[PDF] Cours maths complémentaires déterminer la valeur de

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Chapitre9

Equationsdi!érentiellesetlimites

Danscechap itreil estessentieldemaitriser lecalc uldeprimitivesetdedérivée sdesfo nction s usuelles.

9.1Equa tionsdi!érentielles

Lapl upartdutempsdansvotre scolari té,vousavezch erchéàrésoudredeséquations po- lynomiales.Parexemple,vousdeviezmettreenoeuvredi!érentesméthodespour résoudre(i. e.

3x!2=0;2x

2 !3x+1=0;...

Ceg enrederésolutio nanota mmentpermitderésoudredesproblèmesgéométriq ues,l'étudede

lamo notonied'unefonction,....Da nscechapitre, nousallonsaborde runautregenred'é quation. Cettefois-cil 'inconnun'estplusunn ombreréelxmaisunefo nctionfvérifiantuneéquation impliquantsadérivée.Voyo nssuru nexemple. les angd'unpatient àl'instantt"0.Un eétudedup rocessusd'élimi nationde médicamentpermet demo ntrerquelavitessed'élim inatio nf (pourunrappor tde!10%).Autrem entdit,fvérifielarelation (E):f (t)=!0,1#f(t)pourtoutt"0. Larel ationprécédenteestdésignéeso uslenomd'équationdi!érentielle. Pourlaréso udreno usdevonstrouvertouteslesfonc tionsfdéfiniessurl'inte rvalle I=[0;+$[quivér ifientlarelation(E).Parfois,uneco nditioninitialeseraégale ment imposée(parexemple,il ya0,3mLdumé dicamentdanslesangdupatientàl'ins tantt=0);une

équationdi!érentielleassociéeàunecond itioninitialeestdé signéesousl'appellation deproblèmede

Cauchy.Danscecas,nouschercheronsàdéterminer(sielleexiste)l'uniquesolutiondel'é quation di!érentielle(E). 71

72CHAPITRE9.EQUATIONSD IFFÉREN TIELLESETLIMITES

Leséqu ationsdi!érentiellessontnombreuses, variées,decomplexitésdi!érentesetappara iss ent

naturellementdansdi!érentesdomaines( biologie,physiqueq uantique,thermodynamique,écono- mie,...).Leurrésolutione stparfoisco mplexe(laplupartdute mpsiln'existe pasencor edemé- thodesderésoluti onscom plètes)etreposesouventsurdesoutilsmathémat iquesdépassantdeloin lepr ogrammedulycée.Modestement, nousallo nsétudiercertainscaspartic uliersbie ncomprisdes mathématiciens.Débutonsdoncnotreétudedes équationsdi!érentielles.

9.1.1Equati ondi!érentielley

=ay (E 1 ):y =ayaveca%R. Autrementdit,nouschercho nsl'ensembl edesfonction sf:R&Rtellesquef (t)=af(t)pour toutt%R.

Théorème31.Lessolu tionsde(E

1 )sontdelaf ormef(t)=Ce at avecC%R. Remarque.Ily ado ncu neinfinitédes olutions( chaquevaleurdeCdonneunenouve lle solution).

Voyonssurunexemp le.

(E 1 ):y 3 2 y. D'aprèslethéorèmepr écéden t,lessolutionssontdelaf ormef(t)=Ce 3 2 t (pourtoutt%R)avec C%R.Voiciquelquescourbesreprésentativesdesolutions(suivantdi!érentesvaleursd eC) Figure9.1:Rep résentationsgraphiquesdesolutionsde(E 1

Sija maisl'énoncéimposeunec ondition"initiale»,ce lanousfo rceàchoisiruneval eurpa rticu-

lièredeC.Parexemple,silacourbeC f d'unesolut iondoitpasserparlepoint A(2;1)celasig nifie quefdoitaussivé rifier f(2)=1'(Ce 3 2 #2 =1'(C=e 3

L'uniquesolutionduprob lèmedeCauchy

9.1.EQUA TIONSDIFFÉRENTIELLES73

y 3 2 y(équationdi!érentielle) y(2)=1(co ndi tion initiale). estf(t)=e 3 #e 3 2 t pourtoutt%R.

Exercicesàtraiter:66,69 page84 ;74page84.

9.1.2Equati ondi!érentielley

=ay+b (E 2 ):y =ay+baveca,b%R. Autrementdit,nouschercho nsl'ensemble desfonctions f:R&Rtellesquef (t)=af(t)+b

1.d 'abord,nouscherchonsu nesolutionf

h del' équationdi!érentiellehomogèneassociée: (E h ):y =ay

àl'aideduthéorème31.

2.en suite,nouscherchonsunesolut ionparticuli èredef

p del' équationdi!érentielle(E 2 Lacom binaisondecesdeuxétapesfournitleth éorèmesu iva nt. Théorème32.Enco nservantlesnotationsprécédent es,lessol utionsde(E 2 )sontdelaf orme f(t)=f h (t)+f p (t).Plusprécisément,pourtoutt%R, f(t)=Ce at b a avecC%R. Remarque.1.Il estsous -entendu( enutilisantlethéorème31)quelessolutionsdel'équation homogène(E h )sontdelaforme,pourtoutt%R, f h (t)=Ce at pourtoutav ecC%R. etqu e f p (t)=! b a pourtoutt%R estune solutionp articulièrede(E 2

2.An ouve au,(E

2 )admetuneinfinitédesolutions(pourchaquechoixdeC).C ommeaupara- vant,siunecon dition initiale estimposée,ilexisteuneuniquesolutio n.

74CHAPITRE9.EQUATIONSD IFFÉREN TIELLESETLIMITES

Voyonssurunexem ple.

(E 2 ):2y +3y=6'(y 3 2 y+3.

D'aprèslethéorème32(aveca=!

3 2 etb=3),lessolutionssontdelaforme f(t)=Ce 3 2 t +2po urtoutt%Retav ecC%R. Voiciquelque scourbesreprésentatives desolutions(suivantdi!érentesvaleursde C) Figure9.2:Rep résentationsgraphiquesdesolutionsde(E 2

Sija maisl'énoncéimposeunec ondition"initiale»,ce lanousfo rceàchoisiruneval eurpa rticu-

lièredeC.Parexemple,silacourbeC f d'unesolut iondoitpasserparlepoint A(0;3)celasig nifie quefdoitaussivé rifier f(0)=3'(Ce 3 2 #0 +2=3'(C+2=3'(C=1.

L'uniquesolutionduprob lèmedeCauchy

y 3 2 y+2(é quationdi!érentielle) y(0)=3(c ond itio ninitiale). estdonc f(t)=e 3 2 t +2pourtoutt%R.

Exercicesàtraiter:80,82,84 page84;110 page87.

9.2.LIM ITED'UNEFONCTION75

9.2Limi ted'unefonction

Lesso lutionsd'équationsdi!érentiellespermettentdemodéliserdesproblèmesiss usdebranche s variées.Parexemple,la fonctionf(x)=3e "2x peuts'inte rprétercommelasolutiond'unproblème dedéc roissanceradioactivemodéliséeparl eproblèmedeCauchy y =!2y y(0)=3. Iles talorsatt enduquel'étude decettesolutionpermet d'obtenirdesinform ationss urlepro- blèmeinitial.I lapparaîtdoncnatureldes'int erroge r,commepo urlessuites ,surlec omportement dece ttefonctionlorsq uexs'approchedesbordsdudomained edéfiniti on(lorsquex tendvers±$parexe mple).Concernantleslimites, laplupartdesrésultatsvalabl espourdessuites leso ntencorepour desfonctions.D'ailleur s,l'approcheinitiéepourlessuit esavecl'ut ilisation de laca lculatricerestedemiseàunedi!érenceprès:n ousn'allonspasun iquementfa iretendrexvers +$.Bienentendu,ilestpossibled'étudierleslimitesd'unefonctionsansforcément quecelle- ci soitsoluti ond'uneéquationdi!érentielle.

9.2.1Comport ementenl'infini

Voyonsànouveauce qui peutseproduirelorsqu ex&±$. Définition9.2.1.Soitfunefon ctiondéfiniesurl'interval le[a;+$[aveca>0su!samment grand.

1.Nou sdironsquefadmetpourlimit el%Rlorsquex&+$lorsquelesvaleursdef(x)sont

aussiprochesdelquenous voulonsdèslorsque xestsu!sammentgrand.Nousn oteronsceci par lim x$+% f(x)=l.

2.Nou sdironsquefadmetpourlimit e+$lorsquex&+$lorsquelesvaleursdef(x)sont

aussigrandesqu enousvoulonsdèslorsq uexestsu!sammentgrand.Nousno teronscecipar lim x$+% f(x)=+$.

Remarque.Dema nièresimilaire,nouspo uvonsdéfinirleslimitessuivantesenadap tantles énoncés

précédents: lim x$+% f(x)=!$;lim x$"% f(x)=!$;lim x$"% f(x)=l. Enprat ique,pourdéterminerlali mited'un efonctionenl'infini,ilsu "td'utilisersacalculatrice pourobserv erlesvaleursprisesparf(x)lorsquexdevientdeplusenplusgrand : •sif(x)sembleserapprocherd'unevaleurlnoussomm esdanslepremiercas; •siau contra irelesvaleursdef(x)deviennentdeplusengrandescelasignifiequef(x)tend vers±$(enfonc tiondusigne). Voyonscequedonne cetted éfinition graphiquement.

76CHAPITRE9.EQUATIONSD IFFÉREN TIELLESETLIMITES

Exemple9.2.1.1.P euimportela tailledelaboitecentréeenl(surl'axe desordonnées),il estposs ibledetrouverunnombresu"sammentgrand(Bsurl'ax edesordonnées)de sorte quetou teslesvaleursdef(x)soientcoincéesdanslabo itecentréeenlàpartirdeB.

Figure9.3:lim

x$+% f(x)=l

2.Pe uimportelese uilchoisi(surl'axe desordonnées),il esttoujour spossibledetrouverun

nombreBsu"sammentgrand(surl'ax edesabscisses)desor tequetout esles valeurs def(x) dépasseceseuilàpart irdecep oint.

Figure9.4:lim

x$+% f(x)=l

Exercicesàtraiter:43,44p age82.

Pourmieux comprendrecette nouvellenotion,ilestimportantd' avoirentêtelecomport ement enl' infinidesfonctionsusuell es. Proposition33.Leslim itessuivantessontsati sfaites: •lim x$"% x 2 =+$etlim x$+% x 2 •lim x$"% x 3 =!$etlim x$+% x 3 •lim x$"% 1 x =0etlim x$+% 1 x =0. •lim x$"% e x =0etlim x$+% e x •lim x$+% x=+$etlim x$+% lnx=+$.

9.2.LIM ITED'UNEFONCTION77

Remarque.Ilco nvientdeconserverentête lesrèg lesdecalculssurleslimitesquiontét éd'abord

étéprésen téespourlessuites(addi tion,multip licatio n,soustraction,quotient,comparaison,. ..)

Commenousall onslevoirsur desexemples,toutse passe pourlemie ux.Toutefois,ilf autse

souvenirdesformesindét erminées quinepeuventêtrele véessanstravailsupplémentaire,ellessont

del aforme 0 0 ;0#$;$!$;

Voyonsquelquesex emples.

Exemple9.2.2.1.Dé terminonslim

x$+% (3+ 2 x 1 x 2 ).Pu isquelim x$+% x 2 =+$,nousen déduisonsque lim x$+% 1 x 2 =0.

Pourlesmêm esraisons ,lim

x$+% 2 x =0.Parsuite,nousavonsdonc lim x$+% (3+ 2 x 1 x 2 )=li m x$+%

3+l im

x$+% 2 x !lim x$+% 1 x 2 =3. Ceré sultatétaitdéjàpressent igrâceàlacalcul atrice.

2.D éterminonslalimitedef(x)=

2x"1 x+1 lorsquex&!$.Iln'estpasdi"ciled'étudi erséparé- mentnuméra teuretdénominateur: lim x$"%

2x!1=!$etli m

x$"% x+1=!$.

Nousobteno nsainsiuneformeindéter minée

toriseraunumérateur etaudé nominateurparletermedominantafindecom parer cesdeu xinfinis(v oirs'ilssontde"mêm etaille»ousil'u ndesdeuxest"plusgrandquequotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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