corrigé.Une matriceddorthogonaleOest telle queO>O=>OO= Id; en particulier, pour toutx2Rd,jOxj=jxj. Par suite, pour tout borélienB deRd,

P(OX2B) =P(X2>OB)

1(2)d2

Z OBe12 jxj2d

1(2)d2

Z B e12 jxj2d=P(X2B) où l"avant-dernière égalité résulte du changement de variabley=Oxet de l"invariance par transformation orthogonale de la mesure de Lebesgue. Donc la loi deXest invariante par transformation orthogonale, et commejOXj=jXj, il en va de même de la loi de XjXj. Il est clair que la variable aléatoireXjXjest concentrée sur la sphère unité deRd. Donc sa loi est la mesure uniforme sur celle-ci (décrite dans le Théorème 3, Leçon 4). Exercice 7*.SoitX= (X1;X2;X3;X4)un vecteur gaussien centré de dimension 4; établir l"identité

E(X1X2X3X4) =E(X1X2)E(X3X4) +E(X1X3)E(X2X4)

+E(X1X4)E(X2X3): (Indications: Plusieurs arguments sont possibles. Par exemple, si Y= (Y1;Y2;Y3;Y4)est un vecteur indépendant de même loi queX, un contrôle des covariances assure queX+Ya même loi quep2X. Développer alors l"identité qui en résulte

4E(X1X2X3X4) =E(X1+Y1)(X2+Y2)(X3+Y3)(X4+Y4):

Sinon, siu= (u1;u2;u3;u4)2R4, l"expression de la fonction caractéristique estE(eihu;Xi) =e12 E(hu;Xi2); développer les deux expressions à l"ordre4, et identifier les termes correspondants auxuktous différents.) 5 Exercice 8.Soient0 =t0< t1< t2<< tddes nombres reéls, et soit (X0;X1;:::;Xd)un vecteur aléatoire gaussien centré de matrice de covariance

E(XkX`) = min(tk;t`); k;`= 0;1;:::;d:

(CommeE(X20) = 0, il sera convenu queX0= 0presque sûrement.) Déterminer les lois marginales. PoserYk=XkXk1,k= 1;:::;d. Démontrer que le vecteur aléatoire(Y1;:::;Yd)est de loiN(0;Id)dansRd. Exercice 9.SoientX1;:::;Xndes variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1), et soienta1;:::;an;b1;:::;bndes réels. Démontrer que les va- riables aléatoiresPn k=1akXketPn k=1bkXksont indépendantes si et seulement siPn k=1akbk= 0. Indication.Utiliser l"équivalence entre indépendance et orthogonalité pour des variables gaussiennes. Exercice 10.SoientX= (X1;:::;Xd)etY= (Y1;:::;Yd)deux vecteurs aléatoires gaussiens centrés sur un espace probabilisé( ;A;P), supposés indé- pendants et de même loi. Pour tout réel, soientX() =Xsin() +Ycos() etX0() =Xcos()Ysin(); démontrer que pour tout,X()etX0() sont des vecteurs aléatoires gaussiens indépendants de même loi queX. Corrigé.CommeXetYsont indépendants, le coupleZ= (X;Y)est un vecteur gaussien (centré) deR2d. Pour tout2R, il en va de même du couple Z() = (X();X0())car toute combinaison linéaire des coordonnées deZ() est une combinaison linéaire des coordonnées de(X;Y). Par indépendance, la matrice de covariance deZdansR2dest une matrice à blocs de la forme 0 0 oùest la matrice de covarianceddcommune àXetY(et0la matrice ddnulle). La suite de la démonstration va consister à montrer que, pour 6 tout2R, la matrice de covariance deZ()est la même que celle-ci, ce qui démontrera à la fois l"indépendance deX()etX0()et le fait qu"ils ont tous deux même loi queXetY. Par centrage, il revient à examinerE(Z()kZ()`) pourk;`= 1;:::;2d. Trois cas sont à étudier. Pourk;`= 1;:::;d, E

Z()kZ()`=EX()kX()`

=EXksin() +Ykcos()X`sin() +Y`cos() = sin

2()E(XkX`) + cos2()E(YkY`)

où il a été utilisé que, par indépendance deXetY,E(XkY`) = 0etE(X`Yk) = 0. CommeXetYont la même loi, il s"ensuit queE(Z()kZ()`) = k;`pour tous k;`= 1;:::;d. Un raisonnement similaire indique queE(Z()d+kZ()d+`) = k;` pour tousk;`= 1;:::;d. En revanche, pourk;`= 1;:::;d, E

Z()kZ()d+`=EX()kX0()`

=E[Xksin() +Ykcos()][X`cos()Y`sin()] = sin()cos()E(XkX`)E(YkY`) qui est toujours nul carXetYsont de même loi. ll en va de même pour E(Z()d+kZ()`). AinsiZ()a même matrice de covariance queZ, ce qui conclut la démonstration. 7quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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