Exercices sur les fonctions homographiques EXERCICE 1 Soit f la
(b) Déterminer le sens de variation de f sur les intervalles ] ? ?; ?2[ et sur ] ? 2; +?[. 5. Résoudre l'équation f(x)=5x + 1. 6. h est la fonction
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Retrouver le résultat par le calcul. EXERCICE 6. ? Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;1[?]1;
Fonctions homographiques
7 jan. 2014 Étudier les variations de la fonction f et donner son tableau de variation. EXERCICE 10. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]?2;+?[ ...
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1°S-STI2D - ES. Fiche 3: Fonctions homographiques. Exercice 1 : Étudier une fonction homographique x+4. On considère la fonction f : X.
Fonctions inverse & homographiques
Exercice n°5. 1. Considérons la fonction f définie par : f(x) = x + 4. a) Construire le tableau de signe puis le tableau de variation de f sur R.
Chapitre n°11 : Étude de fonctions polynômes et homographiques
est une fonction homographique : 1. Donnez les valeurs de a b
FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES
26 jui. 2015 4.2 Représentation graphique d'une fonction homographique . . . . . . . . . . . . . . 8. 5 Les exercices. 9. 6 Les exercices corrigés.
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il y a 8 jours hyperboliques Fonctions homographiques Exercice 1 fonction de référence 2éme science exercice corrigé Conique parabole.
Exercices sur les fonctions homographiques
3) calculer les variations de f puis présenter son tableau de variation. 4) Soit la droite d'équation y = – 2. •. Calculer le signe de f(x) + 2.
(Corrigé fonctions trinômes et homographiques)
Exercices fonctions trinômes fonctions homographiques. Exercice 1. Tableau de variations des fonctions f et g sur R par f(x) =.
Exercices sur les fonctions homographiques
Exercices sur les fonctions homographiques 1) Quels sont les ensembles de définitions des expressions suivantes : f(x) = 2x + 3 x + 3 g(x) = 5 x – 1 – 4 h(x) = 1 –x 3x + 7 2) Résoudre les inéquations suivantes : x + 5 1 – x > 0 2x – 1 x + 2 ? 3 3) Etude de fonction Exemple 1 Soit la fonction f définie par f(x) = x – 6 x – 2
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles Fiche exercices EXERCICE 1 Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0; ?[ par f x =? 3 2x Dresser le tableau de variations de f Étudier les variations de la fonction g définie sur ]??;1[?]1; ?[ par g x = 1 x?1
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Suites r ?ecurrentes homographiques 3x + 2 Soit I l'intervalle [0;1] On considere la fonction f d ? e nie sur I par f (x) := 1 Etudiez les variations de f et en d ? eduire que pour tout x el ? ? ement de I f (x) appartient a I 2 On considere la suite (un) d ? e nie par 3un + 2 u0 = 0 et un+1 :=
1/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
Chapitre n°11 : Étude de fonctions polynômes et homographiquesObjectifs.
a) Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leur courbe. b) Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction homographique.Cours n°1
Chapitre n°11 : Étude de fonctions polynômes et homographiquesI) Forme canonique
Pour information :
. Un polynôme est une expression de la forme a0 + a1 x + a2x2 + a3x3 +... . Le " degré » d'un polynôme est le nombre qui correspond à la plus grande puissance de x (exemple : 3 + 2 x + 5x2 + 7x3 est de degré 3) Définition n°1 : fonction polynôme de degré 2Soit a,b,c trois nombres réels avec a≠0
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction p définie sur Rpouvant être exprimée sous la forme : p(x)=...........................................................
On parle aussi (plus rarement) de fonction trinôme.Exemple n°1
Parmi les fonctions suivantes, indiquez lesquelles sont des fonctions polynômes de degré 2 : g(x)=2x²+5x+4 .......................... m(x)=4x+45x+4..........................
j(x)=2x+5 .......................... f(x)=3x²+2x+5 .......................... k(x)=5x+53x+4..........................
h(x)=4x+4 .......................... 1/192/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
Propriété n°1 : forme canonique
Soit p une fonction polynôme de degré 2 exprimée sous la forme p(x) = ax2 + bx + c. Il existe deux nombres réels et permettant d'écrire p sous la forme p(x)=a(x ................................... + ........Cette forme s'appelle la forme canonique.
Exemple n°2
Voici une liste de fonctions trinômes. Certaines d'entre elles sont les mêmes,écrites sous différentes formes :
•f(x) = 3(x - 3)(x - 1) •g(x) = x² •h(x) = (x + 2)² + 1 •k(x) = -12 (x-3
2)(x+5
2) •l(x) = -4x²+5 •m(x) = - 15 (x+5
2)2 - 2•n(x) = -1 2 (x+12)2 + 2
•p(x) = 3x² - 12x + 9 •r(x) = - 15x² -
134•s(x) = 3(x - 2)² - 3
•t(x) = x² + 4x + 5 •u(x) = - 12x² -
1 2x + 1541. Quelles sont celles qui sont sous forme canonique ?
2. Pour ces fonctions mises sous forme canonique, indiquez les valeurs de a, ,
et .3. Déterminez quelles fonctions sont égales :
4. Calculez
pour la fonction t. 2/193/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
II) Courbes représentatives des polynomes du second degréPropriété n°2
La courbe d'un fonction polynome du second degré est une p................................., possèdant un a............ de s.................................. verticale.Exercice n°1
Ex.15 p.105 (Hyperbole 2010)
Exercice n°2
Ex.16 p.105 (Hyperbole 2010)
Activité d'approche n°2
Comme on peut le constater, avoir un polynôme du second degré sous forme canonique permet d'obtenir beaucoup d'informations utiles. Analysons le cas général :Soit f(x) = a(x - )² + .
a. Complétez l'enchainement suivant, qui correspond à f : 3/194/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
sur ]-∞;] : si x1 si a<0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ... si a>0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ... sur ];+∞] : si si a<0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ... si a>0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ... En , f()=........................................................................................................................... . Si a et sont négatifs, f est ............................................................... . Si a et sont positifs, f est ............................................................... .sur ]-∞;[, f ................................................................................. .sur ];+∞[, f ................................................................................. Quel est l'équation de l'axe de symétrie ? ......................................................Là, deux cas :
Là, deux cas :
Tableaux de variation :
Si a<0 :Si a>0
Cours n°2
II) Étude de la f° polynôme du 2nd degré mise sous forme canonique 1) Variations
Propriété n°2
Soit a,
et trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + . Le sens de variation de f dépend alors du signe de a : x-∞+∞ f avec a<0...x-∞+∞ f avec a>0 Exemple n°3
Soit g la fonction définie par g(x) = - 4(x + 6)² + 9. 4/19 5/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
Après avoir précisé les valeurs de a, et , dressez le tableau de variation de g. En déduire les coordonnées du sommet de la courbe représentative de g Exemple n°4
Soit h la fonction définie par h(x)=4x2 - 3x + 1 1. Résoudre h(x)=1
2. En déduire les coordonnées des points d'intersections de la courbe
représentative de h avec la droite d'équation y=1. 3. En utilisant les questions précédentes et la symétrie de la courbe,
déterminer l'abscisse de l'extremum de la courbe, puis on ordonnée. 5/19 6/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
Exercice n°3 (source : sésamath)
Dresser les tableaux de variations des fonctions suivantes : 1. f(x) = 5(x - 7)² + 4
2. g(x) = -(x - 3)² + 7
3. h(x) = -4(x + 1)² - 34. k(x) = 2(x + 1)² - 3
5. l(x) = -2(x + 3)² - 3
6. m(x) = 6(x - 8)² +2.
Exercice n°4 (source : sésamath)
Retrouvez les tableaux de variations correspondants aux fonctions suivantes : . f(x) = -3(x + 1)² +2 . g(x) = 3(x - 1)² + 2. h(x) = 3(x - 2)² + 1 . j(x) = 3(x - 2)² - 1 1. x-∞1+∞ 2 2. x-∞-1+∞ 2 3. x-∞2+∞ 1 4. x-∞2+∞ 6/19 7/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
-1 Exercice n°5 (source : sésamath)
Déterminez trois fonctions polynômes f, g et h qui vérifient chacune le tableau de variations ci-dessous. x-∞-1+∞ f(x) 2 x-∞2+∞ g(x) -4 x-∞-4+∞ h(x)3 Exercice n°6 (source : sésamath)
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré. Déterminez sur quel ensemble f(x)2. x-∞1+∞ 7/19-2
8/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
f(x) 0 Exercice n°7
On donne les courbes représentatives suivantes, qui correspondent toutes à la représentation graphique de polynômes du second degré de la forme ax2 + bx + c. Dans chaque cas, déterminer le signe de a,les valeurs de α et β. Quand c'est possible, déterminer la valeur de c. Graphique 1 :Graphique 2
Graphique 3 :Graphique 4
Activité d'approche n°3
Soit a, et trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux 8/192 9/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + . 1. Étudiez le signe de f si a et sont négatifs.
2. Étudiez le signe de f si a et sont positifs.
3. Dans les autres cas, que peut-on dire du signe de f sur ]-∞;[ ? Et sur ];
Cours n°3
2) Signes
Propriété n°3
Soit a, et trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + . 9/19 10/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
Exemple n°4 :
Voici deux fonctions polynômes du second degré. Étudiez leur signe. . f(x)= -3(x-3)²-2. j(x)= 3(x-2)²+2 Exercice n°8
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 2(x - 2)² - 8 1. Calculez f(4).
2. En déduire sur quel ensemble f est négative, en expliquant le raisonnement.
Exercice n°9
On considère trois fonctions f, g, et h définies par : f(x) = -16(x - 3)² - 9 ; g(x)= 16(x - 3)² - 9 ; h(x) = 16(x - 3)² + 9. 1. Factorisez g
2. Étudiez le signe de chaque fonction.
Activité d'approche n°4
La courbe représentative de la fonction carrée a un axe de symétrie : l'axe des ordonnées. Quel est l'équation de l'axe de symétrie de la courbe représentative de la 10/19 11/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
fonction f(x) = a(x - )² + ? (suggestion : faites plusieurs essais). Cours n°4
III) Courbe représentative d'une fonction polynôme de degré deux. Définition n°2
La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré deux est une parabole. Propriété n°4
Soit a, et trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + . La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet un axe de symétrie : la droite d'équation ................... Exemple n°5
Voici une fonction polynôme du second degré : gx) = -3(x+3)²+5 11/19 12/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques
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