[PDF] Études de cas en analyse des données

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Études de cas en analyse des données

Bernard Colin (Éditeur)

Départements de mathématiques

Faculté des Sciences

Université de Sherbooke

Rapport de recherche No 159

1

AVANT-PROPOS

Ce rapport, présente les travaux réalisés, lors de la session de l"hiver 2017, par les étudiantes et étudiants

du département de mathématiques de l"Université de Sherbrooke, dans le cadre de l"activité pédagogique

STT 707 “Analyse des données", inscrite au programme de maîtrise en mathématiques et de maîtrise en

imagerie.

J"adresse mes plus sincères remerciements aux auteures et auteurs du présent rapport, qui, avec ardeur et

ni leurs talents, dans la réalisation de ces travaux.

Sherbrooke, janvier 2018

Bernard Colin

Département de mathématiques

Faculté des Sciences

Université de Sherbrooke

2

Tables des matières

[1] Sarra Abaoubida : Catégorisation des parfums selon leurs propriétés sensorielles.

Note : Les données analysées dans cette étude de cas, proviennent du manuel de F. Husson, S. Lê et

J. Pages :Analyse de données avec R. Les analyses telles que présentées dans le manuel sont reprises et

complétées à l"aide d"un modèle de classi...cation hiérarchique ascendante. [2] Jean-Philippe Morisette :

Analyse du tennis en simple chez les messieurs.

[3] Fanny Rancourt : Caractérisation des universités américaines. 3

Catégorisation des parfums selon

leurs propriétés sensoriellesSARRAABAOUBIDA

JUIN2017

UNIVERSITÉ DESHERBROOKE

SHERBROOKE(QC), CANADA, J1K 2R1

SARRA.ABAOUBIDA@USHERBROOKE.CA

TABLE DES MATIÈRES Sarra Abaoubida

Table des matières

1 Introduction 2

2 Position du problème 2

3 Présentation des données 4

4 Modèle 5

4.1 Choix du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4.2 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4.2.1 Analyse des correspondances multiples . . .

5

4.2.2 Méthode de Ward . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.3 Critique du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5 Analyse des résultats 14

5.1 Traitement informatique . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.2 Analyse des données et interprétation des résultats . .

15

5.2.1 Représentation des individus sur le premier

plan principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2.2 Représentation des modalités sur le premier

plan principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2.3 Représentation des individus et des modalités

sur le premier plan principal . . . . . . . . . 16

5.2.4 Représentation des variables sur le premier

plan principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2.5 Arbre hiérarchique . . . . . . . . . . . . . .

18

6 Conclusion 19

Références 19

1

2 POSITION DU PROBLÈME Sarra Abaoubida

1 Introduction

La catégorisation est un processus cognitif par lequel différents ob- jets sont regroupés selon leurs similarités par un ensemble de sujets. Elle est utilisée pour recueillir des données, notamment en analyse sensorielle où l'on cherche à comprendre un ensemble de produits se- lon leurs propriétés sensorielles. Dans ce contexte particulier, cette épreuve consiste à demander à des consommateurs/sujets/juges de regrouper des parfums selon leurs ressemblances sensorielles. Dans cette étude, notre objectif est de fournir une image synthé- tique de l'ensemble des 12 parfums de luxe sur la base de la catégori- station produites par 98 consommateurs.

2 Position du problème

L'analyse sensorielle consiste à analyser, étudier, comparer un en- semble de produits à l'aide d'un ou plusieurs sens (goût, odorat, tou- cher, ouïe, vue). Elle s'applique à plusieurs domaines : produits ali- mentaires, cosmétiques (parfums, crèmes et soins du corps...), indus- trie automobile (description de tableaux de bord, bruit de portières...), ergonomie (ressenti du confort thermique de la pièce), sport (confort vêtements...). Elle offre des approches séduisantes, en mesure de ras- surer les décideurs sur la qualité de l'information recueillie. Cependant, la portion d'incertitude liée au facteur humain (l'être humain étant l'instrument de mesure), implique des problèmes de qualité de la mesure, de abilité et de répétabilité. L'analyse sensorielle des données nécessite donc un traitement statis- tique particulier. Le receuil des données constitue une étape cruciale dans l'analyse sensorielle, on distingue deux façons de receuillir les données : Évaluations qualitatives et quantitatives : description d'un produit par des données “objectives" (saveurs : salé, amer; arômes : boisés, fruits rouges; textures : lisse, pâteux...) avec existence de références (e.g concentration en caféine pour évaluer l'amertume...). Jury : panel res- treint “d'experts" (10 à 12 testeurs entrainés à partir de références, par 2

2 POSITION DU PROBLÈME Sarra Abaoubida

exemple avec des solutions de différentes concentrations). Évaluations hédoniques : données subjectives (on teste la notion de certains apprécient le très sucré, d'autres non (cible marketing). Jury : panel plus large de sujets "naïfs" (minimum 50-100 consommateurs).

Voici un schéma qui résume les différents niveaux de descriptions :FIGURE1: Différents niveaux de descriptions

Par la suite, on traitera des données de type hédoniques. 3

3 PRÉSENTATION DES DONNÉES Sarra Abaoubida

3 Présentation des données

Les données dont nous disposons sont issues d'un recueil de don- nées sensorielles organisé à Agrocampus. 98 consommateurs ont réa- lisé une épreuve de catégorisation sur 12 parfums de luxe (sans voir les étiquettes des parfums) : Angel, Aromatics Elixir, Chanel 5, Ci- (eau de parfum), J'adore (eau de toilette), Pure Poison, Shalimar. Il sensorielles et de caractériser par des mots chaque groupe constitué. Dans un premier temps les données peuvent être regroupées dans un tableau à 12 lignes et 98 colonnes, dans lequel chaque ligneicor- respond à un parfum et chaque colonnejà un consommateur, une cel- lule(i;j)correspond au groupe dans lequel le produitia été placé par le consommateurj. Chaque consommateurjpeut être ainsi assimilé à une variable qualitativejàkjmodalités, oùkjdésigne le nombre de

groupes que le consommateurja utilisé au cours de sa catégorisation.Juge 18 Juge 31 Juge 40 Juge 93

Angel dynamique vie fort Gr6 euri fort

Aromatics Elixir grand-mère piquant Gr5 chimique

Chanel 5 dynamique vie savon Gr5 chimique

Cinema dynamique vie Gr3 Gr3 euri faible

Coco Mademoiselle dynamique vie doux Gr2 euri faible J'adore (EP) doux agréable bébé doux gel-douche euri fort J'adore (ET) dynamique vie doux gel-douche euri faible

L'instant grand-mère doux Gr2 euri fort

Lolita Lempicka doux agréable bébé Gr3 Gr3 euri faible

Pleasures dynamique vie doux gel-douche euri fort

Pure Poison doux agréable bébé piquant Gr2 euri faible Shalimar grand-mère doux citronnelle fortTABLE1: Extrait de la base de données des parfums 4

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

Exemple :

Dans la table 1, on peut voir que le juge 40 (j=40) a catégorisé les par-

40) et qu'il a mis les parfums j'adore (eau de parfums) et j'adore (eau

de toilette dans le même groupe).

Objectif de notre étude :

Fournir une image synthétique de l'ensemble des 12 parfums de luxe sur la base de la catégoristation produites par les 98 consommateurs (repérer les parfums qui se ressemblent et ceux qui s'opposent en uti- lisant la caractérisation des groupes).

4 Modèle

4.1 Choix du modèle

L'analyse des correspondances est une méthode particulièrement bien adaptée à l'étude de vastes ensembles de données qualitatives as- similables à des effectifs comme des comptages, des dénombrements, des valeurs positives, des notes reétant une opinion ou un jugement. mateurs sont les variables qualitatives. Le tableau de données est donc des correspondances multiples(ACM). Nous analyserons aussi ces données en utilisant la classication hiérarchiques basée sur lamé-

4.2 Présentation du modèle

4.2.1 Analyse des correspondances multiples

L'analyse des correspondances simples traite le cas de deux va- riables qualitatives contrairement à l'analyse des correspondes mul- tiples qui, elle, traite le cas de plusieurs variables qualitatives. On introduira donc dans la sous section qui suit l'analyse des cor- 5

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

respondances simples, an de dénir rigoureusement l'analyse des correspondances multiples.

Analyse des correspondances simples

On se place dans le cadre de deux variables qualitativesXetY, pos- sédant respectivementnetpmodalités.

Exemple1.

Xpossèdentypes d'hébergement en vacances (exemple : hôtel, ha- bitât chez les parents, maison de vacances etc...). Ypossèdepcatégories socio-professionelles (exemple : ouvriers, mé- decins, avocats etc...).

Dénition 4.2.1.1.

On dit queKest letableau de contingencecroisant les variables qualitativesXetY, siKest de la forme :

11::: ::: ::: k1p............::: kij:::............

k n1::: ::: ::: knp? oùkijest le nombre d'observations présentant simultanément les modalitésideXetjdeY.

Exemple2.

k ijest le nombre de médecins qui hébergent dans un hôtel pendant leurs vacances.

Dénition 4.2.1.2.

Le poids de la ligneiest dénit par :

p 6

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

Le poids de la colonnejest dénit par :

q p j=1kij

Dénition 4.2.1.3.

Le prol de la ligneiest dénit par :

x i:}j=1;::;p

Le prol de la colonnejest dénit par :

y :j}i=1;::;n

On pose :

D D X

DI-1K,

DJ-1tK

Dénition 4.2.1.4.

On dénit les deux nuages de points :

Dénition 4.2.1.5.

La distance entre les lignesxietxi0est donnée par : d

La distance entre les prols de colonnesyjetyj0:

d 7

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

Remarque1.

Cette distance est dite métrique du2.

En effet, en remplaçantxietx?irespectivement par{kijk i:}j=1;::;pet ki0jk i0:}j=1;::;pdans ladéfinition5, on obtient : d j=1kk :j(kijk i:-ki0jk i0:)2 On fait la même chose pour les prols de colonnesyjety?jet on obtient : d i=1kk i:(kijk :j-kij0k :j0)2 L'analyse des correspondances simples consiste à faire une analyse en composantes principales du nuage de points N(I) , en posant : V trice des poids.

Rappel (Analyse en composantes principales) :

point etAla métrique choisie surRp.

Soity?Rp

On dénit l'inertie par raport àypar :

I i=1p id2(xi;yi) Dans un premier temps, on se propose de trouver un sous espace de dimension1notéu(uest le support du vecteuru?Rp), avec 8

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

Soit?ul'espace deRpA-orthogonal àu.

On a que

I Or I v i=1p ixijxik

On cherche donc max

tuAV Aupourude norme1. En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, on trouve que la solution de ce problème d'optimisation consiste à prendre le vecteur propreu1de la matriveV Aassocié à sa plus grande valeur propre1. On réitère la procédure, on cherche donc un deuxième vecteurutel que 0. On trouve que la solution de ce deuxième problème n'est autre que le vecteur propreu2de la matriceV Aassocié à la deuxième plus grande valeur propre2.

Et ainsi de suite...

Remarque2.

En effectuant l'analyse en composantes principales du nuageN(I), on obtient une première valeur propre qui est toujours égale à 1 (il est donc inutile de l'inclure dans l'analyse). De plus, il suft d'effectuer l'analyse en composantes principales du nuageN(I)(on n'a pas besoin d'effectuer cette analyse sur le nuage 9

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

Analyse des correspondances multiples

On dispose denobservations sur lesquelles on observe un ensemble de modalités.

On note :

Il'ensemble des observations ou des individus

Ql'ensemble des questions

J ql'ensemble de modalités de la questionq?Q

Jl'ensemble des modalités

sle nombre de variables qualitatives (ou questions) ple nombre total de modalités.

Dénition 4.2.1.6.

On appelletableau disjonctif complet, la matrice de taillen×p K ?1si l'individuipossède la modalitéj

0sinon

10

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

Exemple3.

Cet exemple est un extrait du tableau disjonctif complet issu de nos données sur les parfums :

J18J93

Dynamique Grand mère DouxFleuri fort Chimique Fleuri faible fort

Angel 1 0 01 0 0 0

Aromatics 0 1 00 1 0 0

Chanel 5 1 0 00 1 0 0

Cinema 1 0 00 0 1 0

CocoMelle1 0 00 0 1 0

J'adore (EP) 0 0 11 0 0 0

J'adore (ET) 1 0 00 0 1 0

L'instant 0 1 01 0 0 0

Lolita 0 0 10 0 1 0

Pleasures 1 0 01 0 0 0

Pure Poison 0 0 10 0 1 0

Shalimar 0 1 00 0 0 1

TABLE2: Extrait du tableau disjonctif complet issu de la base de données des par- fums

Remarque3.

Ce tableau est dit disjonctif car les modalités s'excluent mutuellement et complet car il ne contient pas de données manquantes.

Dénition 4.2.1.7.

On appelletableau de Burt, la matrice de taillepxpdénie par (leskijsont les coefcients du tableau disjonctif complet dénis ci- dessus)

Remarque4.

De plus,

?j;j??Jq, b k 11

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

k :jest le nombre d'observations ayant chosi la modalitésjetj?. Et, ?j;j?=?Jq, b jj0est le nombre de fois que l'observationia été associé simultané- ment aux modalitésjetj?.

Exemple4.

Voici un extrait du tableau de Burt associé à nos données (pour les variablesjuge18etjuge93) :Dynamique Grand mère DouxFleuri fort Chimique Fleuri faible Fort

Dynamique6 0 02 1 3 0

Grand mère0 3 01 1 0 1

Doux0 0 31 0 2 0

Fleuri fort2 1 14 0 0 0

Chimique1 1 00 2 0 0

Fleuri faible3 0 20 0 5 0

Fort0 1 00 0 0 1

TABLE3: Extrait du tableau de Burt associé aux parfums On remarque que les blocs du tableau de Burt sont les tableaux de contingences croisant les variables deux à deux. •L'analyse des correspondances multiples consiste à effectuer l'analyse des correspondances simples du tableauBde Burt.

4.2.2 Méthode de Ward

La méthode de Ward est un algorithme permettant de regrouper deux classes d'une partition pour obtenir une partition plus agrégée. Elle s'inscrit dans le cadre de la classication hiérarchique. 12

4 MODÈLE Sarra Abaoubida

Description de l'algorithme de construction ascendante Le point de départ est une matrice de dissimilaritésD(ces dissimi- larités sont des distances en général) entre individus dont le terme gé- nérald(i;j)est la dissimilarité entre les individusietj. Cette matrice est symétrique et contient des zéros sur la diagonale (seule la moitié est nécessaire, on choisira de garder la partie triangulaire inférieure).quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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