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Université Paris 7 - Denis DiderotAnnée 2005/2006

Licence 2 - MIASMI4

Fonctions de plusieurs variables

1 Notions de dérivée

1.1 Prologue

Avant d"expliquer les notions de dérivées pour les fonctions de plusieurs variables, il est utile de

se rappeler comment on procède pour définir la dérivée d"une fonction d"une variable. Soit]a,b[

un intervalle deR,f:]a,b[-→Rune fonction continue etx0?]a,b[. Une première façon de dire quefest dérivable enx0consiste à regarder le taux de variation f(x0+t)-f(x0) t,pourt?= 0etx0+t?]a,b[,

et à demander que ce rapport admette une limite lorsquettend vers0. Nous ferons référence à ce

point de vue comme étant celui deNewton-Leibniz, ces deux illustres savants en étant à l"origine.

Il existe un autre procédé, plus géométrique. Nous dessinons le grapheΓf:={(x,f(x))? ]a,b[×R|x?]a,b[}et pour toutx?]a,b[différent dex0, nous traçons la droiteΔxpassant par les deux points(x0,f(x0))et(x,f(x)). Lorsque l"on fait tendrexversx0, on demande que abxxf(x) 0 Fig.1 - La droiteΔxpassant par les deux points(x0,f(x0))et(x,f(x))et le graphe def

la droiteΔxse positionne asymptotiquement vers une limiteΔx0, qui sera visualisée géométri-

quement comme la droite tangente àΓfau point(x0,f(x0)). Nous ferons référence à ce point

abxf(x) 0 Fig.2 - La droite limiteΔx0est la tangente àΓfau point(x0,f(x0)) de vue comme étant celui deFermat. Notons que l"on peut qualifier la droite tangente en disant que c"estla droite qui approche le mieux le graphe defau voisinage du point(x0,f(x0)). La dérivabilité defenx0se formulera en disant que : 1 - le taux de variationf(x0+t)-f(x0)tadmet une limite, que l"on noteraf?(x0)et que l"on appellera la dérivée defenx0, si l"on adopte le point de vue de Newton-Leibniz, - la droiteΔxadmet une limiteΔx0lorsquextend versx0, que l"on appellera la droite tangente au graphe defau point(x0,f(x0)), si l"on adopte le point de vue de Fermat. On fait le lien entre les deux points de vue en remarquant que f(x0+t)-f(x0) test lapentede la droiteΔxet sa limitef?(x0)est la pente de la droite tangenteΔx0. Nous allons voir qu"essentiellement, si on cherche à transposer ces deux points de vue à des

fonction à valeurs réelles de plusieurs variables, on obtient deux définitions différentes.

1.2 Dérivation selon un vecteur

On se place dorénavant dansRnmuni des normes||·||2,||·||∞, etc. (noter que, grâce aux résultats

obtenus au chapitre précédent, on sait que le choix de la norme est indifférent pour tout ce qui

concerne les notions de limite). On note(e1,···,en)la base canonique deRn. SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction,a?Uetv?Rnun vecteur. CommeUest ouvert eta?U, il exister >0tel que la boule ouverteB2(a,r) :={x?Rn| ||x-a||2< r}soit incluse dansU. En particulier, pour toutt?]-r ||v||2,r||v||2[, on a : ||tv||2< r??a+tv?B2(a,r) =?a+tv?U.

Ainsi l"application

-r ||v||2,r||v||2? -→R t?-→f(a+tv) est bien définie. Ua v

Fig.3 - Sit?]-r||v||2,r||v||2[, alorsa+tv?U

Définition 1SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction,a?Uetv?Rnun vecteur.

On dit que"fest dérivable enadans la directionv»ssi la fonctiont?-→f(a+tv)est dérivable

en 0. Alors on note D vf(a) := limt→0f(a+tv)-f(a) t(1) et on appelle cette quantité ladérivée defdans la directionvena. Remarque 1- Cette notion n"a d"intérêt que siv?= 0. Par ailleurs sivetwsont deux vecteurs non nuls et colinéaires, c"est à dire, s"il existeλ?R?tel quew=λv, alors f(a+tw)-f(a) 2

oùs:=λt. Et donc on voit quef(a+tw)-f(a)tadmet une limite lorsquet→0ssif(a+sv)-f(a)sadmet une limite lorsques→0. Donc "fest dérivable enadans la directionv» ssi "fest

dérivable enadans la directionw». Enfin en passant à la limite dans l"identité ci-dessus, on

obtient que : D

λvf(a) =Dwf(a) =λDvf(a).

Remarque 2-En pratique, nous n"utiliseronsque des dérivés dans les directions e

1,···,en, où(e1,···,en)est la base canonique deRn. Nous utilisons alors une notation spéciale

pour désignerDekf(a): on note ∂f ∂xk(a) :=Dekf(a) := limt→0f(a+tek)-f(a)t.

On appellera

∂f ∂xkla" dérivée partielle defpar rapport à la variablexk». Analysons le sens de

cette limite. Soit(x1,···,xn)les coordonnées deadans la base(e1,···,en). Alors les coordonnées

dea+teksont :

Ainsi, pour calculer

∂f ∂xk(a), on calcule la limite lim t, c"est à dire :on gèle toutes les variablesxj, pourj?=k, et on dérive par rapport àxk. Autrement dit, on se ramène à la dérivation d"une fonction d"une variable! Exemple- Prenons la fonctionfdéfinie surR2par : f(x,y) =x2cosy

et cherchons sa dérivée partielle par rapport àxpour toute valeur de(x,y). Pour cela on gèle

y(qui joue donc momentanément le rôle d"un paramètre) et on dérive par rapport àx. Cela

donne :∂f ∂x(x,y) = 2xcosy.

De même, si on veut calculer la dérivée partielle defpar rapport ày, on gèle la variableyet

on dérive par rapport àx:∂f ∂y(x,y) =-x2siny. Remarque 3- Enfin nous pouvons observer que la définition de la dérivée que nous venons

de voir est une généralisation aux fonctions de plusieurs variables du concept de dérivée selon

Newton-Leibniz.

Définition 2SoitUun ouvert deRnetf:U-→Rune fonction - Sifadmet une dérivée dans la directionven tout pointadeU, on dit alors que : "fadmet une dérivée dans la directionvsurU» - Si pour toutk?[[1,n]],fadmet une dérivée dans la directioneksurUet si toutes les fonctions ∂f ∂xk:U-→R x?-→∂f ∂xk(x) sont continues, on dit que : "fest de classeC1surU». 3

1.3 Différentielle d"une fonction de plusieurs variablesL"idée est à présent de s"inspirer du point de vue de Fermat : la dérivée doit contenir l"information

qui permet de trouver la meilleure approximation du graphe defau voisinage d"un point(a,f(a)) qui soit un hyperplan. En effet, nous notons que, sifest une fonction d"un ouvertUdeRnversR, alors son grapheΓf:={(x,f(x))?Rn×R|x?U}est une hypersurface deRn+1. Au voisinage d"un point(a,f(a)), il est donc normal d"essayer d"approcherΓfpar un hyperplan passant par

(a,f(a)). Cet hyperplan peut être lui-même construit en prenant le graphe d"une fonction affine

F(x) =α+?(x),où?:Rn-→Rest linéaire.

Le plus difficile dans l"histoire consiste à trouver la meilleure forme linéaire?. Car, une fois que

l"on a fixé?, on en déduit facilementα: pour cela on demande queΓFpasse le point(a,f(a))1

et donc quef(a) =F(a), ce qui entraîneα=f(a)-?(a)et doncF(x) =f(a)-?(a) +?(x) = f(a) +?(x-a). Supposons donc queαsoit tel quef(a) =F(a). On va choisir?de façon à ce quef(x)soit très

très proche deF(x)lorsquexest très proche dea. De façon plus précise, il est raisonable de

demander que le rapport f(x)-F(x) x-atende vers0lorsquex→a.

PuisqueF(x) =f(a) +?(x-a), cela signifie que :

f(x)-f(a)-?(x-a) x-atende vers0lorsquex→a. Définition 3SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction eta?U. On dit que"fest différentiable ena»ssi il existe une application linéaire?:Rn-→Rtelle que lim h?B(0,r);h→0f(a+h)-f(a)-?(h) h= 0.(2)

Ou encore :

?a+h?U, f(a+h) =f(a) +?(h) +||h||ε(h),

où||·||est une norme (quelconque) etε(h)est une fonction qui s"annule en0et qui est continue

en0(donc en particulierlimh→0ε(h) = 0). La forme linéaire?est alors unique, est appelée" la

différentielle defena»et est notée df a:=?.

Remarque 1- Une des différence avec la définition de la dérivabilité dansla direction d"un

vecteur est que la limite dans (1) était la limite d"une fonction définie surR, tandis que la limite

dans (2) est la limite d"une fonction définie sur un ouvert deRnet donc nécessite les notions de

topologies vues au chapitre précédent pour être définie correctement. Remarque 2- Ainsi, sifadmet une différentielledfaena, alors on a : ?a+h?U, f(a+h) =f(a) +dfa(h) +||h||ε(h),oùlimh→0ε(h) = 0.

Exemples de fonctions différentiable

1c"est la moindre des choses si on demande que le grapheΓFdeFapprocheΓfau voisinage du point(a,f(a))

4 a) Les fonctions affines.Soitf:Rn-→Rune fonction affine, c"est à dire de la forme f(x) =α+?(x),oùα?Ret??(Rn)?.

Alors, pour touta?Rn,

f(a+h) =α+?(a+h) =α+?(a) +?(h) =f(a) +?(h) et?est linéaire. Doncfadmet une différentielle ena, qui est?; i.e.dfa=?. Ainsi l"application df:Rn-→(Rn)?est constante et est égale à?partout. b) La somme de deux fonctions différentiables.SoitU?Rnun ouvert etfetgdeux applications différentiables deUversR. Alors la somme f+g:U-→R x?-→f(x) +g(x) est différentiable surUet,?a?U, d(f+g)a=dfa+dga. La preuve est immédiate et est laissée au lecteur à titre d"exercice. c) Le produit de deux fonctions différentiables.SoitU?Rnun ouvert etfetgdeux applications différentiables deUversR. Alors le produit fg:U-→R x?-→f(x)g(x) est différentiable surUet,?a?U, d(fg)a=f(a)dga+g(a)dfa.

En effet nous avons,?a?U,

f(a+h) =f(a) +dfa(h) +||h||ε1(h)etg(a+h) =g(a) +dga(h) +||h||ε2(h). et en multipliant ces deux identités entre elles : f(a+h)g(a+h) =f(a)g(a) +f(a)dga(h) +g(a)dfa(h) +[dfa(h)dga(h) +||h||(ε1(h)(g(a) +dga(h)) +ε2(h)(f(a) +dfa(h)))],

et on vérifie que le terme entre crochets est de la forme||h||ε(h), oùlimh→0ε(h) = 0.

d) La composition d"une fonction différentiable avec une fonction dérivable.SoitU? R

nun ouvert,f:U-→Rune fonction différentiable,]α,β[un intervalle deRetg:]α,β[-→R

une fonction dérivable.On suppose que l"imagef(U)defest contenue dans]α,β[. Alors g◦f:U-→R x?-→g(f(x)) est différentiable surUet,?a?U, f(g◦f)a=g?(f(a))dfa. 5

En effet nous avons,?a?U,

f(a+h) =f(a) +dfa(h) +||h||ε(h) et, poury?Rtel quef(a) +y?]α,β[, g(f(a) +y) =g(f(a)) +g?(f(a))y+|y|θ(y). Substituonsy=dfa(h) +||h||ε(h)dans cette dernière relation : nous obtenons g◦f(a+h) =g(f(a) +dfa(h) +||h||ε(h)) =g(f(a)) +g?(f(a))(dfa(h) +||h||ε(h)) +|dfa(h) +||h||ε(h)|θ(dfa(h) +||h||ε(h)) =g(f(a)) +g?(f(a))dfa(h) +||h||ε?(h), où l"on peut vérifier que ?(h) =g?(f(a))ε(h) +|dfa(h) +||h||ε(h)| ||h||θ(dfa(h) +||h||ε(h)) tend vers 0 lorsqueh→0. Doncg◦fest bien différentiable enaetd(g◦f)a=g?(f(a))dfa. Exercice- A partir des exemples et des résultats précédents, démontrer que : - tout polynôme

P(x) =?

(k1,···,kn)?[[1,N]]na k1···kn(x1)k1...(xn)kn

denvariables réelles définit une fonction différentiable surRn. ExprimerdPxdans le cas où

Pest un polynôme de degréNégal à 2 (autrement dit, siPest une forme quadratique) - toute fraction rationnellef=P Q(oùPetQsont des polynômes denvariables réelles) définit une fonction différentiable surU:={x?Rn|Q(x)?= 0}. - la fonctionf:R2-→R (x,y)?-→ex2

1 +x2+y2

est différentiable surR2. Calculer sa différentielle en tout point(x,y)?R2.

1.4 Lien entre les deux notions de dérivation

La chose la plus évidente est que la notion d"application différentiable est plus forte que celle de

fonction dérivable selon un vecteur. C"est l"objet du résultat suivant. Proposition 1SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction eta?U. Sifest différen- tiable ena, alors pour tout vecteurv?Rn,fest dérivable enadans la directionvet D vf(a) =dfa(v). Démonstration- Supposons quefest différentiable ena. Cela nous donne en particulier que, pour toutv?Rn, f(a+tv) =f(a) +dfa(tv) +||tv||ε(tv),oùlimh→0ε(h) = 0. Nous utilisons cette relation pour écrire le taux de variations f(a+tv)-f(a) t=tdfa(v) +|t| · ||v||ε(tv)t=dfa(v) +signe(t)ε(tv). 6

Il est alors immédiat quef(a+tv)-f(a)tadmet une limite lorsquettend vers0, qui est égale àdfa(v).

Il est naturel de se demander si la réciproque est vraie. Là, les choses sont un peu plus compli-

quées. Il s"agit en effet de savoir si, étant donnée une fonctionf:U-→Reta?U, on peut

déduire du fait quefest dérivable enadans suffisament de directions le fait que est différentiable

ena. D"abord il semble raisonable de supposer que ce type de résultat n"ait lieu que si on sait

quefest dérivable par rapport à au moinsnvecteurs qui sont linéairement indépendants. Mais

cela n"est en fait pas suffisant, comme le montre l"exemple quisuit.

Exemple- Nous considérons la fonction

f:R2-→R (x,y)?-→3x2y-y3 x2+y2,si(x,y)?= 0 et nous posonsf(0,0) = 0, de sorte quefest continue surR2(exercice : vérifier!). Nous laissons

au lecteur (encore à titre d"exercice) le soin de montrer quefest différentiable en tout point de

R

2\{(0,0)}et examinons ici ce qui se passe en0 = (0,0). Pour toutθ?R, soitv:= (cosθ,sinθ).

Alors pour toutt?R?, on a

f(0 +tv)-f(0)

t=f(tv)t=3t3cos2θsinθ-t3sin3θt(t2cos2θ+t2sin2θ)=3cos2θsinθ-sin3θcos2θ+ sin2θ= sin(3θ).

Nous voyons que cette quantité est indépendante det, donc en particulier admet une limite

lorsquet→0, égale àsin(3θ). Or cette limiten"est pas une fonction linéaire dev, donc

fne peut pas être différentiable en0. En effet supposons quefsoit différentiable en

0. Alors, d"après la proposition précédente, on devrait avoirlimt→f(tv)

t=df0(v), c"est à dire 3cos

2θsinθ-sin3θ=dfa(cosθ,sinθ), ce qui est bien sûr impossible (puisquedfaest linéaire,

on doit avoirdfa(cosθ,sinθ) =αcosθ+βsinθ). Doncfn"est pas différentiable en0. Interprétation géométrique :le graphe defest un cone de sommet{(0,0,0)}, c"est à dire

une surface qui est la réunion d"une famille à un paramètre dedemi-droites deR2×Rqui passent

toutes par l"origine. En particulier il n"y a pas de plan tangent au sommet du cone.

Nous allons voir maintenant, qu"avec des hypothèses plus fortes, nous avons une réciproque à la

proposition précédente. Théorème 1SoitUun ouvert deRnetf:U-→Rune fonctionde classeC1, c"est à dire qui admet une dérivée ∂f ∂xk(a)dans la directionekena, pour toutk?[[1,n]]et pour touta?U, et telle que,?k?[[1,n]],x?-→∂f ∂xk(x)est continue surU. Alorsfest différentiable en chaque point deU. De plus on a, en tout pointa?U, ?x?U, dfa(x) =n? k=1D ekf(a)xk=n? k=1∂f ∂xk(a)xk. Démonstration- Pour simplifier la démonstration, nous ne donnons la preuveque pour le cas m= 2. L"idée est d"écrire, pourx1etx2petits, f(a+ (x1,x2))-f(a)-x1∂f ∂x1(a)-x2∂f∂x2(a) =? f(a+ (x1,x2))-f(a+ (x1,0))-x2∂f∂x2(a)? f(a+ (x1,0))-f(a)-x1∂f ∂x1(a)? 7 et d"évaluer chacun des termes séparément. Par exemple pourle premier terme, nous observons que, puisqueDe2fexiste partout, la fonction t?-→f(a+ (x1,tx2)) est dérivable (et donc continue) sur[-1,1]et sa dérivée entvautx2∂f ∂x2(a+(x1,tx2)). Donc nous

pouvons lui appliquer le théorème des accroissements finis entre les valeurs0et1:?θ?]0,1[tel

que f(a+ (x1,x2))-f(a+ (x1,0)) =x2∂f ∂x2(a+ (x1,θx2)),

En faisant de même avect?-→f(a+(tx1,0)), nous obtenons qu"il existe un réelτ?]0,1[tel que

f(a+ (x1,0))-f(a) =x1∂f ∂x1(a+ (τx1,0)).

Ainsi nous avons :

f(a+ (x1,x2))-f(a)-x1∂f ∂x1(a)-x2f∂f∂x2(a) =x2?∂f∂x2(a+ (x1,θx2))-∂f∂x2(a)? +x1?∂f ∂x1(a+ (τx1,0))-∂f∂x1(a)? (3) aa + (x , 0)a + (x ,x ) a + (x , x )a + (0, x ) a + ( x , 0)τθ 1

11 21 22

Fig.4 -

Utilisons à présent le fait queDe1fetDe2fsontcontinues: pour toutε >0, il existeη >0tel que ||x||∞< η=? ||∂f ∂xk(a+x)-∂f∂xk(a)||< ε.

Nous choisissons alorsxtel que||x||∞< ηet lui appliquons l"identité (3). Cela entraîne (en

remarquant qu"alors||(τx1,0)||∞< ηet||(x1,θx2)||∞< η) : ?f(a+ (x1,x2))-f(a)-x1∂f ∂x1(a)-x2∂f∂x2(a)???? x1?∂f ∂x1(a+ (τx1,0))-∂f∂x1(a)? +x2?∂f∂x2(a+ (x1,θx2))-∂f∂x2(a)? Donc lim ||x||→0|f(a+ (x1,x2))-f(a)-x1∂f ∂x1f(a)-x2∂f∂x2(a)| ||x||= 0.

Et cela prouve quefest différentiable ena.

8

1.5 Le théorème des accroissements finisPour étendre le théorème des accroissements finis au cas de plusieurs variables, nous avons

besoin en premier lieu de trouver par quoi nous devons remplacer un intervalle deR: par un sous-ensemble convexe deRn. D"abord, siaetbsont deux points deRn, nous définissons les intervalles [a,b] :={a+t(b-a)|t?[0,1]} ?Rnet]a,b[:={a+t(b-a)|t?]0,1[} ?Rn. Puis nous dirons qu"un sous-ensembleU?Rnestconvexessi?a,b?U, on a[a,b]?U. Théorème 2SoitUun ouvert convexe deRnetf:U-→Rune fonction de classeC1. Alors, pour touta,b?U,?c?]a,b[tel que f(b)-f(a) =n? i=1∂f ∂xi(c)(bi-ai). Démonstration- Soit?(t) :=f(a+t(b-a))-f(a)-(f(b)-f(a))t. D"après les hypothèses,? est une fonctionC1sur[0,1]et?(0) =?(1) = 0. Nous pouvons donc appliquer le théorème de Rolle à?:?θ?]0,1[tel que??(θ) = 0, ce qui est équivalent à : n i=1∂f ∂xi(a+θ(b-a)) =f(b)-f(a) et cela nous donne le résultat avecc=a+θ(b-a).

1.6 Applications de classeC2

SoitU?Rnun ouvert etf:U-→Rune fonction. Rappelons quefestC1ssifadmet des dérivées partielles ∂f ∂xk(x) :=Dekf(x)en chaque pointxdeUet pour toutk?[[1,n]]et si, ?k?[[1,n]], la fonction∂f ∂xk:U-→Rest continue. Définition 4On dit que la fonctionf:U-→Rest de classeC2ssifest de classeC1, ?k?[[1,n]], la fonction∂f ∂xk:U-→Rest différentiable et, pour toutj,k?[[1,n]], la fonction dérivée seconde partielle ∂?∂f ∂xk? ∂xj:U-→R est continue surU. On a alors le résultat suivant, appelé "lemme de Schwarz». Théorème 3Soitf:U-→Rune fonction de classeC2. Alors on a,?j,k?[[1,n]], ?a?U,∂?∂f ∂xk? ∂xj(a) =∂?∂f ∂xj? ∂xk(a). Démonstration- Fixonst,s?R?tels quea+tejeta+seksoient dans la bouleB(a,r)?U. Nous allons calculer de deux façons différentes la quantité

Q:=f(a+tej+sek)-f(a+tej)-f(a+sek) +f(a).

9 aa + te + se a + tea + se jjkk Fig.5 -Qest la somme des valeurs defprises aux quatre sommets du rectangle avec des coefficients qui sont alternativement+1et-1

1.Une famille continue et horizontale de sauts verticaux(cf. figure 1.6). Soit?(α) :=f(a+

αte

j+sek)-f(a+αtej),?α?[0,1]. AlorsQ=?(1)-?(0). Commefest de classeC1, on peut appliquer une première fois la formule des accroissements finis :?θj?]0,1[tel que

Q=?(1)-?(0) =??(θj) =∂f

Et commefest de classeC2on peut appliquer une deuxième fois le théorème des accrois- sements finis pour obtenir :?θk?]0,1[tel que

Q=∂?∂f

∂xj? ∂xk(a+θjtej+θksek)ts.

2.Une famille continue et verticale de sauts horizontaux. Soitψ(β) :=f(a+tej+βsek)-

f(a+βsek),?β?[0,1]. Alors on a aussiQ=ψ(1)-ψ(0). En appliquant un raisonnement analogue, on obtient :?τk?]0,1[tel que

Q=ψ(1)-ψ(0) =ψ?(θ) =∂f

Puis?τj?]0,1[tel que

Q=∂?∂f

∂xk? ∂xj(a+τjtej+τksek)ts.

On en déduit (en simplifiant parts) que

?∂f ∂xj? ∂xk(a+θjtej+θksek) =∂?∂f ∂xk? ∂xj(a+τjtej+τksek). On fait alors tendresettvers0et on utilise le fait que∂" ∂f ∂xj" ∂xket∂"∂f ∂xk" ∂xjsont continues. On obtient alors exactement la conclusion du théorème au pointa. Notation- Pour une fonctionf:U-→Rde classeC2, on notera désormais 2f ∂xj∂xk(x) :=∂?∂f ∂xj? ∂xk(x) =∂?∂f ∂xk? ∂xj(x). 10 Définition 5SoitUun ouvert deRnetf:U-→Rune fonction de classeC2. Pour tout point x?U, la matrice hessienne defest la matrice symétrique d"éléments∂2f ∂xi∂xj(x):

Hess(f)x:=((((∂

2f 2f

1.7 Formules de Taylor

Commençons par un rappel.

-La formule de Taylor-Lagrange pour une fonction d"une variable réelle. SoitI?R un intervalle etf:I-→Rune fonction de classeCk+1(c"est à dire qui est dérivablek+ 1 fois et dont la dérivée(k+ 1)-ièmef(k+1)est continue). Alors, si[a,b]?I,?θ?]0,1[tel que f(b) =f(a)+(b-a)f?(a)+(b-a)2

2f??(a)+···+(b-a)kk!f(k)(a)+(b-a)k+1(k+ 1)!f(k+1)(a+θ(b-a)).

Démonstration- On part de la formule de Taylor avec reste intégral : f(b) =k? j=0(b-a)j j!f(j)(a) +(b-a)k+1k!? 1 0 (1-t)kf(k+1)(a+t(b-a))dt,

qui, rappelons-le, se démontre par récurrence surken faisant des intégrations par partie. Puis

on cherche à exprimer le reste R k:=(b-a)k+1 k!? 1 0 (1-t)kf(k+1)(a+t(b-a))dt différemment. Soitm:= infx?[a,b]f(k+1)(x)etM:= supx?[a,b]f(k+1)(x). Alors on a : et donc, en multipliant par(1-t)ket en intégrant sur[0,1], m k+ 1=? 1 0 1 0 1 0 (1-t)kMdt=Mk+ 1, ce qui donne, en multipliant park+ 1:

On utilise à présent le théorème des valeurs intermédiaires: puisquef(k+1)([a,b]) = [m,M],

?θ?]0,1[tel que f (k+1)(a+θ(b-a)) =(k+ 1)! (b-a)k+1Rk.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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