SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Étudier le sens de variation dune suite
8 ???. 2007 ?. et le réel 1 ; si la suite est arithmétique ou géométrique déterminer sa raison ; s'il existe une fonction f telle que pour tout n on a un ...
TES DS1 suites géométriques S1 1 Exercice 1 : (6 points) Préciser
Exercice 1 : (6 points). Préciser dans chaque cas si la suite (un) est géométrique. Si elle l'est
Suite géométrique - Premi`ere S ES STI - Exercices Corrigés en
Déterminer graphiquement puis par le calcul u1
Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raison q = À l'aide de la calculatrice conjecturer le sens de variations de la suite.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
ET SUITES GEOMETRIQUES. Vidéo https://youtu.be/pHq6oClOylU. I. Suites arithmétiques. 1) Définition. Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la
I. Généralités - Mode de génération dune suite
En déduire le sens de variation de (vn). 3. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que vn ? 1 000. Exercice 10. 1. Soit (un)
Suites : exercices
b) En déduire le sens de variation de la suite (Un). Exercice 3 : Soit (Un) la suite arithmétique de premier terme U0 = 4 et de raison a =.
Exercices : Suites Numériques
Exercice 9 Variations d'une suite géométrique. Dans chacun des cas suivants (un)n?N désigne une suite géométrique. Déterminer le sens de variation.
Sans titre
LES SUITES GÉOMÉTRIQUES. ? Une suite géométrique est une suite de nombres dont chaque terme est Exercice 2 : Nature et sens de variation d'une suite.
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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES I Suites arithmétiques 1) Définition
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Variations d'une suite géométrique Dans chaque cas déterminer le sens de variation de la suite (un) : 1?) (un) est une suite géométrique de 1er terme u0
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Exercices sur les variations de suites Notre Dame de La Merci Exercice 1 : Etudier le sens de variation de chacune des suites suivantes :
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Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 2×un un+1 – un = 2un – un = un et comme u0 > 0 et q > 0 alors
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Les suites Variations Exercice 1 Dans chacun des cas étudier le sens de variation de la suite ( u n ) définie par : u n = n 2 pour n ? N
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Nous allons étudier le sens de variation de la fonction f afin de connaitre celui de la suite (rn) Nous commençons par dériver la suite f : f'(x) = 10x – 10
Sens de variation dune suite géométrique - Exercice 1
Sens de variation d'une suite géométrique - Exercice 1 5 min 10 Soit ( u n ) \left(u_{n} \right) (un) la suite définie par son premier terme u 0 = 2
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8 déc 2007 · Exercice (Corrigé) On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 et pour tout naturel n un+1 = ?un +1 On admet que pour tout n ? Nona0
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Étudier le sens de variation des suites (un) définies ci-dessous : Montrer que (un) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier
Comment trouver le sens de variation d'une suite géométrique ?
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).Quelle est la formule de la suite géométrique ?
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.Comment étudier la monotonie d'une suite géométrique ?
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES Vidéo https://youtu.be/pHq6oClOylU I. Suites arithmétiques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. La suite est donc définie par : 0
1 3 5 nn u uu. Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : 1nn
uur. Le nombre r est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk 1) La suite (un) définie par : 79
n un=- est-elle arithmétique ? 2) La suite (vn) définie par : 2 3 n vn=+ est-elle arithmétique ? 1) () 17917 979 9799
nn uunn nn. La différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à -9. (un) est une suite arithmétique de raison -9. 2) ()
2 2221
1332 133 21
nn vvnnnnn n. La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (vn) n'est pas une suite arithmétique. Vidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : 0n
uunr=+. Démonstration : La suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation 1nn
uur . En calculant les premiers termes : 10 uur=+ 21002uururrur=+=++= +
320023uururrur=+=++= +
100(1) nn uuru nrrunr
. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4 Considérons la suite arithmétique (un) tel que
u 5 =7 et u 9 =19. 1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme
u n =u 0 +nrAinsi 50
57uur=+=
et 90919uur=+=
. On soustrayant membre à membre, on obtient :5r-9r=7-19
donc r=3 . Comme u 0 +5r=7 , on a : u 0 +5×3=7 et donc : u 0 =-8 . 2) 0n uunr=+ soit 83 n un=-+× ou encore 38 n un=-2) Variations Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante. Démonstration :
u n+1 -u n =u n +r-u n =r . - Si r > 0 alors u n+1 -u n >0 et la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors u n+1 -u n <0 et la suite (un) est décroissante. Exemple : Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLa suite arithmétique (un) définie par
u n =5-4nest décroissante car de raison négative et égale à -4. 3) Représentation graphique Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés. Exemple : On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. II. Suites géométriques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. La suite est donc définie par :
u 0 =5 u n+1 =2u nVidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a :
u n+1 =q×u n . Le nombre q est appelé raison de la suite.4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Démontrer si une suite est géométrique Vidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ La suite (un) définie par :
u n =3×5 n est-elle géométrique ? u n+1 u n3×5
n+13×5
n 5 n+1 5 n =5 n+1-n =5. Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 5. (un) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme
u 0 =3×5 0 =3. Exemple concret : On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4%. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04. On a ainsi : u
1 =1,04×500=520 u 2 =1,04×520=540,80 u 3 =1,04×540,80=562,432De manière générale : u
n+1 =1,04×u n avec u 0 =500 On peut également exprimer un en fonction de n : u n =500×1,04 nPropriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : 0
n n uuq=×. Démonstration : La suite géométrique (un) de raison q et de premier terme u0 vérifie la relation
u n+1 =q×u n . En calculant les premiers termes : u 1 =q×u 0 u 2 =q×u 1 =q×q×u 0 =q 2 ×u 0 u 3 =q×u 2 =q×q 2 ×u 0 =q 3 ×u 0 u n =q×u n-1 =q×q n-1 u 0 =q n ×u 0. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique Vidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10 Considérons la suite géométrique (un) tel que
u 4 =8 et u 7 =512. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). Les termes de la suite sont de la forme
u n =q n ×u 0 Ainsi u 4 =q 4 ×u 0 =8 et u 7 =q 7 ×u 0 =5125YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frAinsi :
u 7 u 4 q 7 ×u 0 q 4 ×u 0 =q 3 et u 7 u 4 5128 =64 donc q 3 =64
. On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au cube donne 64. Ainsi
q=64 3 =4 Comme q 4 ×u 0 =8 , on a : 4 4 ×u 0 =8 et donc : u 0 1 32. 2) Variations Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u0. Pour
u 0 >0: - Si q > 1 alors la suite (un) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante. Pour
u 0 <0: - Si q > 1 alors la suite (un) est décroissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est croissante. Démonstration dans le cas où u0 > 0 : 1
1000(1) nnn nn uuququuqq . - Si q > 1 alors u n+1 -u n >0 et la suite (un) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors u n+1 -u n <0
et la suite (un) est décroissante. Exemple : Vidéo https://youtu.be/vLshnJqW-64 La suite géométrique (un) définie par
u n =-4×2 nest décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1. Remarque : Si la raison q est négative alors la suite géométrique n'est pas monotone. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
6YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frRÉSUMÉS (un) une suite arithmétique - de raison r - de premier terme u0. Exemple : r=-0,5
et u 0 =4Définition
u n+1 =u n +r u n+1 =u n -0,5 La différence entre un terme et son précédent est égale à -0,5. Propriété u n =u 0 +nr u n =4-0,5n Variations Si r > 0 : (un) est croissante. Si r < 0 : (un) est décroissante. r=-0,5<0La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Les points de la représentation graphique sont alignés. (un) une suite géométrique - de raison q - de premier terme u0. Exemple : q=2
et u 0 =-4Définition
u n+1 =q×u n u n+1 =2×u n Le rapport entre un terme et son précédent est égal à 2. Propriété u n =u 0 ×q n u n =-4×2 nVariations Pour
u 0 >0 : Si q > 1 : (un) est croissante. Si 0 < q < 1 : (un) est décroissante. Pour u 0 <0 : Si q > 1 : (un) est décroissante. Si 0 < q < 1 : (un) est croissante. u 0 =-4<0 q=2>1La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Si q < 0 : la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante.
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