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Agrégation Interne

Exemples d"applications du théorème des accroissements finis et de l"inégalité des accroissements finis pour une fonction d"une ou plusieurs variables réelles. J. M. Arnaudies, H. Fraysse-Cours de Mathématiques. Analyse 2.Dunod (1991). J. F. Dantzer.Mathématiques pour l"agrégation. Analyse et probabilités.Vuibert (2016). X. Gourdon.Les Maths en tête. Analyse.Ellipses (2004).

E. Leichtnam.

Exercices corrigés de Mathématiques, X et ENS. Analyse.Ellipses (2000). J. P. Ramis, A. Warusfel.Mathématiques tout en un pour la licence. Niveau L2.Dunod. (2007). J. P. Ramis, A. Warusfel.Mathématiques tout en un pour la licence. Niveau L3.Dunod. (2015). J. E. Rombaldi.Éléments d"analyse réelle.EDP Sciences (2004).

J. E. Rombaldi.Exercices et problèmes corrigés pour l"agrégation de mathématiques.deboeck

supérieur (2018). F. Rouviere.Calcul différentiel.Cassini (1999). Exercice 1. Le théorème des accroissements finis et une généralisation de ce théo- rème sont utilisés pour obtenir des prolongements par continuité ou par dérivabilité Iest un intervalle réel non réduit à un point etf;gsont deux fonctions continues deIdans R: 1.

On suppose queI= ]a;b[oùa < bsont deux réels et quefest dérivable de dérivée bornée.

Montrer quefse prolonge par continuité enaet enb: 2. On suppose quefest dérivable surIn fcg;oùc2I:Montrer que sif′a une limite à gauche [resp. une limite à droite, une limite]ℓenc;alorsfest dérivable à gauche [resp.

dérivable à droite, dérivable] encavecf′g(c) =ℓ[resp.f′d(c) =ℓ; f′(c) =ℓ].

3. On suppose quefest dérivable et convexe. Montrer qu"elle est alors continûment dérivable (voir aussi la question5de l"exercice 4). 4. On suppose quef;gsont dérivables surIn fcg;oùc2I;avecg′(x)̸= 0pour tout x2Infcg:Montrer que silimx!cf ′(x) g ′(x)=ℓalorslimx!cf(x)f(c) g(x)g(c)=ℓ(règle de l"Hospital). La réciproque de ce résultat est-elle vraie? 5. Montrer que la fonctionfdéfinie parf(0) = 0etf(x) =e1 x

2pourx̸= 0est indéfiniment

dérivable surRavecf(n)(0) = 0pour tout entier natureln: 6.

Calculerlimx!1arccos(x)

p 1x2: Exercice 2. Le théorème des accroissements finis et une généralisation de ce théo- rème sont utilisés pour obtenir des limites à l"infini f;gsont deux fonctions dérivables deR+dansR: 1. On suppose queg′(x)̸= 0pour toutx2R+;limx!+1g(x) = +1etlimx!+1f ′(x) g ′(x)=ℓ:

Montrer quelimx!+1f(x)

g(x)=ℓ:Dans le cas particulier oùg(x) =x;on alimx!+1f(x) x 1 2.

On suppose quef(x)>0pour toutx2R+et quelimx!+1f

′(x) f(x)=ℓ:Montrer que lim x!+1f(x+ 1) f(x)=eℓ: 3. On suppose quef′est uniformément continue surR+et quelimx!+1f(x) =ℓ:Montrer que lim x!+1f′(x) = 0:Que dire pourf′continue? 4.

On suppose quelimx!+1(f(x) +f′(x)) =ℓ:

(a) Dans le cas oùℓ= 0;on désigne pargla fonction définie surR+parg(x) =exf(x): En appliquant le théorème généralisé des accroissements finis au couple de fonctions (g;exp);montrer que pour tous réelsx > >0;il existe un réelcx;2];x[tel que : f(x) =exf() +(1ex)(f(cx;) +f′(cx;))

En déduire quelimx!+1f(x) = 0:

(b) Pourℓquelconque, montrer quelimx!+1f(x) =ℓetlimx!+1f′(x) = 0: 5. Soitφ:R!Rune fonction continue telle quelimx!+1φ(x) =ℓetlimx!1φ(x) =ℓ′:Mon- trer que +1 1 (φ(t+ 1)φ(t))dt=ℓℓ′:Calculer∫ +1 1 (arctan(t+ 1)arctan(t))dt: +1 1 (arctan(t+ 1)arctan(t))dt= Exercice 3. Le théorème des accroissements finis peut être utilisé pour obtenir des résultats sur les fonctions Riemann-intégrables 1. Soienta < bdeux réels etf: [a;b]!Rune fonction dérivable de dérivéef′Riemann- intégrable sur[a;b]:Montrer que : b a f′(x)dx=f(b)f(a) 2.

Soienta < bdeux réels etf;gdeux fonctions à valeurs réelles définies sur[a;b]dérivables

et de dérivées Riemann-intégrable sur[a;b]:Montrer que : b a f(x)g′(x)dx=f(b)g(b)f(a)g(a)∫ b a f′(x)g(x)dx 3. Soitf: [0;1]!Rune fonction dérivable de dérivéef′Riemann-intégrable sur [0;1]et(Sn)n2Nréelle définie parSn=n∑ k=0f(k n pour toutn2N:Montrer que lim n!+1(Sn+1Sn) =∫1

0f(x)dx:

2 Exercice 4. Le théorème des accroissements finis peut être utilisé pour montrer

le théorème de Darboux qui nous dit qu"une fonction dérivée vérifie la propriété

des valeurs intermédiaires. On donne ensuite quelques applications du théorème de

Darboux

On se donne une fonctionfà valeurs réelles définie et dérivable sur un intervalleInon réduit

à un point et il s"agit de montrer que pour tousa < bdansIet toutcompris entref′(a)et f

′(b);il existec2[a;b]tel que=f′(c):Dans le cas oùf′(a) =f′(b); c=aconvient. On

suppose donc quef′(a)< f′(b);on se donne2]f′(a);f′(b)[et on définit les fonctionsaet

bsur[a;b]par : a(x) =8 :f ′(a)six=a f(x)f(a) xasix̸=aetb(x) =8 :f ′(b)six=b f(b)f(x) bxsix̸=b 1. Dans le cas oùa(b)[resp. > a(b)] montrer qu"il existe2]a;b][resp.2]a;b[] tel que=f()f(a) a[resp.=f(b)f(c) bc]. Conclure. 2. Donner un exemple de fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sans

être continue.

3. Justifier l"existence de fonctions définies sur un intervalle réel qui n"admettent pas de primitive. 4. SoientIun intervalle réel non réduit à un point etf:I!Rune fonction monotone telle quef(I)soit un intervalle. Montrer quefest continue surI: 5. Montrer qu"une fonction convexe et dérivable d"un intervalle réel non réduit à un pointI dansRest continûment dérivable. 6. Trouver toutes les fonctions dérivablesf:R!Rtelles que(f′(x))2= 1pour tout réelx: 7. SoientIun intervalle réel non réduit à un point etf:I!Rune fonction dérivable. Montrer que s"il existe deux réelsa < bdansItels quef′(a) =f′(b);il existe alors c2]a;b[tel quef′(c) =f(c)f(a) ca(il existe un pointMdu graphe deftel que la tangente enMpasse par(a;f(a))).

Exercice 5. Comparaison série et intégrale

Le théorème des accroissements finis est utilisé pour relier la convergence d"une série numé-

rique∑f(n)à celle de l"intégrale∫ +1 a f(t)dten donnant un équivalent des sommes partielles ou du reste de cette série. 1. On se donne une fonctionf:R+!R+;de classeC1telle quelimx!+1f ′(x) f(x)=ℓ2Ret on lui associe la fonctionhdéfinie surR+parh(x) =f(x)ℓ∫ x 0 f(t)dt:Montrer que : (a) lim x!+1f(x+ 1) f(x)=eℓ; (b) h ′(x) =ox!+1(f(x)); h(x+ 1)h(x) =ox!+1(f(x)); (c) x+1 x f(t)dtsx!+1e ℓ1 f(x); 3 (d) siℓ >0;alors la série∑f(n)diverge etn∑ k=0f(k)sn!+1ℓ e ℓ1∫ n+1 0 f(t)dt; (e) siℓ <0;alors la série∑f(n)converge et+1∑ k=n+1f(k)sn!+1ℓ e ℓ1∫ +1 n+1f(t)dt; 2. Montrer que, pour tout réelstrictement positif, on an∑ k=1 kln(k)sn!+1 n+1

1ln(n+ 1):

Exercice 6. Valeurs d"adhérences de(cos(n))n2Npour0< <1et de (cos(ln(n)))n2N On se donne une fonctionf: [1;+1[!Rde classeC1telle quef′(x)>0pour tout x2[1;+1[;limx!+1f(x) = +1;limx!+1f′(x) = 0et on s"intéresse aux valeurs d"adhérences de la suite (un)n2Ndéfinie parun= cos(f(n))pour toutn1: 1. Montrer quefréalise unC1-difféomorphisme de[1;+1[sur[f(1);+1[et qu"on a limx!+1f1(x) = +1;limx!+1(f1)′(x) = +1: 2.

Soientx2[1;1]ett= arccos(x)2[0;]:

(a) Montrer qu"il existe un entiern02Ntel que pour tout entiernn0;il existe un entier naturelφ(n)tel que : f(φ(n))t+ 2n < f(φ(n) + 1)(1) (b) Montrer qu"il existe un entiern1n0tel que la suite d"entiers(φ(n))nn1soit strictement croissante. (c)

Montrer quelimn!+1(t+ 2nf(φ(n))) = 0:

(d)

Montrer quelimn!+1(uφ(n))=x:

(e) En déduire que l"ensemble des valeurs d"adhérence de(un)n2Nest[1;1]: 3. Montrer que l"ensemble des valeurs d"adhérence des suites(cos(n))n2Npour0< <1 et(cos(ln(n)))n2Nest[1;1]: Exercice 7. Dérivabilité d"une fonction définie par une intégrale sur un segment SoientIest un intervalle réel non réduit à un point,a < bdansRetfune fonction à valeurs réelles définie et continue surI[a;b]telle que la dérivée partielle@f @x (x;t)existe en tout point deI[a;b];la fonction@f @x

étant continue surI[a;b]:

1. Montrer que la fonctionφdéfinie surIparφ(x) =∫ b a f(x;t)dtest dérivable surIde dérivéeφ′(x) =∫ b a@f @x (x;t)dt: 4

2.SoientF;Gles fonctions définies surR+par :

F(x) =(

∫x 0 et2dt) 2 ; G(x) =∫ 1 0e x2(t2+1) t

2+ 1dt

Montrer queF′+G′= 0;puis en déduire que∫ +1 0 et2dt=p 2 3. Montrer que siu;vsont deux fonctions dérivables deIdans[a;b];alors la fonction définie surIpar (x) =∫ v(x) u(x)f(x;t)dtest dérivable surIde dérivée : ′(x) =f(x;v(x))v′(x)f(x;u(x))u′(x) +∫ v(x) u(x)@f @x (x;t)dt Exercice 8. Majoration de l"erreur dans la méthode de Simpson Étant donnée une fonctionf: [a;b]!Rde classeC4;en notant :

E(f) =∫

b a f(x)dxba 6 f(a) + 4f(a+b 2 +f(b)) l"erreur dans la méthode de Simpson sur[a;b];on se propose de montrer quejE(f)j M 4 2880
(ba)5;oùM4= sup x2[a;b] f(4)(x): Cette façon de procéder pour obtenir une majoration l"erreur de quadrature est encore valable pour la méthode du point milieu ou la méthode du trapèze. 1. On considère tout d"abord le cas d"une fonctiong: [1;1]!Rde classeC4:En notant L

4= sup

x2[1;1] g(4)(x)etφla fonction définie sur[0;1]par :

8x2[0;1]; φ(x) =∫

x xg(t)dtx 3 (g(x) + 4g(0) +g(x)) montrer que, pour toutx2[0;1];on a :

φ′′(x)2x3

9

L4;φ′(x)x4

18

L4;jφ(x)j x5

90
L4 2.

En déduire le résultat annoncé.

Exercice 9. Un classique

SoientIun intervalle ouvert non vide etf:I!Rune fonction de classeC1à laquelle on associe la fonctionφ:I2!Rdéfinie par :

φ(x;y) =8

:f(y)f(x) yxsiy̸=x f ′(x)siy=x 1. Montrer queφest continue surI2et de classeC1surI2n∆;où∆ =f(x;x)jx2Ig: 5

2.Dans le cas oùfest deux fois dérivable en un pointa2I;montrer queφest différentiable

en(a;a): Exercice 10. Un système non linéaire de deux équations à deux inconnues Pour toute application linéaireu:Rn!Rm;on notejjjujjj= sup ∥x∥=1∥u(x)∥(on peut choisir la norme infini surRnetRm). 1. SoientOun ouvert non vide deRnetf:O !Rune fonction différentiable. Montrer que sia;bsont deux points distincts deOtels que le segment[a;b]soit contenu dansO; il existe alors un pointc2]a;b[tel quef(b)f(a) =df(c)(ba): 2. SoientOun ouvert non vide deRn; f:O !Rmune fonction différentiable eta;b deux points distincts deOtels que[a;b] Oet il existe une constant >0telle que jjjdf(c)jjj pour toutc2[a;b]:Montrer que∥f(b)f(a)∥ ∥ba∥: 3.

Montrer que le système d"équations :

{sin(x+y) = 2x cos(xy) = 2y a une unique solution dansR2: Exercice 11. Inégalité des accroissements finis sur un espace normé Soientfune fonction définie sur un segment[a;b];à valeurs dans un espace vectoriel normé

(E;∥∥)etgune fonction définie sur[a;b]à valeurs dansR;ces fonctions étant continues sur

[a;b]et dérivables sur]a;b[: 1. On suppose que∥f′(x)∥< g′(x)pour toutx2]a;b[:Pourdonné dans]a;b[;on note : E =fx2];b[j ∥f(x)f()∥> g(x)g()g (a)

Montrer queEest ouvert.

(b) En supposantEnon vide, on notesa borne inférieure. Montrer que2];b[et en déduire une contradiction. (c)

Montrer que∥f(b)f(a)∥ g(b)g(a):

2. On suppose que∥f′(x)∥ g′(x)pour toutx2]a;b[: (a) Montrer que∥f(b)f(a)∥ g(b)g(a)(inégalité des accroissements finis géné- ralisée). (b) Montrer que si l"égalité∥f(b)f(a)∥=g(b)g(a)est réalisé, on a alors ∥f(y)f(x)∥=g(y)g(x)pour tousx < ydans[a;b]et∥f′(x)∥=g′(x)pour toutx2]a;b[: 6quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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