SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Étudier le sens de variation dune suite
8 ???. 2007 ?. et le réel 1 ; si la suite est arithmétique ou géométrique déterminer sa raison ; s'il existe une fonction f telle que pour tout n on a un ...
TES DS1 suites géométriques S1 1 Exercice 1 : (6 points) Préciser
Exercice 1 : (6 points). Préciser dans chaque cas si la suite (un) est géométrique. Si elle l'est
Suite géométrique - Premi`ere S ES STI - Exercices Corrigés en
Déterminer graphiquement puis par le calcul u1
Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raison q = À l'aide de la calculatrice conjecturer le sens de variations de la suite.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
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Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 2×un un+1 – un = 2un – un = un et comme u0 > 0 et q > 0 alors
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Étudier le sens de variation des suites (un) définies ci-dessous : Montrer que (un) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier
Comment trouver le sens de variation d'une suite géométrique ?
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).Quelle est la formule de la suite géométrique ?
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.Comment étudier la monotonie d'une suite géométrique ?
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.
Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un = n
2n2) un = 1
n + 1 - 1 n3) un+1 = un
1 + un² et u0 = 4
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raiso = 1
4.5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8. 1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
4.3) vn).
4) n : un = 4 20n
4 + 5n.
5) Étudier les variations de la suite (un).
Première S3 IE5 comportement des suites S2 2016-2017 2Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un =22n+2
3n2) un = n n²
3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raiso = 2.
5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = 96 un.
1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un 3 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
3.3) vn).
4) n : un = 6n + 3
2n + 3.
5) Étudier les variations de la suite (un).
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
3Exercice 1 : (5 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un = n
2n2) un = 1
n + 1 - 1 n3) un+1 = un
1 + un² et u0 = 4
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raison q = 1
4.5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.
1) Comme 2n > 0, un est défini pour tout entier naturel.
un+1 un = n + 12n+1 - n
2n = n + 1
2n+1 - 2n
2n+1 = 1
2n+1 (n + 1 2n)
un+1 un = 12n+1(n + 1 2n)n + 1 + 2n
n + 1 + 2n un+1 un = 12n+1(n + 1² - (2n)²
n + 1 + 2n12n+1n + 1 - 4n
n + 1 + 2n= -3n + 12n+1(n + 1 + 2n)
2n+1(n + 1 + 2n) > 0
Pour n > 1, -3n + 1 < 0 ; et -3n + 1
2n+1(n + 1 + 2n) < 0.
Donc à partir du rang 1, la suite (un) est décroissante.Vérification graphique :
2) un est défini pour n > 0.
Pour n > 0, un+1 un = 1
n + 2 - 1 n + 1 - 1 n + 1 - 1 n = 1 n + 2 - 2 n + 1 + 1 n Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
4 un+1 un = n(n + 1) 2n(n + 2) + (n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) = n² + n 2n² - 4n + n² + 2n + n + 2 n(n + 1)(n + 2) un+1 un = 2 n(n + 1)(n + 2) > 0Donc la suite u est croissante.
Autre méthode :
un = f(n) avec f(x) = 1 x + 1 1 x Alors un a les mêmes variations que f sur [0;+ [.Or pour x > 0, f'(x) = - 1
(x + 1)² + 1 x² = -x² + (x + 1)² (x + 1)²x² = [(x + 1) + x][(x + 1) x] (x + 1)²x² f'(x) = 2x + 1 (x + 1)²x²Pour x > 0, 2x + 1 > 0 et (x + 1)²x² > 0
Donc f'(x) > 0
Donc f est strictement croissante sur [0; + [.
Donc la suite (un) est strictement croissante.
Vérification graphique :
3) Comme 1 + un² > 0, alors un est défini pour tout entier naturel.
De plus comme u0 > 0 alors un > 0 pour tout entier naturel n. un+1 un = un1 + un²- un = un 1 (1 + un²)
1 + un² = un -un²
1 + un²
-un²1 + un² < 0 et comme un > 0, alors un+1 un < 0.
Donc la suite (un) est décroissante.
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
5Vérification graphique :
4) Comme la raison de la suite géométrique q = 1
4 est comprise entre 0 et 1, alors la suite
(qn) est décroissante et comme u0 < 0, alors la suite (un) est croissante. Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 1 4un un+1 un = 14un un = - 3
4un et comme u0 < 0 et q > 0 alors un < 0 pour tout entier naturel n.
Donc -3
4un > 0 et donc la suite u est croissante.
Vérification graphique :
5) Comme u est une suite arithmétique de raison r = 10 > 0, alors la suite u est croissante.
Autre manière : un+1 un = 10 > 0, donc la suite u est croissante. Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
6Vérification graphique :
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8.1) (un) ainsi que sa
limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
4.3) vn).
4) n : un = 4 20n
4 + 5n.
5) Étudier les variations de la suite (un).
1) La suite (un) semble être décroissante et converger vers -4.2) vn+1 = 1
un+1 + 4 = 1 -16 un + 8 + 4 = 1 -16 + 4(un + 8) un + 8 = un + 8 -16 + 4un + 32 = un + 84un + 16
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
7 vn+1 vn = un + 84un + 16 - 1
un + 4 = un + 8 - 44un + 16 = un + 4
4(un + 4) = 1
4 v0 = 1 u0 + 4 = 11 + 4 = 1
5 Donc (vn) est la suite arithmétique de raison 14 et de premier terme v0 = 1
5.3) vn = v0 + nr = 1
5 + 1 4n4) vn = 1
un + 4 un + 4 = 1 vn un = 1 vn - 4 un = 1 1 5 + 1 4n - 4 = 204 + 5n - 4 = 20 4(4 + 5n)
4 + 5n = 20 16 20n
4 + 5n = 4 20n
4 + 5n
5) un+1 un = 4 -20(n + 1)
4 + 5(n + 1) - 4 20n
4 + 5n = (4 20n 20)(4 + 5n) (4 20n)(4 + 5n + 5)
(4 + 5n + 5)(4 + 5n) un+1 un = (-16 20n)(4 + 5n) (4- 20n)(9 + 5n) (5n + 9)(5n + 4) un+1 un = -64 -80n -80n 100n² - 36 20n + 180n + 100n² (5n + 9)(5n + 4) = -100 (5n + 9)(5n + 4) < 0Donc la suite (un) est décroissante.
Autre méthode : La suite (un) a le même sens de variation que la fonction f définie par f(x) =
4 - 20x
4 + 5x ; + [.
f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 4 20x et v(x) = 4 + 5x (x)v(x) u(x)(x) (v(x))² -20 5 -20(4 + 5x) (4 20x)5 (4 + 5x)² = -80 100x 20 + 100x (4 + 5x)² = -100 (4x + 5)² < 0 Donc la fonction f est décroissante sur [0 ; + [.Donc la suite (un) est décroissante.
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
8 Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
9Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un =22n+2
3n2) un = n n²
3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison q = 2.
5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.
1) un+1 un = 22(n+1)+2
3n+1 22n+2
3n = 22n+2+2 - 322n+2
3n+1 = 22n+2(22 3)
3n+1 = 22n+2
3n+1 > 0
Donc la suite u est croissante.
Vérification graphique :
2) un+1 un = n + 1 (n + 1)² - (n n²) = n + 1 n² - 2n 1 n + n²
un+1 un = -2n < 0 pour n > 0 Donc la suite u est décroissante à partir du rang 1.Autre méthode :
un = f(n) avec f(x) = x - x² Alors un a les mêmes variations que f sur [0;+ [.Or f'(x) = 1 2x
Pour x 1, 1 2x < 0
Donc f est décroissante sur [1; + [.
Donc la suite (un) est décroissante à partir du rang 1. Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
10Vérification graphique :
3) un+1 un = (un + 1)² - un = un² + 2un + 1 un = un² + un + 1
Comme u0 > 0, un+1 étant un carré est positif, donc un est toujours positif.Donc un+1 un > 0
Donc la suite u est croissante.
4) Comme la raison de la suite géométrique q = 2est supérieure à 1, alors la suite (qn) est
croissante et comme u0 > 0, alors la suite (un) est croissante. Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 2un un+1 un = 2un un = un et comme u0 > 0 et q > 0 alors un > 0 pour tout entier naturel n.Donc la suite u est croissante.
Vérification graphique :
Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
115) Comme u est une suite arithmétique de raison r = -5 < 0, alors la suite u est décroissante.
Autre manière : un+1 un = -5 < 0, donc la suite u est décroissante.Vérification graphique :
Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
12Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par u0 = 1 et un+1 = 96 un.
1) (un) ainsi que sa
limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un 3 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
3.3) vn).
4) n = 6n + 3
2n + 3.
5) Étudier les variations de la suite (un).
1) La suite (un) semble être croissante et converger vers 3.2) vn+1 = 1
un+1 - 3 = 1 96 un - 3
= 19 3(6 un)
6 un = 6 un9 18 + 3un = 6 un
3un - 9
vn+1 vn = 6 un3un - 9 - 1
un 3 = 6 un 33un - 9 = 3 un
3(un 3) = - 1
3 v0 = 1 u0 3 = 11 - 3 = - 1
2 Donc (vn) est la suite arithmétique de raison 13 et de premier terme v0 = - 1
2.3) vn = v0 + nr = -1
2 - 1 3n Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
134) vn = 1
un - 3 un 3 = 1 vn un = 3 + 1 vn un = 3 + 1 - 1 2 - 1 3n = 3 63 + 2n = 3(3 + 2n) 6
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