[PDF] Chapitre 1. Ensembles et applications.

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Chapitre 1. Ensembles et applications.

()February 18, 2013 1 / 47

Table des mati`eres

1Ensembles: introduction

2Ensembles finis

()February 18, 2013 2 / 47

1. Ensembles: introduction

D´efinition

On appelleensembleune collection des objets. Ces objets sont appel´esles

´el´ementsde l"ensemble.

Exemples

1)= l"ensemble de tous les nombres entiers positifs.

2)= l"ensemble de tous les nombres entiers relatifs.

3)= l"ensemble des nombres rationnelsm

n,mn,n= 0.

4)= l"ensemble des nombres r´eels.

5)+= l"ensemble des nombres r´eels positifs.

6)= l"ensemble des nombres r´eels non nuls.

Terminologie de la th´eorie des ensembles

Sixest un ´el´ement d"un ensembleA, on ecritxA. Si non, on ´ecrit xA. Par exemple 2,2 3. ()February 18, 2013 3 / 47 On peut d´efinir un ensemble par la liste de ses ´el´ements. Par exemple, l"ensemble contenant le seul ´el´ement 0 est not´e0. L"ensemble contenant trois ´el´ements 123 est not´e par123. Une autre fa¸con de d´efinir un ensemble c"est d"indiquer la propri´et´e `a laquelle v´erifient tous les ´el´ements de cet ensemble et seulement ces

´el´ements. L"ensemble de tous les ´el´ements v´erifiant propri´et´ePest not´e

xP.

Exemple

l"ensemble de tous les nombres naturels strictement sup´erieurs`a 2 est not´e xx2

D´efinition

L"ensemble ne contenant aucun ´el´ement est appel´el"ensemble videet not´e ()February 18, 2013 4 / 47

D´efinition

SoitEFdes ensembles. Si chaque ´el´ement deEest aussi un ´el´ement de F, on dit queEestune partie (ou sous-ensemble)deFet on ´ecritEF. SiEFetE=Falors on dit queEest unsous-ensemble propredeE et on ´ecritEF.

Exemples

1). 2).

3) quel que soit un ensembleEon a:EetEE.

Pour un ensembleA, l"ensemble de tous les sous-ensembles deAest not´e 2

AouP(A).

Exemple

SoitA=01. Les sous-ensembles deAsont,A,0,1donc

P(A) =0101.

()February 18, 2013 5 / 47

D´efinition

SoitABdes ensembles. L"ensemble qui contient tous les ´el´ementsqui appartiennent `a la fois `aAet `aBest appel´el"intersection de ABet not´e AB.

Autrement dit (xAB)((xA) et (xB)).

Exemple

01 21=1

D´efinition

SoitABdes ensembles. L"ensemble des ´el´ementsxtels quexAou xBest appell´ela r´eunion de A et Bet not´eAB.

Exemple

On note parl"ensemble de tous les nombres entiers n´egatifs (y compris

0). On a alors=et=0.

()February 18, 2013 6 / 47

D´efinition

SiAEsont des ensembles, alors l"ensemblexExAest appel´e compl´ementaire de A dans E, et not´eEA.

SiAE, l"ensembleEAest not´e aussiCA.

Exemple

Quel que soit un ensembleEon a:C=EetCE=.

R`egles de calcul

Intersection et r´eunion sont commutatives:

AB=BA,AB=BA,

et associatives:

A(BC) = (AB)C,A(BC) = (AB)C

On a:

AA=AA=A,A=,A=A.

()February 18, 2013 7 / 47

Proposition

A(BC) = (AB)(AC)(l"intersection est distributive par rapport `a la r´eunion).

D´emonstration.On va montrer d"abord que

A(BC)(AB)(AC).

SixA(BC), alorsxAetxBouxC. DoncxAet

xBou bienxAetxC. Autrement ditxABou xAC. Ce qui est ´equivalent `ax(AB)(AC). De la mˆeme fa¸con, on v´erifie que (AB)(AC)A(BC). Donc chacun de deux ensembles de notre ´enonc´e fait partie de l"autre.

Cela veut dire qu"ils sont ´egaux.?

Exercice

Montrer queA(BC) = (AB)(AC)

()February 18, 2013 8 / 47

Proposition

Soit E un ensemble et A, BE. Alors CAB=CACBet

C

AB=CACB.

D´emonstration.Nous avons

xCAB (xAB) (xA)(xB)

Par la loi de De Morgan on a

(xA)(xB) (xA) (xB) La derni`ere assertion est ´equivalente `a (xCA)(xCB), d"o`u xCABxCAB La d´emonstration de la deuxi`eme formule est similaire.?

D´efinition

SoitABdes ensembles. L"ensemble de tous les couples ordonn´es (xy) tels quexA,yBest appell´ele produit cart´esiendeAetB, not´e AB. ()February 18, 2013 9 / 47

Exemple

A=,B=alorsAB=est identifi´e avec le plan euclidien. (faire le dessin!) NB. L"ordre de deux composantes d"un couple est important: (xy)= (yx) comme on le voit sur le dessin.

Remarque

Nous avons d´ecrit quelques proc´edures pr´ecises qui permettent de construire des nouveaux ensembles `a partir des ensembles d´ej`a existants. Il se trouvent que toutes les fa¸cons de construire des ensembles ne sont pas bonnes. On peut montrer par exemple quel"ensemble de tous les ensembles n"existe pas, c"est-`a-dire l"hypoth`ese de l"existence de cet ensemble m`ene `a une contradiction. ()February 18, 2013 10 / 47

Applications

D´efinition

SoitABdes ensembles. Une loi qui associe `a chaque ´el´ementxdeAun unique ´el´ementydeBest appell´eeapplicationoufonctiondeAdansB.

On ´ecrit

f:ABouAf?? B Pour un ´elementxAl"´el´ement deBqui lui est associ´e est not´ef(x), et on ´ecritx??? f(x). L"´el´ementf(x) est appel´el"image de x par fetx est ditl"ant´ec´edentdef(x).

Exemples

1)f??d´efinie par la formulef(x) = sin(x) est une application de

dans. L"´el´ement 0a un nombre infini d"ant´ec´edents, notamment, pour toutkle nombrekest un ant´ec´edent de 0.

2) La formulef(n) =n2d´efinit une application dedans lui-mˆeme.

()February 18, 2013 11 / 47 Dans les exemples pr´ec´edents les fonctions ont ´et´e d´efinies par des formules (polynˆomiales, trigonom´etriques etc.); ce n"est pas un seul moyen de d´efinir des fonctions comme le montre l"exemple suivant.

Fonction de Dirichlet::?,

(x) = 1six (x) = 0six

D´efinition

Soitf:A?Bune application. Le sous-ensemble

(xf(x))xA ABest ditle graphe de fet not´e Γf.

Exemples

1) Soitf:la fonction donn´ee par:f(x) =x. Alors son graphe Γf

est une ligne droite dans le plan euclidien2, notamment la bissectrice de l"angle droit form´e de deux axes de coordonn´ees. (faire les dessins!)

2) Soitf:la fonction donn´ee par:f(x) = 0. Alors son graphe Γf

est l"axe des abscisses. ()February 18, 2013 12 / 47

D´efinition

Soitf:A??Bg:B??Cdes applications. L"application deA dansCqui associe `a chaquexAl"´el´ementg(f(x)) deCest appel´ee l"application compos´ee(o`u simplementla compos´ee) defetg, et not´ee gf.

Exemple

Soitf:l"application d´efinie par la formulef(x) =x3. Alors pour l"applicationg=ffon ag(x) = (x3)3=x27.

Exercice

Calculerfgo`ufg:R+R+sont les applications suivantes:

1)f(x) =xg(x) =1

x;

2)f(x) =1

xg(x) =1x;

3)f(x) =1

xg(x) =1x2. ()February 18, 2013 13 / 47

Remarque

En g´eneralfg=gfmˆeme sifgsont des applications d"un ensemble Adans lui-mˆeme. Par example, sif(x) =x3g(x) = 2x(des applications dedans) on a (fg)(x) = 8x3(gf)(x) = 2x3

D´efinition

SoitAun ensemble, etBA. L"application qui `a chaque ´el´ementxB associexlui-mˆeme consid´er´e comme un ´el´ement deAest appel´ee l"application inclusion. SiB=Acette application est appel´eel"application identit´edeAet not´eeIdA.

D´efinition

Soitf:ABune application, etAA. La compos´ee de l"application inclusion et defest appel´eela restriction de f sur Aet not´ee fA:AA.

C"est-`a-dire (fA)(x) =f(x) pour toutxA.

()February 18, 2013 14 / 47

D´efinition

Une applicationf:A?Best diteinjectivesi

f(x) =f(y) =(x=y) (c"est-`a-dire sizBadmet un ant´ec´edent dansA, alors cet ant´ec´edent est unique.)

D´efinition

Une applicationf:A?Best ditesurjectivesi:

zBxAtel quef(x) =z (c"est-`a-dire chaquezdansBadmet un ant´ec´edent dansA).

Exemples

1)f(x) = sin(x) n"est pas injective carf(0) =f() = 0 et n"est pas

surjective carxsin(x)?1. ()February 18, 2013 15 / 47

2) En revanche, la fonctionh:?[?1;1] d´efinie parh(x) = sin(x) est

surjective.

3) La fonctiong:?g(n) =n2est injective mais elle n"est pas

surjective (v´erifiez!).

Graphe d"une fonction surjective:

pour chaqueyla droitelyintersecte le graphe Γf. (faire les dessins!)

Graphe d"une fonction f injective:

Chaque droitelyintersecte Γfune fois maximum.

D´efinition

Une application qui est injective et surjective est ditebijective(ouune bijection). Doncfest bijective si et seulement si chaqueyBadmet un unique ant´ec´edent dansA. ()February 18, 2013 16 / 47

Exemples

1)f:?f(x) =?xest bijective (car chaqueyadmet un

unique ant´ec´edent par rapport `af, notamment?y).

2) On va construire une bijection???

. Posons (x) = x

2sixest pair;

x+1

2sixest impair

V´erifions queest injective.

Supposons que(x) =(y) alors

si(x)?0 alorsxest pair,yaussi etx

2=y2, soitx=y.

si(x)0 alorsxetysont impairs et?x+1

2=?y+12=x=y.

V´erifions queest surjective.

Soitnalorsn=(2n), 2n.

Soitmm0. Alorsm=(?2m?1) o`u?2m?1.

()February 18, 2013 17 / 47

Remarque

L"ensembleest un sous-ensemble propre de, c"est-`a-dire, et =. Cependant on a ´etabli une bijection entreetce qui veut dire quecontient "autant d"´elements" que.

3) L"application

f: [01][02];f(t) = 2t est une bijection. ( Rappelons que [ab] =xa?x?b. ) En effet, montrons d"abord quefest injective. Sif(x) =f(y), alors

2x= 2yce qui impliquex=y. Montrons maintenant quefest surjective.

Soity[02]. Posonsx=y2, alorsx[01] etf(x) = 2x=y.

Exercice

Soitabnombres r´eels etab. Montrer que l"application g: [01][ab];f(t) =a+t(b?a) est bijective. ()February 18, 2013 18 / 47

D´efinition

Soitf:A?Bune application.

SoitXA, alors le sous-ensemble

yBy=f(x)pour unxX est appel´el"image de X par f, not´eImX. L"image deAest not´e aussi par

Im(f).fest surjective si et seulement siIm(f) =Y.

SoitYB, le sous-ensemble

xAf(x)Y est appel´el"image r´eciproque de Y par fnot´ef1(Y). ()February 18, 2013 19 / 47

Exemple

Soitf:?,f(x) =x2. AlorsIm(f) =Im() =+et

f

1(1) =?1;1.

Proposition

1) La compos´ee de2applications injectives est injective.

2) La compos´ee de2applications surjectives est surjective.

3) La compos´ee de2applications bijectives est bijective.

D´emonstration.1) SoitAf??

Bg??Co`ufgsont des

applications injectives. Pour montrer quegfest injective, supposons que (gf)(x) = (gf)(y), pourxyA. Alorsg(f(x)) =g(f(y)). Puisquegest injective, cela implique f(x) =f(y). De plus,f´etant injective, on d´eduitx=y.

Donc (gf) est injective.

2) SoitAf??

Bg??C, o`ufgsont des applications surjectives.

SoitzC. L"applicationg´etant surjective, il existeyBtel que g(y) =z. ()February 18, 2013 20 / 47 De plus,f´etant surjective, il existexAtel quef(x) =y. Finalementz=g(y) =g(f(x)) = (gf)(x) et l"applicationgfest surjective.

3) d´ecoule de 1) et 2).?

D´efinition

(Rappel). SoitAun ensemble. On noteIdAl"applicationAAd´efinie parIdA(x) =x. On l"appellel"application identit´e.

Proposition

Soit f:A?B une application. Alors f est bijective si et seulement si il existe une application g:B?A, telle que gf=IdAetfg=IdB g est appel´ee l"application r´eciproque `a f , et not´ee f 1.

D´emonstration.

Premi`erement, supposons qu"il existeg:B?A, tel quefg=IdB, gf=IdA, et montrons quefest bijective. ()February 18, 2013 21 / 47 Remarquons quefest injective. En effet, sif(x) =f(y) alors g(f(x)) =g(f(y)) donc (gf)(x) = (gf)(y). Or (gf)(x) =IdB(x) =x, de mˆeme poury; doncx=y. De plusfest surjective, car siyB,y=IdB(y) = (fg)(y) =f(z), avecz=g(y), doncyf(A). On en d´eduit quefest bijective.

Deuxi`emement, soitf:A??

Bune bijection.

AlorsyB,xAtel quef(x) =y(carfest surjective). On pose g(y) =x(un telxest unique, puisquefest injective) et on obtient ainsi une applicationg:B?? A.

Par d´efinition on a (gf) =IdA, (fg) =IdB.

Corollaire

Il existe une bijection g:??.

()February 18, 2013 22 / 47

2 . Ensembles finis

D´efinition

Soitn?1 un entier positif. On note par [[1n]] l"ensemble12n.

Proposition

Soit nk.

1) S"il existe une application injective[[1n]]?[[1k]]alors n?k.

2) S"il existe une application surjective[[1n]]?[[1k]]alors n?k.

3) S"il existe une application bijective[[1n]]?[[1k]]alors n=k.

D´emonstration.1) R´ecurrence surn.

Initialisation.Sin= 1, alorsk?1 =n, cark.

H´er´edit´e.On suppose que notre proposition est d´ej`a d´emontr´ee au rang n. Soitf: [[1n+ 1]]?[[1k]] une application injective. Supposons d"abord quef(n+ 1) =k.f´etant injective, on af(s)k poursn+ 1, doncf([[1n]])[[1k?1]], et on obtient une application injective [[1n]][[1k?1]]. Par l"hypoth´ese de r´ecurrence,n?k?1 doncn+ 1?k. ()February 18, 2013 23 / 47

3) Supposons mantenant quef(n+ 1) =set 1?s?k?1.

Soit: [[1k]]?[[1k]] une bijection d´efinie par la formule suivante: (x) =x si x=sx=k; k si x=s; s si x=k; C"est-`a-dire,permute les ´el´ementssetket laisse fixe tous les autres

´el´ements de [[1k]].

L"application (f) est injective (en tant que la compos´ee de deux applications injectives).

De plus (f)(n+ 1) =(f(n+ 1)) =(s) =k;

en applicant `afle raisonnement pr´ec´edent on obtientn+ 1?k.

Exercice

D´emontrer 2).

Le point 3) d´ecoule de 1) et 2).?

()February 18, 2013 24 / 47

D´efinition

Une ensembleEest appel´eensemble fini, si pour certainnil existe une bijectionf: [[1n]]?E, ou siEest vide. Le nombrenest appel´ela cardinalit´e de Eoule cardinal de E, not´e card(E) ouE. Par convention on posecard() = 0. Autrement dit un ensemble est fini s"il existe une suite finiea1an, (aiE) telle que chaque ´el´ement deEapparaˆıt une seule fois dans cette suite. La donn´ee d"une bijectionf: [[1n]]?Eest ´equivalente `a celle d"une telle suite:ai=f(i).

Remarque

Pour un ensemble finiEle nombrenci-dessus est unique. En effet si on a deux bijections [[1n]]f??

Eg??[[1k]]

alorsg1f: [[1n]]?? [[1k]] est une bijection, doncn=k. ()February 18, 2013 25 / 47

Exemple

L"ensemble de tous les nombres entiers positifsntels quenest pair et n20 est fini, et sa cardinalit´e est ´egale `a 10.

Exemple

L"ensemble de tous le nombres naturelsn"est pas fini. En effet, supposons qu"il existe une bijectionf: [[1n]]?pour certain n. Consid`erons l"application inclusiong: [[1n+ 1]]. La composition def1avecgserait une application injective f

1g: [[1n+ 1]]?[[1n]]

ce qui est impossible. ()February 18, 2013 26 / 47

Propri´et´es des cardinaux des ensembles finis(les d´emonstrations seront omises ou juste esquiss´ees).1) SiAest un ensemble fini, etf:ABune bijection, alorsBest

´evidemment un ensemble fini, etcardA=cardB.

Cette propri´et´e est importante:s"il y a une bijection entre deux ensembles, alors leurs cardinalit´es sont les mˆemes; il y a autant d"´el´ements dans l"un que dans l"autre.

2) SoitAun ensemble fini, etBA. AlorsBest un ensemble fini et

cardB?cardA.

Corollaire

,,,ne sont pas finis. D´emonstration.Chacun de ces ensemble contient l"ensemble infini.? ()February 18, 2013 27 / 47

3) SoitA,Bdes ensembles finis. AlorsABetABsont des ensembles

finis et on a cardAB=cardA+cardB?cardAB (faire un dessin!)

4) SoitA,B,Cdes ensembles finis, alorsABCest un ensemble fini

et on a (en appliquant la formule pr´ec´edente) card(ABC) =card((AB)C) = =cardAB+cardC?card((AB)(AC)) or card((AB)(AC)) =card(AC)+card(AB)?card(ABC)

Finalement

card(ABC) =cardA+cardB+cardC ?card(AB)?card(AC)?card(BC) +card(ABC) ()February 18, 2013 28 / 47

Exercice

Calculercard(ABCD) en fonction des cardinalit´es des ensembles

ABCDet leurs intersections.

Plus g´en´eralement, calculercard(A1An).

Proposition

Soit A, B des ensembles finis. Alors AB est un ensemble fini et cardAB=cardAcardB. D´emonstration.SoitA=a1an,B=b1bm, alorscardA=n, cardB=m. ()February 18, 2013 29 / 47 Les ´el´ements deABpeuvent ˆetre arrang´es dans un tableau rectangulairenm: (a1b1) (a1b2)(a1bm) (a2b1) (a2b2)(a2bm) (anb1) (anbm) On auranlignes etm´el´ements dans chaque ligne. Donc au totalnm

´el´ements.?

Proposition

Soit X, Y des ensembles finis non vides.

1) Soit f:X??

Y une application injective. Alors

cardX?cardY et sicardY=cardX, alors f est une bijection.

2) Soit g: X

Y une application surjective. Alors

cardX?cardY et sicardY=cardX, alors g est une bijection. ()February 18, 2013 30 / 47 D´emonstration.1) Soitn=cardX, alors il existe une application bijective h: [1n]??

X. De mˆeme, soitm=cardY, etk: [1m]??Y

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