[PDF] Fonctions de classe C - Inégalité des accroissements finis.

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Chapitre 4

Fonctions de classeC1- Inégalité

des accroissements finis.

Dans le chapitre précédent, on a commencé par définir les dérivées partielles. Puis on a

dit que ce n"était pas une notion de dérivée satisfaisante, en particulier parce que l"existence

des dérivées partielles n"implique même pas la continuité. On a ensuite défini la notion de

différentiabilité, qui correspond mieux à nos attentes. C"est une notion plus forte, puisque

l"existence de la différentielle implique en particulier l"existence des dérivées partielles. Mal-

heureusement c"est aussi une notion plus compliquée. Le but de ce paragraphe est maintenant d"introduire les fonctions de classeC1. Cela géné-

ralise la notion connue en dimension 1. Mais le véritable intérêt est que c"est une notion plus

forte que la différentiabilité, et pourtant souvent plus simple à vérifier. Ainsi, pour montrer

qu"une fonction est différentiable on pourra chercher à montrer qu"elle est en fait de classeC1

(tout en gardant à l"esprit que ce n"est pas parce qu"une fonction n"est pasC1qu"elle n"est pas différentiable...). Dans d"autres cas on aura explicitement besoin de s"assurer qu"une fonction est bienC1. On montrera ensuite l"inégalité des accroissements finis. On a vu que le théorème de Rolle et donc le théorème des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction de

plusieurs variables. L"inégalité des accroissements finis est quant à elle toujours valable. Et

elle nous rendra bien des services.

4.1 Fonctions de classeC1

SoitUun ouvert deRnetfune fonction deUdansRp.

Définition 4.1.On dit quefest de classeC1surUsi toutes ses dérivées partielles sont définies et continues surU. Théorème 4.2.On suppose quefest de classeC1surU. Alorsfest différentiable surU. Démonstration.Pour alléger les notations on suppose quen= 2. Le cas général se montre exactement de la même manière. Soita= (a1;a2)2 Uet >0tel que[a1;a1+] [a2;a2+] U. Pourh= (h1;h2)2[;]2on peut définir r(h) =f(a+h)f(a)h1@f@x

1(a)h2@f@x

2(a): On a f(a+h)f(a) =f(a1+h1;a2+h2)f(a1;a2+h2) +f(a1;a2+h2)f(a1;a2): 25

L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralPar hypothèse, les fonctionst7!f(a1+t;a2+h2)ett7!f(a1;a2+t)sont de classeC1de

[;]dansRà valeurs dansRp. D"après le théorème fondamental de l"analyse (qui s"adapte à ce cas en travaillant simplement coordonnée par coordonnée) on obtient f(a+h)f(a) =f(a1+h1;a2+h2)f(a1;a2+h2) +f(a1;a2+h2)f(a1;a2) =Z h1 0@f@x

1(a1+t;a2+h2)dt+Z

h2 0@f@x

2(a1;a2+t)dt

=h1Z 1 0@f@x

1(a1+sh1;a2+h2)ds+h2Z

1 0@f@x

2(a1;a2+sh2)ds;

et donc r(h) =h1Z 1 0 @f@x

1(a1+sh1;a2+h2)@f@x

1(a1;a2)

ds +h2Z 1 0 @f@x

2(a1;a2+sh2)@f@x

2(a1;a2)

ds: Soit" >0. Puisque les dérivées partielles defsont continues ena, il existe02]0;]tel que pour touth1;h22[0;0]ets2[0;1]on a @f@x

1(a1+sh1;a2+h2)@f@x

1(a1;a2)

et @f@x

2(a1;a2+sh2)@f@x

2(a1;a2)

Cela prouve quejr(h)j6"max(jh1j;jh2j), et finalementr(h) =oh!0(khk). D"où le résultat.Définition 4.3.SoitVun ouvert deRp. On dit quefest unC1difféomorphisme deUdans

Vsifest une bijection de classeC1deUdansVdont la réciproquef1est de classeC1sur V. Remarque4.4.Sifest unC1-difféomorphisme deUdansVetW Uest ouvert, alorsf(W) est ouvert comme image réciproque deWpar l"application continuef1.

4.2 Inégalité des accroissements finis

SoientUun ouvert deRnetf:U !Rpune application différentiable. Théorème 4.5(Inégalité des accroissements finis).Soienta;b2 Utels que [a;b] =f(1)a+b;2[0;1]g U:

Alors on a

kf(b)f(a)k6kbaksup x2[a;b]jjjdxfjjj:

Démonstration.On note

M=kbaksup

x2[a;b]jjjdxfjjj:

On considère l"application

g:[0;1]!Rp; t7!f(a+t(ba)):26 J. Royer - Université Toulouse 3

Fonctions de classeC1- Inégalité des accroissements finis.Par composition de fonctions différentiables (on l"admet pour le moment, ce sera vu au

chapitre 6) on obtient quegest différentiable (c"est-à-dire dérivable) sur[0;1]et

8t2[0;1]; g0(t) =da+t(ba)f(ba):

En particulier :

kg0(t)k6jjjda+t(ba)fjjjkbak6M:

Soit" >0. On considère

I "=ft2[0;1]j kg(t)g(0)k6t(M+")g ets"= sup(I"). Ce supremum est bien défini carI"est borné (par 1) et non vide (il contient

0). Soit(tm)m2Nune suite d"éléments deI"qui tend verss". Alors pour toutm2Non a

kg(tm)g(0)k6tm(M+"):La fonctiont7! kg(t)g(0)kest continue, donc par passage à la limite on obtient quekg(s")g(0)k6s"(M+"), et doncs"2I". Supposons par l"absurde ques"<1. Alors pourh >0assez petit on as"+h2[0;1]et kg(s"+h)g(s")hg0(s")k6h": Ainsi kg(s"+h)g(0)k6kg(s")g(0)k+hkg0(s")k+h"6s"(M+") +hM+h"

6(s"+h)(M+"):

Cela prouve ques"+happartient àI"et contredit la définition des". Doncs"= 1. Fina- lement pour tout" >0on akg(1)g(0)k6M+". En faisant tendre"vers 0 cela donne

kg(1)g(0)k6M, ce qui conclut la démonstration.Corollaire 4.6.On suppose queUest convexe. Si toutes les dérivées partielles defsont

nulles surUalorsfest constante surU. Définition 4.7.Soitfune fonction d"un domaineDdeRnà valeurs dansRp. SoitK>0.

On dit quefestK-lipschitzienne si

8x;y2 D;kf(x)f(y)k6Kkxyk:

On dit quefest lipschitzienne si elle estK-lipschitzienne pour un certainK>0. Remarque4.8.Attention, la constante de LipschitzKdépend du choix des normes surRn etRp. Par contre, par équivalence des normes, le fait qu"une fonction soit lipschitzienne ou non ne dépend pas des normes choisies. Souvent, pour montrer qu"une application est lipschitzienne, on utilise l"inégalité de la moyenne : sifest différentiable sur le convexe et s"il existeK>0tel quejjjdf(x)jjj6K pour toutx2 , alorsfestK-lipschitzienne sur Définition 4.9.On dit quefest contractante si elle estK-lipschitzienne pour un certain

K2[0;1[.

Attention, cette dernière notion dépend du choix des normes considérées...Année 2015-2016 27

L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégral4.3 Exercices Exercice4.1.On considère l"applicationf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =( x3yx

4+y2si(x;y)6= (0;0);

0sinon:

Déterminer en quels points la fonctionfest continue, admet des dérivées partielles, est différentiable. Déterminer le plus grand ouvert deR2sur lequelfestC1. Exercice4.2.On considère l"applicationf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =( xy3x

4+y2si(x;y)6= (0;0);

0sinon:

Déterminer en quels points la fonctionfest continue, admet des dérivées partielles, est différentiable. Déterminer le plus grand ouvert deR2sur lequelfestC1. Exercice4.3.On considère l"applicationf:R2!Rdéfinie parf(x;y) = inf(x2;y2): Déterminer en quels points la fonctionfest continue, admet des dérivées partielles, est différentiable. Déterminer le plus grand ouvert deR2sur lequelfestC1. On noteDla droite d"équationx=y. En dehors de cette droite la fonctionfest polynô- miale donc de classeC1(f(x;y)vautx2sous cette droite ety2au dessus). Exercice4.4.1.Montrer que sifest une fonction contractante deU RndansRnalors l"équationf(x) =xadmet au plus une solution.

2.On considère le système d"équations

x=12 sin(x+y); y=12 cos(xy): Montrer que ce problème admet au plus une solution(x;y)2R2(N.B. : on verra au théorème 7.1 commen tmon trerque ce problème admet effectiv ementu nesolution). Exercice4.5.Montrer qu"une application lipschitzienne est continue. Exercice4.6.On munitRnde la norme euclidiennekk2. Montrer que l"application x7!xkxk2 2 est de classeC1surRnn f0get déterminer sa différentielle en tout point. Exercice4.7.Soit >0. On considère l"applicationf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =( jxyjx

2+y2si(x;y)6= (0;0);

0sinon:

Déterminer pour quelles valeurs dela fonctionfest continue surR2, et pour quelles valeurs elle est différentiable surR2. Exercice4.8.Soit(fm)m2Nune suite de fonctions de classeC1d"un ouvertU Rndans R p. On suppose que cette suite converge simplement vers une fonctionf:U !Rp:

8x2 U; fm(x)!m!+1f(x):

On suppose en outre que la suite des différentiellesdfmconverge uniformément surU, c"est- à-dire que pour toutx2 Uil existe une application linéaireg(x)deRndansRptelle que sup x2Rnjjjdxfmg(x)jjj !m!+10:

Montrer que la fonctionfest de classeC1surUet déterminer sa différentielle en tout point.28 J. Royer - Université Toulouse 3

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