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Faculte des sciences et techniques

Departement de mathematiques

2004-2005

Licence de Mathematiques 3

M62 : Fonctions reelles de plusieurs variables

Laurent Guillope

Ces notes de cours ont ete utilisees dans une UE de Licence de l'annee

2007-2008 sous la responsabilite de F. Wagemann, remerciechaleureuse-

mentpour sa lecture critique qui a suscite la revision 2008 de ces notes. [9 juin 2008]

TABLE DES MATI

ERES

1. Applications dierentiables..................................................... 1

1.1. Dierentiabilite

1.2. Fonctions composees

1.3. Fonctions de classeCk......................................................... 6

1.4. Derivation et integration

1.5. Accroissements nis

2. Le theoreme d'inversion locale................................................. 11

2.1. L'enonce du theoreme

2.2. Le theoreme du point xe

2.3. La preuve du theoreme d'inversion locale

2.4. Changement de variables

3. Le theoreme des fonctions implicites.......................................... 17

3.1. Le theoreme et sa preuve

3.2. Racines d'equations polynomiales

4. Courbes et surfaces regulieres.................................................. 20

4.1.Equations regulieres............................................................20

4.2. Courbes regulieres

4.3. Surfaces regulieres

4.4. Gradient

5. ApplicationsCk.................................................................. 23

5.1. La versionCkdes theoremes classiques.........................................25

5.2. Theoreme de Schwarz

5.3. Formules de Taylor

5.4. Approximation de l'espace tangent

6. Points critiques et extrema..................................................... 29

6.1. Extrema

6.2. Extrema lies

6.3. Appendice : rappels sur les formes quadratiques

................................33

7. Complements.................................................................... 35

7.1. Fonctions convexes

7.2. La transformee de Legendre

7.3. Le lemme de Morse

CHAPITRE 1. APPLICATIONS DIFF

ERENTIABLES1

CHAPITRE 1

APPLICATIONS DIFF

ERENTIABLES

Le calcul dierentiel etudie des fonctions de plusieurs variablesx1;:::;xna valeurs vec- torielles,i. e.des fonctions denies sur une partieU(en general ouverte) deRna valeurs dansRp. Pour quantier certaines denitions (limite, continuite, dierentiabilite), l'usage de normes surRkest chose courante. Vu que deux normesN1;N2quelconques surRksont equivalentes,i. e.il existe des constantesC;C0telles que CN

1(x)N2(x)C0N1(x); x2Rk;

le choix de normes n'in uera en general pas sur les diverses denitions. Ainsi celle de voisi- nage : la partieVdeRkest un voisinage dem2Rks'il exister >0 tel que la la boule B(m;r) =fkxmk< rgde centremet de rayonrest incluse dansV. On verie bien sur cet exemple que peu importe la norme choisie, notamment parmi les normes classiques kxk1(x) =nX i=1jxij;kxk2(x) =v uutn X i=1jxij2;kxk1(x) =nsup i=1jxij; x= (x1;:::;xn)2Rn:Figure 1.DansR2, les boulesB(1) =fN(x;y)1gpour les normesjj jj1;jj jj2 etjj jj1, avec les inclusions de boules de types dierents et rayons adequats. En general, on prendra comme norme sur des espaces de matricesMn;m(R) ou d'ap- plications lineairesL(E;F) des normes d'operateurs :kAk= supx2Rmnf0gkAxkn=kxkm pour une matriceA2Mn;m(R) avec des normesjj jjm;jj jjnsurRmetRnou k`k= supx2Enf0gk`xkF=kxkEpour un operateur lineaire`2L(E;F) avec des normes jj jj

E;jj jjFsurEetF.

On note paro(h) toute fonctionqdenie pourhdans un voisinage de 0 dansRnet a valeurs dansRp, telle que limh!0q(h)=khk= 0: Sihest dansR, il sut de considerer la limite deq(h)=hlorsqueh!0. De maniere analogue on notera"(h) toute quantite telle que limh!0"(h) = 0. Ainsi, on remplacera parfois uno(h) parkhk"(h).

2CHAPITRE 1. APPLICATIONS DIFFERENTIABLES

.Exemple 1.1. |hpjhj=o(h);sin(h) ="(h) pourh2Ra voisinage de 0,HAH= o(H) pourA;H2Mn(R) etHau voisinage de 0./

L'algebre deso(h) obeit auxreglessuivantes

(1)o(h) +o(h) =o(h); b(h)o(h) =o(h); o(o(h)) =o(h) ou on a notebune fonction bornee au voisinage deh= 0. En eet, siq1;q2sont deso(h), on a kq1(h) +q2(h)kkhkkq1(h)kkhk+kq2(h)kkhk; kb(h)q1(h)kkhksupkb(h)kkq1(h)kkhk;

1.1. Dierentiabilite

Une fonction d'une variable reellef: (x0r;x0+r)!Rest dite derivable enx0, avec pour derivee le nombre reel_f(x0) si f(x0+h) =f(x0) +_f(x0)h+o(h): La derivabilite est equivalente a l'approximation locale par une fonction ane, autrement dit a l'existence d'une developpement limite a l'ordre 1.

4L'existence d'un developpement limite a l'ordre 2

f(x0+h) =f(x0) +Ah+Bh2+o(h2) au voisinage d'un pointx0= 0 ne dit pas necessairement l'existence d'une derivee seconde pourf, comme la fonctionx!x3sin(1=x) =o(x2) enx0= 0 le conrme.5 Denition 1.1. |Soit f:B(m0;r)Rn!R. Pourhvecteur non nul deRn, laderivee directionnelleDhf(m0) est, si elle existe, la derivee ent= 0 de la fonction denie sur (r=khk;r=khk) qui atassocief(m0+th).

4Pour une fonction de deux variables (on generalisera aisement pourfdenvariables,

avecn3)f:m= (x;y)2B(m0;r)R2!f(m) =f(x;y)2R, les derivees partielles @f@x (m0) et@f@y (m0) sont, si elles existent, les derivees des fonctionsF1;F2denie au voisinage det= 0 par F

1(t) =f(x0+t;y0); F2(t) =f(x0;y0+t):

Les derivees partielles sont les derivees directionnelles suivant les axes de coordonnees. On notera aussi les derivees partielles@xf(m0),@yf(m0),@x1f(m0) (voire@if(m0)) et pour les derivees successives (lorsque cela est bien deni)@x@yf(m0),@2xyf,@kx i1:::xikf,@ki

1:::xikf.5

On a doncf(m0+th) =f(m0) +Dhf(m0)t+o(t) et on retrouve@f@x (m0) =De1f(m0) : par ailleurs, on aD2e1f(m0) = 2@f@x (m0). .Exemples 1.2. | 1.

Si f(x;y) = sin(x+y), on aD(u;v)f(0;0) =u+v.

2. Si fest denie surR2parf(x;y) = 2xy(x2+y2)1=2si (x;y)6= 0 etf(0;0) = 0, on af(t(u;v)) =jtjf(u;v) pourt2R. Ainsi, la restriction defa la droiteR(u;v) n'est pas approchee par une expression lineaire au voisinage det= 0 : les derivees directionnellesD(u;v)f(0;0) n'existent pas. Si on utilise les coordonnees polaires (x;y) = (rcos;rsin), on af(x;y) =rsin2./

1.1. DIFF

ERENTIABILITE3

Denition 1.2. |Soit f:B(m0;r)Rn!R. La fonctionfest ditedierentiableen m

0s'il existe une application lineaireL:Rn!Rtelle que

(2)f(m0+h) =f(m0) +L(h) +o(h): L'application lineaireLest appeleedierentielledefenm0et noteeDf(m0). .Exemples 1.3. | 1. Soit f:IR!Rdierentiable ent0. L'application lineaireDf(t0) :R!R est habituellement identiee a sa valeur sur le vecteur generateurh= 1 de l'espace unidimensionnelR, autrement dit la derivee de la fonctionfent0. On a f(t0+h) =f(t0) +Df(t0)h+o(h): 2. Soit A:Rn!Rlineaire etb2R. Alors l'applicationf:x2Rn!Ax+b2Rest dierentiable en toutx2Rn, avecDf(x) =A. En eet, /f(x+h) =A(x+h) +b=Ax+b+Ah=f(x) +Ah: Proposition 1.1. |Soitfune fonction dierentiable enm0.

L afonction fest continue enm0.

L'applic ationLde la denition1.2 est unique.

L afonction fadmet enm0des derivees directionnelles suivant toute direction et D vf(m0) =Df(m0)(v);v2Rn. En particulier,fadmet des derivees partielles. Demonstration. |Soien tL1etL2deux formes lineaires veriant (2). Alors pour,hassez petit, f(x+h)f(x) =L1(h) +o(h) =L2(h) +o(h) ainsi limkhk!0(L1L2)(h=khk) = limkhk!0o(h)=khk= 0; soit la nullite de kL1L2k= sup kvk=1k(L1L2)(v)k= sup khkk(L1L2)(h=khk)k: La continuite defenm0est equivalente af(m0+h) =f(m0)+"(h) : sifest dierentiable, c'est bien le cas, vu quef(m0+h) =f(m0) + [Df(m0)(h) +o(h)]. Enn sifest dierentiable, pourvxe non nul, on a au voisinage det= 0, f(m0+tv) =f(m0) +Df(m0)(tv) +o(tv) =f(m0) +Df(m0)(v)t+o(t);

ce qui indique la derivabilite defdans la directionv2R, avecDvf(m0) =Df(m0)(v).4La dierentielle est notee parfoisdf(m0) ouf0(m0) (voire_f(m0)), derniere notation qu'on

evitera dans un premier temps, pour bien distinguer derivee (d'une fonction d'une variable reelle) et dierentielle. Sifa valeurs numeriques est dierentiable enm=(x0;y0;z0)2R3 (exemple qu'on generalisera au cas d'un nombre quelconque de variables), on ecrit souvent sa dierentielledfsuivant Leibnizdf(m0) =f0x(m0)dx+f0y(m0)dy+f0z(m0)dz; il faut y interpreterdxcomme la dierentielle de la fonction coordonneex. Si la fonctionfdepend de variables groupees suivant (x;y) avecx= (x1;:::;xm) ety= (y1;:::;yn), la notation D xfsigniera que les variablesy1;:::;ynsont considerees comme parametres, seules les variablesx1;:::;xmintervenant pour la dierentiabilite.5 .Exemple 1.4. |Il se p eutque fadmette des derivees directionnelles sans ^etre dierentiable. Ainsi de la fonctionfdenie surR2parf(0;0) = 0 etf(m) =

3y4y3(x2+y2)1sinon : enm= (0;0), les derivees directionnelles sontD(cos;sin)f(m0) =

sin3= 3sin2sin3, non lineaire en sin. En coordonnees polaires,fprend la forme f(rcos;rsin) =rsin3./

4CHAPITRE 1. APPLICATIONS DIFFERENTIABLES

La dierentiabilite d'une fonction a valeurs vectorielles se denit en calquant la denition 1.2 Denition 1.3. |Soit f:B(m0;r)Rn!Rp. La fonctionfest ditedierentiableen m

0s'il existe une application lineaire (unique!)L:Rn!Rp, noteeDf(m0) telle que

f(m0+h) =f(m0) +Df(m0)(h) +o(h): .Exemple 1.5. |On p eutreprendre les ex emples1.3 a vecpentier quelconque./

4Sif= (f1;:::;fp), la dierentiabilite defenm0est equivalente a celle des applications

f i;i= 1;:::;p(exercice!).5 Denition 1.4. |Soit f= (f1;:::;fp) :B(m0;r)Rn!Rpune application dierentiable enm0. Samatrice jacobienneest la matrice

Jac(f)(m0) =0

B @@f 1@x

1(m0):::@f1@x

n(m0) @f p@x

1(m0):::@fp@x

n(m0)1 C A: C'est la representation matricielle de la dierentielleDf(m0) dans les bases canoniques de R netRp. .Exemple 1.6. |Les coordonnees polaires(r;)2R+R!(rcos;rsin)2R2 ont pour matrice jacobienne /cosrsin sin rcos Proposition 1.2. |L'ensembleD(m0)des fonctions numeriquesfdenies surB(m0;rf) (rf>0dependant def) et dierentiables enm0est un espace vectoriel, l'application dierentiellef2 D(m0)!Df(m0)2L(Rn;R)etant lineaire,i. e.

D(1f1+2f2)(m0) =1Df1(m0) +2Df2(m0);

avec stabilite par le produit

D(f1f2)(m0) =f1(m0)Df2(m0) +f2(m0)Df1(m0):

Sif(m0)6= 0, alorsf1est denie au voisinage dem0, dierentiable enm0et

D(f1)(m0) =(f(m0))2Df(m0).

Demonstration. |Que D(m0) soit un espace vectoriel et l'applicationf2 D(m0)!

Df(m0)2L(Rn;R) est lineaire resulte de l'ecriture

(f+g)(m0+h) = (f+g)(m0)+(Df(m0)+Dg(m0))(h)+o(h);khkPour le produit, on a (f1f2)(m0+h) = (f1(m0) +Df1(m0)(h) +khk"1(h))(f2(m0) +Df2(m0)(h) +khk"2(h)) =f1(m0)f2(m0) + [f2(m0)Df1(m0)(h) +f1(m0)Df2(m0)(h)] +khk["1(h)(f2(m0) +Df2(m0)(h) +khk"2(h)) +"2(h)(f1(m0) +Df1(m0)(h))] ou le dernier terme est uno(h).

1.2. FONCTIONS COMPOS

EES5 Sif(m0)6= 0, par continuite il en est de m^eme pourf(m) sur un voisinage dem0et f(m0+h)1=1f(m0) +Df(m0)h+o(h)=1f(m0)11 +f(m0)1Df(m0)h+o(h) =f(m0)1(1f(m0)1Df(m0)ho(h) +o(f(m0)1Df(m0)h+o(h)) =f(m0)1f(m0)2Df(m0)h+o(h); ou on a utilise (1 +u)1= 1u+o(u)..Exemple 1.7. |La fonction

Inv :A2GL(n;R) =fA2Mn(R);Ainversibleg !A12Mn(R)

est dierentiable de dierentielle

DInv(A)(h) =A1hA1; h2Mn(R):

En eet

(A+h)1=A1(1 +hA1)1=A1+A1((1 +hA1)11) =A1A1(1 +hA1)1hA1=A1A1hA1+A1((1 +hA1)11)hA1 =A1A1hA1+A1(1 +hA1)1hA1hA1 ou le dernier terme est en norme uniformement borne au voisinage deh= 0 parkhk2vu que le facteur (1 +hA1)1=P1 k=0(hA1)k= 1 +o(h) est borne au voisinage deh= 0./

1.2. Fonctions composees

Theoreme 1.1. |SoitUun ouvert deRn,Vun ouvert deRp,f:U!Rpetg:V! R q. On supposef(U)V,fdierentiable enm02Uetgdierentiable enf(m0). Alors gfest dierentiable enm0et

D(gf)(m0) =Dg(f(m0))Df(m0);

Jac(gf)(m0) = Jac(g)(f(m0))Jac(f)(m0):

Demonstration. |On c omposeles d eveloppementslimit es f(m0+h) =f(m0) +Df(m0)(h) +o(h); g(f(m0) +k) =g(f(m0)) +Dg(f(m0))(k) +o(k); de telle sorte que (gf)(m0+h) =g(f(m0+h)) =g(f(m0) +Df(m0)(h) +o(h)) =g(f(m0)) +Dg(f(m0))(Df(m0)(h) +o(h)) +o(Df(m0)(h) +o(h)) = (gf)(m0)) + (Dg(f(m0))Df(m0))(h) + (Dg(f(m0))(o(h)) +o(Df(m0)(h) +o(h)): Le termeDg(f(m0))(o(h)) =Dg(f(m0))("(h))khkest uno(h), alors que le dernier terme, note(h), est majore en norme par k(h)k kDf(m0)(h) +o(h)kk"(Df(m0)(h) +o(h))k [kDf(m0)k+k"(h)k]khkk"(Df(m0)(h) +o(h))k et est donc uno(h) (c'est en fait uno(o(h)) comme introduit dans l'arithmetique (1)).

6CHAPITRE 1. APPLICATIONS DIFFERENTIABLES

.Exemples 1.8. | 1. Soit f: (r;)2R+R!(x;y) = (rcos;rsin)2R2etg:R2!Rdierentiable.

AlorsG=gfl'est aussi et, avecm0= (r0cos0;r0sin0)

Jac(G)(r0;0) = Jac(g)(m0)Jac(f)(r0;0)

=@g@x (m0)@g@y (m0)cos0r0sin0 sin0r0cos0) cos0@g@x (m0) + sin0@g@y (m0)r0sin0@g@x (m0) +r0cos0@g@y (m0) 2. Soit v2Rnetf:B(m0;r)!R. La derivee directionnelleDvf(m0) appara^t comme la derivee de l'application composeeF=f vou v:t2R!m0+tv2Rn. On a en eet

DF(t0) =Df(m0+t0v)D

v(t0):

La deriveeD

v(t0) s'identie au vecteurv. 3. Si fetgsont dierentiables enm0etf(m0) resp., avecgf= Id, alorsDg(f(m0)) Df(m0) = Id. Ainsi, si les dimensions des espaces d'arrivee et de depart defetgsont egales,Df(m0) etDg(f(m0)) sont inversibles./

1.3. Fonctions de classeCk

Denition 1.5. |Soit Uun ouvert deRnetf:U!Rp. Sifest dierentiable en tout pointm2Uet l'applicationDf:m2U!Df(m)2L(Rn;Rp) est continue, l'application fest ditefonction de classeC1surU. Theoreme 1.2. |SoitUun ouvert deRnetf:U!Rp. Si les derivees partielles x1f;:::;@xnfexistent en tout point deUet denissent des fonctions continues surU, alorsfest de classeC1.

Demonstration. |P ourh= (h1;:::;hn), on ecrit

f(m0+h)f(m0) = [f(m0+h)f(m0+ (h1;:::;hn1;0))] +::: + [f(m0+ (h1;:::;hj;hj+1;:::)f(m0+ (h1;:::;hj;0;:::))] +:::+ [f(m0+ (h1;0;:::;0))f(m0)] Dans chaque terme, on applique l'inegalite des accroissements nis pour des fonctions d'une variable a chaque fonction coordonnee : il existeij(h)2[0;1] f i(m0+ (h1;:::;hj;0;:::;0))fi(m0+ (h1;:::;hj1;0;:::;0)) =@xjfi(m0+ (h1;:::;hj1;ij(h)hj;0;:::;0))hjquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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