[PDF] Généralités sur les fonctions:Exercices corrigés

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Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde Exercice 1Seconde/Fonctions-Généralités/exo-057/texte Soitkla fonction définie par la courbe donnée ci-dessous : 24
-22 4 6-2-4-6-8 0

Partie A

Répondre par vrai (V) ou par faux (F) aux affirmations ci- dessous en cochant la case correspondante.

Aucune justification n"est demandée.

V F

1.k(4) =-1r r

2.-2est un antécédent de2park.r r

3.-1est l"unique antécédent de5park.r r

4.L"équationk(x)=0a exactement4solutions.r r

5.kest strictement décroissante sur[-1;2].r r

6.Le maximum deksur[-8;7]est5.r r

7.La fonctionkatteint son minimum sur[-8;7]lorsque

x= 2.r r

8.Si0?x?7alors-2?k(x)?3.r r

Partie B

Dresser le tableau de variations de la fonctionken s"aidant de la représentation graphique donnée. Exercice 2Seconde/Fonctions-Généralités/exo-024/texte On considère un triangleABCrectangle enAtel que

AB= 10cm etAC= 6cm etMun point mobile sur[AB].

On construitNetPrespectivement sur[BC]et[AC]de

telle sorte queAMNPsoit un rectangle. 10cm 6cm ABC M NP

1.On poseAM=x. Dans quel intervalle, notéI, variex?

2.a) ExprimerMNen fonction dexpuis établir que l"aire

du rectangleAMNPest donnée, en cm2, par : A

AMNP= 6x-0,6x2

b) Est-il possible que le rectangleAMNPsoit un carré? Si oui, préciser dans quel(s) cas.

3.Soitfla fonction définie sur[0;10]par :

f(x) = 6x-0,6x2 a) Donner l"allure de la courbe defdans un repère or- thonormal d"unité1cm. b) Conjecturer le tableau de variations defpuis émettre une hypothèse concernant la position du pointMqui maximise l"aire du rectangleAMNP. c) En développant chacune des deux expressions, éta- blir que, pour toutxappartenant à[0;10]: f(5)-f(x) = 0,6(x-5)2 d) Expliquer en quoi l"égalité démontrée dans la ques- tion précédente permet de valider l"hypothèse émise

à la question3b.

Exercice 3Seconde/Fonctions-Généralités/exo-060/texte

Soitfla fonction définie sur[-6;2]par :

f(x) =Å x-2 3ã 2 (x+ 5)

1.Tabulerfau pas de1sur[-6;2]puis recopier le tableau

de valeurs obtenu en arrondissant les valeurs def(x)à 10 -1près.

2.En déduire des valeurs à affecter aux paramètresXmin,

X max,YminetYmaxde la fenêtre afin d"obtenir un af- fichage satisfaisant de la courbe de la fonctionfsur l"écran de la calculatrice.

3.Déterminer algébriquement les coordonnées du pointd"intersection de la courbe de la fonctionfavec l"axe

des ordonnées.

4.La courbe de la fonctionfcoupe-t-elle l"axe des abs-

cisses? Si oui, déterminer par le calcul les coordonnées de chacun des points d"intersection de cette courbe avec l"axe des abscisses. Exercice 4Seconde/Fonctions-Généralités/exo-071/texte Soitkla fonction définie par la courbe donnée ci-dessous : 246
-22 4 6 8-2-4-6 0

1.Donner, par lecture graphique, le tableau de variationsde la fonctionk.

2.Recopier et compléter la phrase suivante :Sixest un réel appartenant à l"intervalle[0;4]alorsk(x)

appartient à l"intervalle .............................. Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde Exercice 5Seconde/Fonctions-Généralités/exo-077/texte

Partie A

On donne ci-dessous les courbes représentatives de deux fonctionsfetgobtenues sur l"écran d"une calculatrice avec la fenêtre d"affichage paramétrée de la manière suivante : x min=-4,xmax= 6,ymin=-1etymax= 5. 12345
-11 2 3 4 5 6-1-2-3-4 ?OC fC g

Déterminer graphiquement sans justifier :

1.g(1);

2.l"image de3parg;

3.les antécédents de1parf;

4.les solutions de l"équationg(x) = 3;

5.l"ensemble des solutions de l"inéquationg(x)?0;

6.l"ensemble des solutions de l"équationf(x) =g(x).

Partie B

On admet maintenant quefetgsont définies surRres- pectivement parf(x) =4-2x x2+ 1etg(x) =x2-2x.

1.Calculer l"image de2

3parfen détaillant les étapes du

calcul. On donnera le résultat sous forme d"une fraction irréductible.

2.Développer, réduire et ordonner(x-1)2-9.

3.Factoriser(x-1)2-9.

4.Déterminer algébriquement les antécédents de8parg.

Exercice 6Seconde/Fonctions-Généralités/exo-063/texte On considère un carréABCDde côté6cm,MetNdeux points mobiles respectivement sur[AB]et[BC]tels que

AM=BN.

CD ABMN 6 6

Partie A

1.On poseAM=x. Dans quel intervalle, notéI, variex?

2.Exprimer en fonction dexl"aire des trianglesADM,

BMNetCDNpuis prouver que l"aire du triangle

MNDest donnée, en cm2, par0,5x2-3x+ 18.

3.Soitfla fonction définie surIparf(x) = 0,5x2-3x+18.

a) Utiliser la calculatrice pour conjecturer les variations defsurIet émettre une hypothèse concernant la position deMtelle que l"aire du triangleMNDsoit la plus petite possible. b) En développant séparément les deux membres de l"égalité, établir que pour toutxappartenant àI: f(x)-f(3) =(x-3)2 2 c) En déduire la valeur exacte en laquelle la fonctionf atteint son minimum surIpuis déterminer la posi- tion deMtelle que l"aire du triangleMNDsoit la plus petite possible.

Partie B

1.Prouver queDN2=x2-12x+72puis exprimerDM2

etMN2en fonction dex.

2.Résoudre algébriquement chacune des équations sui-vantes :a)x2+ 36 =x2-12x+ 72;

b)x2-12x+ 72 = 2x2-12x+ 36; c)x2+ 36 = 2x2-12x+ 36.

3.Est-il possible que le triangleMNDsoit isocèle? équi-

latéral? Exercice 7Seconde/Fonctions-Généralités/exo-072/texte Dans cet exercice,fetgdésignent les deux fonctions défi- nies sur[-2;4]dont on donne ci-dessous les courbes repré- sentatives, obtenues sur l"écran d"une calculatrice.

123456

-1 -2 -3 -41 2 3 4-1-20 CfC g

1.Déterminer graphiquement l"ensemble solution de cha-cune des équations et inéquations suivantes :a)f(x) = 4;

b)f(x)?1;c)f(x)> g(x); d)f(x)?g(x).

2.On admet maintenant quefetgsont définies respecti-

vement parf(x) =-x2+ 2x+ 4etg(x) =-x+ 4. Résoudre par le calcul l"équationf(x) =g(x). Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde Exercice 8Seconde/Fonctions-Généralités/exo-059/texte

Partie A

On donne ci-dessous les courbes représentativesCfetCgde deux fonctionsfetgtoutes deux définies sur l"intervalle

I= [-1;8].

246810121416

-2 -4 -6 -81 2 3 4 5 6 7 8-1 C f C g Résoudre graphiquement les équations et inéquations ci- dessous.

On justifiera chaque réponse par une phrase.

1.f(x) = 12

2.f(x) =g(x)3.f(x)> g(x)

4.f(x)?g(x)

Partie B

Dans cette partie, on admet que les fonctionsfetgsont définies surIparf(x) = 16-(x-3)2etg(x) =x2-8x+7.

1.Calculer l"image de2

3parg.

On donnera le résultat sous la forme d"une fraction ir- réductible. Pour répondre aux deux questions suivantes, des trans- formations d"écriture (développement, factorisation) sont nécessaires.

2.Déterminer algébriquement les antécédents de0parf.

3.Résoudre algébriquement l"équationf(x) =g(x).

Exercice 9Seconde/Fonctions-Généralités/exo-074/texte Soitfla fonction définie sur[0;7]parf(x) = 2x-(x-3)2.

1.Calculer l"image de4

3parf.

On détaillera les étapes du calcul et on donnera le ré- sultat sous forme d"une fraction irréductible.

2.Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.

x01234567 f(x)

3.Donner l"allure de la courbe représentative de la fonc-tionfdans le repère donné ci-dessous.

4.Résoudre graphiquement l"équationf(x) = 5.

Justifier la réponse par une phrase ou par des traits de lecture apparents sur le graphique.

1234567

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -91 2 3 4 5 6 7 Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde Exercice 10Seconde/Fonctions-Généralités/exo-109/texte On donne ci-dessous la courbe représentative d"une fonc- tiongdéfinie sur[-1;6].

1234567

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -91 2 3 4 5 6-1

Partie A

Donner par lecture graphique :

1.l"image de4parg;

2.les antécédents de(-2)parg;

3.l"ensemble des solutions de l"inéquationg(x)?6;

4.l"ensemble des solutions de l"inéquationg(x)<3;

5.le maximum degsur[-1;6]ainsi que la valeur dexen

laquelle ce maximum est atteint;

6.le tableau de variations deg.

Partie B

On admet maintenant quegest définie par :

g(x) =-x2+ 4x+ 3

1.Calculer l"image deÅ

-2 3ã parg.

2.Établir que pour toutxappartenant à[-1;6]:

g(2)-g(x) = (x-2)2

3.L"égalité prouvée à la question précédente permet de va-lider une des réponses obtenues graphiquement dans lapremière partie. Laquelle? Justifier.

Exercice 11Seconde/Fonctions-Généralités/exo-108/texte

Partie A

Soitfla fonction définie sur[0;10]par :

f(x) = 2x2-20x+ 100

1.Compléter le tableau de valeurs ci-dessous(tab.1, p.4).

2.Donner des valeurs dexmin,xmax,yminetymaxpermet-

tant d"afficher correctement la courbe représentative de la fonctionfà l"écran de la calculatrice.

3.Dresser, par simple lecture graphique, le tableau de va-riations defsur[0;10].

Partie B

Les pierres " okaré » sont des pierres précieuses dont la valeur (en euros) est égale au carré de leur masse (en grammes). On a malheureusement laissé tomber une pierre " okaré » de10grammes; elle s"est alors brisée en deux morceaux.

1.Prouver que si le plus gros des morceaux pèse8grammes

alors la valeur totale des deux morceaux est68e.

2.Dans la suite de l"exercice, on notexla masse, exprimée

en grammes, d"un des deux morceaux. a) Préciser l"intervalle dans lequel variexpuis exprimer en fonction dexla masse du second morceau. b) Établir que la valeur totale des deux morceaux est donnée, en euros, par2x2-20x+ 100.

3.Justifier en une phrase chacune des affirmations sui-vantes.a) Quelles que soient les masses des deux morceaux, le

propriétaire de la pierre " okaré » est perdant. b) La pire des situations du point de vue du proprié- taire est que sa pierre se soit brisée en deux morceaux identiques. x012345678910 f(x)

Table1 -Tableau de valeurs def

Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde Exercice 12Seconde/Fonctions-Généralités/exo-078/texte

Partie A

On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonctionsfetg.

246810121416

-2 -4 -6 -81 2 3 4 5 6 7-1-2-3

••••C

f C g

1.Par simple lecture graphique, dresser le tableau de variations de la fonctionf.

2.Comparer, sans aucun calcul,fÅ7

3ã etfÅ83ã

3.Soitaetbdeux réels appartenant à[0;3]tels quea?b. Peut-on comparerf(a)etf(b)?

4.Compléter le tableau ci-dessous à l"aide du graphique.

L"ensemble de définition defest

L"image de3pargest

f(-1) =

Les solutions def(x) = 15sont

Les antécédents de7parfsont

L"ensemble solution def(x)?12

L"ensemble solution def(x)> g(x)

La valeur dexpour laquellefatteint son maximum sur[-3;7]est

Le maximum defsur[-3;7]est

Le couple de coordonnées du point d"intersection deCgavec l"axe des ordonnées est

Partie B

Dans cette partie, on admet que les fonctionsfetgsont définies respectivement parf(x) =-x2+ 4x+ 12etg(x) =x+ 2.

Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde

1.Le pointAde coordonnéesÅ

-32;4ã appartient-il à la courbeCf? Justifier la réponse par un calcul.

2.a) Développer, réduire et ordonner16-(x-2)2.

b) En factorisant16-(x-2)2, prouver que :

16-(x-2)2= (x+ 2)(6-x)

c) Résoudre l"équation16-(x-2)2= 0. d) Factoriser(x+ 2)(6-x)-(x+ 2).

3.S"ils existent, déterminer par le calcul les antécédents parfdu nombre0.

4.Résoudre algébriquement l"équationf(x) =g(x).

Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde Exercice 1Seconde/Fonctions-Généralités/exo-057/corrige

Partie A

1.k(4) =-1r3r

2.-2est un antécédent de2park.r r3

3.-1est l"unique antécédent de5park.r3r

4.L"équationk(x)=0a exactement4solutions.r3r

5.kest strictement décroissante sur[-1;2].r3r

6.Le maximum deksur[-8;7]est5.r3r

7.La fonctionkatteint son minimum sur[-8;7]lorsque

x= 2.r3r

8.Si0?x?7alors-2?k(x)?3.r3r

Partie B

Tableau de variations de la fonctionk:

x Var. k-8 4-5 -1-1 52
-273 Exercice 2Seconde/Fonctions-Généralités/exo-024/corrige

1.La longueurAMest minimale lorsqueMest enA; dans

ce cas, on ax= 0.

La longueurAMest maximale lorsqueMest enB;

dans ce cas, on ax= 10.

Conclusion :xvarie dans l"intervalleI= [0;10].

2.a) Les droites(MN)et(AC)sont parallèles (car toutes

deux perpendiculaires à(AB)) et les droites(CN)et (AM)sont sécantes enBdonc, d"après le théorème de Thalès, on a BM

BA=MNAC.

BM

BA=MNAC??MN=BM×ACBA

??(10-x)6 10 ??60-6x 10 ??60

10-6x10??6-0,6x

L"aire du rectangleAMNPest donnée, en cm2, par : A

AMNP=AM×MN

=x(6-0,6x) = 6x-0,6x2 b) Pour que le rectangleAMNPsoit un carré, il faut et il suffit qu"il ait deux côtés consécutifs de même longueur. Par conséquent,AMNPest un carré si, et seule- ment si,AM=MNsoit encore si, et seulement si, x= 6-0,6x. Or :

6-0,6x=x??6-0,6x+ 0,6x=x+ 0,6x

??6 = 1,6x 6 1,6=x ??3,75 =x

S={3,75}

Conclusion : Le rectangleAMNPest un carré si, et seulement si,x= 3,75.

3.a) Allure de la courbe représentative def:

123456789101112131415

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) Je conjecture le tableau de variations def: x Var. f005 1510
0 Si le tableau ci-dessus correspond bien au tableau de variations defalors la fonctionfatteint son maximum sur[0;10]lorsquex= 5, ce qui signifie que l"aire du rectangleAMNPest maximale lorsque x= 5c"est-à-dire lorsqueMest le milieu de[AB]. c) Pour toutxappartenant à[0;10]: f(5)-f(x) = 15-(6x-0,6x2) = 15-6x+ 0,6x2 = 0,6x2-6x+ 15

0,6(x-5)2= 0,6(x2-2×x×5 + 52)

= 0,6(x2-10x+ 25) = 0,6x2-6x+ 15

Conclusion : Pour toutxappartenant à[0;10]:

f(5)-f(x) = 0,6(x-5)2 d) Pour toutxappartenant à[0;10],0,6(x-5)2?0(car un carré est un réel positif) doncf(5)-f(x)?0d"où f(5)?f(x). On peut donc affirmer que la fonctionfatteint bien son maximum sur[0;10]lorsquex= 5, ce qui permet de valider la conjecture émise à la question3b. Exercice 3Seconde/Fonctions-Généralités/exo-060/corrige

1.Tableau de valeurs def(tab.??, p.??).

2.Au vu du tableau de valeurs, on peut choisirXmin=-6,

X max= 2,Ymin=-44,4etYmax= 26,9.

Remarque :

Avec ces valeurs, on n"obtient pas la tota-

lité de la courbe à l"écran. On solutionne ce problème Généralités sur les fonctions:Exercices corrigésSeconde en ajustant les valeurs deYminetYmax, par exemple, en choisissantYmin=-45etYmax= 27.

3.Un point appartient à l"axe des ordonnées si, et seule-ment si, son abscisse est égale à0.

f(0) =Å 0-2 3ã 2

×(0 + 5)

-2 3ã 2 ×5 4

9×5

20 9 donc la courbe defcoupe l"axe des ordonnées au point

Ade coordonnéesÅ

0;20 9ã

4.Un point appartient à l"axe des abscisses si, et seulementsi, son ordonnée est égale à0.

f(x) = 0??Å x-2 3ã 2 (x+ 5) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l"un au moins des facteurs est nul. f(x) = 0??x-2

3= 0oux+ 5 = 0

??x=2

3oux=-5

La courbe de la fonctionfcoupe exactement deux fois l"axe des abscisses. Les deux points d"intersection sont les pointsB(-5;0)etCÅ2

3;0ã

102030

-10 -20 -30 -401 2-1-2-3-4-5-6

•••BA

C Exercice 4Seconde/Fonctions-Généralités/exo-071/corrige

1.Tableau de variations de la fonctionk:

x Var. k-6 6-3 -315 9 -2

2.Sixest un réel appartenant à l"intervalle[0;4]alorsk(x)

appartient à l"intervalle[0;5] Exercice 5Seconde/Fonctions-Généralités/exo-077/corrige

Partie A

1.g(1) =-1;

2.l"image de3pargest3;

3.les antécédents de1parfsont-3et1;

4.les solutions de l"équationg(x) = 3sont-1et3;

5.l"ensemble des solutions deg(x)?0est[0;2];

6.l"ensemble des solutions def(x) =g(x)est{-1;2}.

Partie B

1.Je calcule l"image de2

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