[PDF] Calcul différentiel I Fonctions de plusieurs variables. Exercice

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Agr´egation de Math´ematiques2006-2007

CMIUniversit´es d"Aix-Marseille

Calcul diff´erentiel I

1. Fonctions continues.

Exercice 1.Soitf:R2→R. Si pour tout (x0,y0)?R2,x?→f(x,y0) ety?→f(x0,y) sont des fonctions continues, est-ce quefest continue en (x0,y0) ? Exercice 2.Si une fonctionf:R2→Rest continue lorsqu"on la restreint `a toutes les droites passant par l"origine, est-elle continue `a l"origine ?

2. Fonctions Diff´erentiables.

D´efinition.SoientEetFdeux espaces vectoriels norm´es,Uun ouvert deEetf:U→F. On dit quefest

diff´erentiable ena?Usi et seulement si il existe une application lin´eaire continue?deEdansFtelle que

f(a+h) =f(a) +?(h) +o(?h?) lorsque h→0

On notedfal"application?que l"on appellediff´erentielle ena. Siv?E, on dit quefestd´erivable enaselon

le vecteurvsi et seulement si l"applicationt?R?→f(a+tv) d´efinie dans un voisinage de 0 est d´erivable.

On note alors

f ?v(a) = limt→0 t?=0f(a+tv)-f(a) t

SiE=Rn, on appelled´eriv´ees partielles defles d´eriv´ees defpar rapport aux vecteurs de la base canonique.

Ce sont aussi les d´eriv´ees des applications partielles x?→f(x1,...,xi-1,x,xi+1,...xn).

On les note

∂f ∂xi. SiE=RnetF=Rm, on appellematrice jacobiennedefenaet on noteJf(a) la matrice dans les

bases canoniques de l"application lin´eairedf(a). C"est aussi la matrice dont les colonnes sont les d´eriv´ees

partielles def.

Proposition et D´efinition.SiEest euclidien etfest `a valeurs r´eelles, il existe un unique vecteurvtel

que, pour touth?E, ?(a)(h) =?v,h?

o`u?·,·?d´esigne le produit scalaire surE. On appelle ce vecteur legradient defenaet on le note?f(a). Si

EestRnmuni de sa structure euclidienne canonique, alors ?f(a) =?∂f ∂x1,...,∂f∂xn?

Propri´et´e.La diff´erentielle d"une compos´ee de fonctions est la compos´ee des diff´erentielles. Voir un ´enonc´e

pr´ecis dans tout ouvrage de base (exemple : [Go], Proposition 3 page 300) Exercice 1.Soitf:Rn→Retg:R→Rnque l"on suppose diff´erentiables. Montrer quef◦gest d´erivable surRet calculer (f◦g)?(t).

2 Fonctions de plusieurs variables.Exercice 2.Soitf:R2→R. Montrer que?:t?R?→f(t,f(t,t)) est d´erivable et

calculer??en fonction des d´eriv´ees partielles def. Exemple pour v´erifier :f(x,y) =xy2. Exercice 3. [Ro]Identit´e d"Euler des fonctions homog`enes.Soient une fonction f:Rn\ {0} →R, diff´erentiable en tout point, etkune constante r´eelle. Montrer que fest homog`ene de degr´ekc"est-`a-dire que pour toutt >0, et toutx?Rn\ {0}, f(tx) =tkf(x), si et seulement si elle v´erifie l"identit´e d"Euler n? i=1x i∂f ∂xi(x) =kf(x).

On pourra d´eriver entla fonctiont-kf(tx).

Exercice 4.Est-ce que la d´erivabilit´e defselon tous les vecteurs en un pointaentraˆıne la diff´erentiabilit´e defena? Et la continuit´e ? On pourra reprendre l"exemple donn´e par [Go] :f:R2→Rd´efinie parf(x,y) =y2/xsix?= 0 etf(0,y) =you alors celui donn´e par [Po] page 268 :f:R2→Rd´efinie parf(x,y) =x2y x4+y2pour (x,y)?= (0,0) et f(0,0) = 0.

Exercice 5. [Go], [Ro]

1.SoientE,F,Gdes evn,f:E×F→Gune application bilin´eaire continue. Montrez

quefest diff´erentiable surE×Fet calculez sa diff´erentielle

2.Plus g´en´eralement, soientE1,...,Ep,Fdes evn etf:E1× ··· ×Ep→Fune

application multilin´eaire continue. Montrez quefest diff´erentiable et calculez sa diff´erentielle.

3. Diff´erentiabilit´e de la fonction puissance des matrices.Soit Φ :Mn(R)→

M n(R) d´efinie par Φ(M) =Mpo`up?N. Montrez que Φ est diff´erentiable et calculez sa diff´erentielle

4. Diff´erentielle de l"inverse d"un endomorphisme.

a.Soitn?N?. Montrez queGLn(R) est un ouvert deMn(R) et que l"application Inv:GLn(R)→GLn(R) et qui `aMassocieM-1est de classeC∞. b.SoitEun espace de Banach. On noteGL(E) l"ensemble des endomorphismes continues inversibles deEdont l"inverse est continu. On munitL(E) l"ensemble des endomorphismes continus deEde la norme classique ?u?= sup Montrez queGL(E) est ouvert dansL(E), que l"applicationInv:GL(E)? u?→u-1?GL(E) est diff´erentiable au pointIdEet calculer sa diff´erentielle en ce point (on pourra montrer que si?u?<1, alors (IdE-u) est inversible et son inverse est?up). Montrez queInvest diff´erentiable en tout point de

GL(E) et calculer sa diff´erentielle.

5. (Diff´erentielle du d´eterminant).Montrez que l"application d´eterminant sur

M n(R) est de classeC∞et calculez sa diff´erentielle au pointIn. En d´eduire que d

Mdet(H) = tr(t?MH)

o`u fois le d´eterminant de la matriceM`a laquelle on a retir´e la ligneiet la colonnej. (supposer d"abordMinversible et utiliser la densit´e des matrices inversibles).

S´erie 1.3

3. Accroissements finis.

Cas d"une variable r´eelle (Rappels).

Th´eor`eme de Rolle.Soitf: [a,b]→Rcontinue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[ telle quef(a) =f(b). Alors,

il existec?]a,b[ tel quef?(c) = 0.

Th´eor`eme des accroissements finis.Soitf: [a,b]→Rcontinue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. Alors, il

existec?]a,b[ tel quef?(c) =f(b)-f(a) b-a.

In´egalit´e des accroissements finis.Soitf: [a,b]→Rcontinue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. Si il existe

Exercice 1.Prouver les trois th´eor`emes pr´ec´edents.

Remarque.Les th´eor`emes de Rolle et des accroissements finis sont faux sifn"est plus `a valeurs dansR

(consid´erer par exemplef: [0,2π]?t?→eit?C).

Par contre, l"in´egalit´e des accroissements finis reste vraie si on remplace les valeurs absolues par des normes,

comme le prouve le th´eor`eme suivant (par exemple [Go], page 72 ou [De], page 88) :

THEOREME (In´egalit´e des accroissements finis g´en´eralis´ee).SoitFun evn. Soitf: [a,b]→F

continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[ et soitg: [a,b]→Rune fonction continue, d´erivable sur ]a,b[ . Si pour

Corollaire (In´egalit´e des accroissements finis).SoitFun evn. Soitf: [a,b]→Fcontinue sur [a,b],

Et on a aussi le r´esultat suivant, dont la preuve est laiss´ee en exercice (utiliser les sommes de Riemann): (cf.

[Po], page 89) Proposition.Si la fonctionf: [a,b]→Eest de classeC1o`uEest un espace de Banach et si ?x?[a,b], f?(x)?C o`uCest un convexe ferm´e, alors f(b)-f(a) b-a?C. Exercice 2.Soitf: [a,b]→R2de classeC1. Montrez qu"il existec?]a,b[ tel quef?(c) soit colin´eaire `af(b)-f(a) (introduire la fonctiong(t) = det[f(b)-f(a),f(t)-f(a)]).

Cas de plusieurs variables.

THEOREME (In´egalit´e des accroissements finis).Soitf:U?E→Fo`uE etFsont deux evn etUun ouvert deE. Soit (a,b)?U2tel que le segment [a,b] soit inclus dansU. Sifest continue sur [a,b], diff´erentiable en tout point de ]a,b[ et s"il

4 Fonctions de plusieurs variables.Exercice 3.A l"aide de l"in´egalit´e des accroissements finis g´en´eralis´ee, prouver ce

th´eor`eme. THEOREME.Soitf:U?Rn→Fune application, o`uUest un ouvert deRnetFun evn. Si toutes les

d´eriv´ees partielles defsurUexistent et si elles sont continues ena?U, alorsfest diff´erentiable enaet

df a=n? i=1∂f ∂xi(a)dxi o`u lesdxid´esignent la base duale de la base canonique deRn. Exercice 4.A-t"on la r´eciproque du th´eor`eme pr´ec´edent ? Exercice 5.On se propose de montrer le th´eor`eme pr´ec´edent.

1.Montrer qu"il suffit de montrer que

f(a+h)-f(a)-n? i=1∂f ∂xi(a)hi=o(?h?) quandh→0.

2.Montrer quef(a+h)-f(a) =n?

i=1[f(a1+h1,...,ai+hi,ai+1,...,an) -f(a1+h1,...,ai-1+hi-1,ai,...,an)] (l"´ecriture ci-dessus n"est pas coh´erente, mais se comprend ais´ement).

3.A l"aide du th´eor`eme des accroissements finis en une variable, conclure.

4. D´eriv´ees partielles d"ordre sup´erieur.

D´efinition.Soitp?N. On dit qu"une fonction d´efinie sur un ouvert deRn`a valeurs dans un espace norm´e

est de classeCpsi toutes les d´eriv´ees partielles defd"ordre inf´erieur ou ´egal `apexistent et sont continues.

D´efinition (matrice Hessienne).On appelle ainsi la matrice form´ee des d´eriv´ees partielles defd"ordre

2 :

Hf(x) =?∂2f

∂xi∂xj(x)?

Th´eor`eme de Schwarz.Soitf:U?R2→R, o`uUest un ouvert deR2telle quefadmette des d´eriv´ees

partielles∂2f/∂x∂yet∂2f/∂y∂x, continues en un point (x,y) deU. Alors 2f ∂x∂y(x,y) =∂2f∂y∂x(x,y). Exercice 1.On se propose de prouver le th´eor`eme de Schwarz. Pourhetkassez petits, on pose

δ(h,k) =f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k) +f(x,y)

S´erie 1.5

En consid´erant la fonction

?:X?→f(X,y+k)-f(X,y) et en appliquant 2 fois le th´eor`eme des accroissements finis, montrez l"existence deθ1et

2dans ]0,1[ tels que

δ(h,k) =hk∂2f

∂y∂x(x+θ1h,y+θ2k) De mˆeme, montrez l"existence deθ3etθ4dans ]0,1[ tels que

δ(h,k) =hk∂2f

∂x∂y(x+θ3h,y+θ4k).

Conclure.

Exercice 2. Exemple de P´eano. [Go]On consid`ere l"applicationf:R2→Rqui `a (0,0) associef(0) et qui `a (x,y)?= (0,0) associe f(x,y) =xyx2-y2 x2+y2.

Montrer que les d´eriv´ees partielles

∂2f ∂x∂y(0,0) et∂2f∂y∂x(0,0) existent mais ne sont pas

´egales.

Exercice 3. [Go]Montrez que sif:R2→Rest une fonction de classeC2et si?:R?×R→Rest l"application qui `a (r,θ) associe (rcosθ,rsinθ), l"application

F=f◦?est de classeC2et

Δf=∂2f

2F∂θ.

Exercice 4. [Po]Soitfde classeC2deR2dansRv´erifiant 2f ∂x2-∂2f∂y2= 0. Par le changement de variablesu=x+y,v=x-y, d´eterminer la forme def.

5. Formules de Taylor.

THEOREME (Formule de Taylor-Lagrange).Soitf:U?Rn→R(o`uUest un ouvert deRn) une application de classeCpsurU. Soitx?Rn,h?Rntels que le segment [x,x+h] ={x+th,t?[0,1]}soit inclus dansU. Alors il existeθ?]0,1[ tel que f(x+h) =f(x) +? n? i=1h i∂ ∂xi? f(x) +12!? n? i=1h i∂∂xi? 2 f(x) +··· +···+1 (p-1)!? n? i=1h i∂∂xi? p-1 f(x) +1p!? n? i=1h i∂∂xi? p f(x+θh)·

6 Fonctions de plusieurs variables.avec la convention que?

h i∂ ∂xi?? h j∂∂xj? =hihj∂2∂xi∂xj ce qui nous donne, pourk? {1,...,p} n? i=1h i∂ ∂xi? k f(a) =? i par analogie avec la formule ?(a1,...,an)?Rn,(a1+···+an)k=? i

1+···+in=kk!

i1!···in!ai11···ainn

Remarque.Attention, comme pour l"´egalit´e des accroissements finis, ceci n"est vrai que pour les fonctions `a

valeurs r´eelles. Pour les fonctions `a valeurs vectorielles, on dispose par contre de la formule de Taylor-Lagrange

avec reste int´egral et de la formule de Taylor-Young. THEOREME (Formule de Taylor avec reste int´egral).Soitf:U?Rn→Rm(o`uUest un ouvert de R n) une application de classeCpsurU. Soitx?Rn,h?Rntels que le segment [x,x+h] ={x+th,t?[0,1]} soit inclus dansU. Alors f(x+h) =f(x) +? n? i=1h i∂ ∂xi? f(x) +12!? n? i=1h i∂∂xi? 2 f(x) +··· +···+1 (p-1)!? n? i=1h i∂∂xi? p-1 f(x) +? 1

0(1-t)p-1(p-1)!?

n? i=1h i∂∂xi? p f(x+th)dt. THEOREME (Formule de Taylor-Young).Soitf:U?Rn→Rm(o`uUest un ouvert deRn) une application de classeCpsurU. Soitx?Rn,h?Rntels que le segment [x,x+h] ={x+th,t?[0,1]}soit inclus dansU. Alors f(x+h) =f(x) +? n? i=1h i∂ ∂xi? f(x) +12!? n? i=1h i∂∂xi? 2 f(x) +···+1p!? n? i=1h i∂∂xi? p f(x) +o(?h?p). Exercice 1.Prouver les th´eor`emes pr´ec´edents (se ramener au cas d"une fonction d"une variable r´eelle en consid´erantt?→f(x+th)). Exercice 2.Soitf:R→Rune application de classeCp. Montrez que

F(x,y) =f(x)-f(y)

x-ysix?=yetF(x,x) =f?(x) est de classeCp-1. Exercice 3 (Lemme d"Hadamard) [Go].Soitf:Rn→Rune fonction de classe C

1.On supposef(0) = 0. Montrez que l"on peut ´ecrire

f(x1,...,xn) =n? i=1x igi(x) o`u pour touti,gi:Rn→Rest de classeC∞

S´erie 1.7

2.Si de plusdf0= 0, montrez que l"on peut ´ecrire

f(x) =? ixjhi,j(x) o`u pour tout (i,j),hi,j:Rn→Rest de classeC∞.

6. Extr´emas libres.

D´efinition.Soitf:U→Rune application d´efinie sur un ouvertUd"un evn. Soita?U. - On dit queaest unmaximum localdefsi et seulement si il existe un voisinageVdeatel que, pour - On d´efinit de mˆeme les notions de minimum local ou global. - On dit queaest unextremum global(resp. local) si et seulement siaest un minimum ou un maximum global (resp.local).

La proposition suivante est fondamentale et fournit une condition n´ecessaire mais non suffisante pour qu"un

pointa?Usoit un extremum local.

Proposition.Soitf:U→Rune application d´efinie sur un ouvertUd"un evn et diff´erentiable surU. Soit

a?U. Siaest un extremum local def, alorsdfa= 0.

Remarque.La conclusion est fausse sifest diff´erentiable sur un ouvert contenantUet sia?∂U. De plus,

la condition n´ecessaire donn´ee pr´ec´edemment n"est passuffisante.

Cependant, moyennant des d´eveloppements limit´es def`a l"ordre 2, il est possible de donner des conditions

suffisantes : Proposition.Soitf:U?Rn→Rune fonction de classeC2. On suppose qu"il existea?Utel quedfa= 0.

D"apr`es la formule de Taylor-Young, on a

f(a+h) =f(a) +1

2Q(h) +o(?h?2)

o`u

Q(h) =?

n? i=1h i∂ ∂xi? 2 f(x) =n? i=1h i∂2f∂xi(a) + 2?

2f∂xi∂xj(a)hihj

Alors (i) Sifadmet un minimum (resp.maximum) local ena,Qest positive (resp.n´egative).

(ii) SiQest d´efinie positive (resp.d´efinie n´egative) ena, alorsfadmet un minimum (resp.maximum)

local ena. Cas particulier de la dimension 2.Notations de Monge p=∂f

∂x(a), q=∂f∂y(a), r=∂2f∂x∂y(a), s=∂2f∂x∂y(a), t=∂2f∂2y(a).

On supposep=q= 0.

- sirt-s2>0 etr >0,fadmet un minimum local ena; - sirt-s2>0 etr <0,fadmet un maximum local ena; - sirt-s2<0,fn"admet pas d"extremum local ena(point selle ou point col) - sirt-s2= 0, on ne peut pas conclure.

8 Fonctions de plusieurs variables.Exercice 1.Prouver les r´esultats ´enonc´es pr´ec´edemment.

Exercice 2.Etudier les extremas locaux et globaux de la fonctionf:R2?(x,y)?→x4+ y

4-2(x-y)2. ([Go], [Po]) De mˆeme avec la fonctionf:R2?(x,y)?→x2y-xy2+xy?R.

Exercice 3. (Lemme de Rolle en dimensionn)[Go].SoitS={x?Rn,?x?= 1}. Soitf:Rn→Rune fonction diff´erentiable telle quef|Ssoit constante. Montrer qu"il existex0?Rntel que?x0?<1 etdfx0= 0. Exercice 4. [Po]Montrer que la restriction d"une fonctionfde classeC1deRndansR `a la boule unit´e pr´esente au moins deux extrema. Prouver qu"aux points o`u le maximum est atteint, le gradient defest soit nul, soit sortant (interpr´eter). Exercice 5. Principe du maximum [Go].Soitf:Rn→Rde classeC2. On d´efinit le Laplacien defpar

Δf=n?

i=1∂ 2f ∂x2i.

SoitUun ouvert born´e deRn.

a.Si Δf >0 pour toutx?U, montrer que pour toutx?U, f(x)0, consid´ererg(x) =f(x) +ε(?ni=1x2i)) c.En d´eduire qu"il existe au plus une solutionudu probl`eme de Dirichlet Δu= 0 dansUetu|∂U=fo`ufest continue sur∂U. Exercice 6. Exemples d"applications du th´eor`eme des extremas libres [Go]. (pr´esent´es comme applications du th´eor`eme des extremas li´es dans [Go], alors que ce n"en sont pas !) a.Soientn?N?,n≥2 ets >0. On consid`ere l"applicationf:Rn?(x1,...,xn)?→ x

1···xnet on pose Γ ={(x1,...,xn)?(R+)?ni=1xi=s}. Etudier le maximum

global defrestreinte `a Γ. Retrouver ainsi l"in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique.

b.Soienta1,...,andes r´eels>0 tels quea1+···+an= 1 (avecn≥2). D´emontrer quen? i=1a n2n

S´erie 1.9

7. Prolongements et compl´ements.

Exercice 1 (D´erivations) [Go]Soitn?N?. On noteG∞0l"ev des fonctions `a valeurs r´eelles, d´efinies sur un voisinage de 0 dansRnet de classeC∞. SoitLune application deG∞0dansRtelle que i.Lest lin´eaire ii. pour toutf,g?G∞0,L(fg) =f(0)L(g) +L(f)g(0) iii.L(1) = 0 (On dit queLest une d´erivation). Montrez qu"il existeξ?Rntel queL(f) = f ?ξ(0) =df0(ξ) pour toutf?G∞0(on pourra utiliser le lemme d"Hadamard). Exercice 2. (Fonctions convexes) [Po]Soit Ω un ouvert convexe deRnetfune application deRndansR. On dit quefest convexe ssi

1. a.Montrer quefest convexe ssi, pour tout (x,y)?Ω×Ω, l"application de [0,1] dans

Rqui `atassocief(tx+ (1-t)y) est convexe.

b.Montrer que, sifpr´esente un minimum local ena, elle atteint en fait son minimum global ena.

2.On supposefconvexe etC1.

a.Montrer que, pour tout (x,y)?Ω, f(y)≥f(x) +??f(x),y-x?(i) et??f(x)- ?f(y),y-x? ≥0 (ii) b.Prouver que (i) ou (ii) entraˆıne quefest convexe. c.En d´eduire que?f(a) = 0 entraˆıne quefatteint son minimum global enaet en d´eduire l"existence de fonctions affines qui minorentf. d.Application : Si Ω =Rn, montrer que pour toutε >0 et touta?Rn, la fonc- tionx?→f(x) +ε?x-a?2poss`ede un minimum global surRn. En d´eduire que l"applicationx?→ ?f(x) + 2εxest un hom´eomorphisme deRnsurRn.

3.On supposefconvexe de classeC2. Montrer que pour toutx?Ω, la matrice

Hessienne defenxest sym´etrique et positive. R´eciproque ? Probl`eme. Principe du maximum pour un op´erateur elliptique. [QZ], [Ro]. SoitUun ouvert born´e deRn. On note∂Ule bord deU. On se donne un op´erateur diff´erentiel lin´eaireLqui agit sur les fonctionsude classeC2dansUet `a valeurs r´eelles grˆace `a la formule Lu=n? i,j=1aquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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