[PDF] Généralités des fonctions La notion de fonction numé

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MATHÉMATIQUES

3ème Année Secondaire Sciences Techniques

Auteurs

Ammar Ardhaoui

Inspecteur Principal

Hammadi Dhiaf

Professeur Principal

Abdellatif Gallali

Inspecteur Principal

Salem Marzougui

Professeur

Responsable

Evaluateurs

Hikma Smida

Professeur Universitaire

Lezhari Nejib

Professeur Universitaire

Jaâfar Beni Yazid

Inspecteur Général

Sliman Hassayoun

Inspecteur Principal

Centre National Pédagogique

REPUBLIQUE TUNISIENNE

MINISTERE DE L"EDUCATION

© Tous droits réservés au Centre National Pédagogique 3 •Le présent ouvrage est conforme au programme officiel de mathématiques de la 3ème année secondaire section Sciences

Techniques (version août 2005)

•Conformément à l"esprit des nouveaux programmes, nous n"avons pas voulu faire de cet ouvrage un exposé magistral destiné à être abordé passivement. Au contraire nous avons adopté une méthodologie basée essentiellement sur les activités, ce qui devrait permettre à l"élève d"investir ses acquis antérieurs et de participer à la construction des nouveaux savoirs. •Nous nous sommes efforcés à ce que le livre réponde à la spécificité de la section : Sciences Techniques. - Ainsi le cours est succint et pratique. - Dans la mesure du possible les exemples sont puisés dans le domaine technique et dans la vie courante. - Quelques activités faisant appel à l"utilisation des outils informatiques, calculatrice ou logiciels ont été introduites pour permettre à l"élève d"expérimenter, de réfléchir et de conjecturer. •Nous tenons à remercier tous ceux qui ont aidé à la réalisation de cet ouvrage : la Direction des Programmes et des Manuels Scolaires, les Techniciens du CNP et notamment les évaluateurs pour leurs conseils et remarques utiles et efficaces.

Les auteurs

PREFACE

4

MODE D"EMPLOI DU MANUEL

Pour faciliter l'utilisation du manuel par l'élève et par le professeur, nous proposons un aperçu sur l'organisation des chapitres. La plupart des chapitres sont composés des rubriques suivantes :

Introduction

Cette rubrique est composée de quelques activités qui permettent à l"élève :

•d"investir ses acquis antérieurs.

•d"introduire les nouvelles notions.

Cours

Le cours propose :

- Une approche simple des notions (définitions, théorèmes, rappels...) en respectant la rigueur indispensable. - Des activités qui permettent aux élèves de s"assurer de leur bonne compréhension des notions développées dans le cours. - Des activités permettant l"utilisation de l"outil informatique ou la calculatrice

Résumé

C"est une récapitulation des acquis fondamentaux du cours.

Exercices et problèmes

Les exercices sont de deux types :

•Des exercices d"application directe, ordonnés par thème et suivant la pro- gression du cours. •Des exercices et des problèmes d"intégration dont les solutions nécessitent des savoir-faire et l"investissement de plusieurs acquis antérieurs. Ces problèmes touchent des domaines variés : mathématiques, vie quotidienne, électricité, mécanique,...

Math et Culture

C"est une rubrique à caractère culturel ou historique destinée à motiver les élèves en leur donnant une idée sur l"évaluation des mathématiques à travers l"histoire ou en proposant un bref aperçu sur la vie et les œuvres de mathématiciens réputés.

PREMIERE PARTIE

Généralités sur les fonctions

Notion de limite

Continuité

Dérivabilité

Etude de fonctions

Fonctions circulaires

Suites réelles

Dénombrement

Probabilités

Statistiques

6

Chapitre 1 :

Généralités sur les fonctions ................................................. 7

Chapitre 2 :

Notion de limite................................................................... 23

Chapitre 3 :

Continuité............................................................................ 41

Chapitre 4 :

Dérivabilité......................................................................... 54

Chapitre 5 :

Etude de fonctions.............................................................. 79

Chapitre 6 :

Fonctions circulaires.........................................................100

Chapitre 7 :

Suites réelles.....................................................................108

Chapitre 8 :

Chapitre 9 :

Probabilités...................................................................... 149

Chapitre 10 :

Statistiques....................................................................... 166

SOMMAIRE ( 1

ère

PARTIE )

Généralités sur les fonctions

INTRODUCTION

7

Activité 1

Généralités sur les fonctions

La notion de fonction numérique d"une variable réelle a été étudiée en classe de 2 ième année sciences. Les différentes activités qui suivent ont pour objectifs de rappeler, de consolider et de compléter les acquis des élèves dans ce domaine.

Dans le graphique ci-contre la parabole ( P )

est la courbe représentative d"une fonction, , la droite D est celle d"une fonction affine

1°) Déterminer les réels a, b, c et d.

2°) Déterminer, graphiquement puis par le calcul,

les coordonnées des points d"intersection de ( P ) et D.

3°) Utiliser le graphique pour résoudre

l"inéquation -2x 2 + x + 1 ≥ 0

Activité 2

Un appareil électrique consomme une puissance P = 600 watts. Il est alimenté sous une tension variable v (en volts) et est parcouru par un courant i ( en ampères). On rappelle la formule Les différentes mesures de i en fonction de v ont donné la courbe ( C ) ci-contre. Dans l"axe des abscisses on lit les valeurs de v et dans l"axe des ordonnées on lit les valeurs de i.

Chapitre 1

81) a- Compléter l"écriture: ( C ) est la courbe

représentative de la fonction b- Répondre par vrai ou faux :

•( C ) est une branche d"une parabole.

•( C ) est une branche d"une hyperbole

•f est croissante sur ]0 , 100] et

décroissante sur [100 , +∞[

•f est décroissante sur

2) a- Calculer l"intensité du courant si la tension est de 220 volts

b- L"appareil ne peut supporter une intensité supérieure à 6 ampères.

Quelle est la tension minimale permise?

9Soit f la fonction définie sur [0 , 3] par :

f(x) = 2x 3 - 9x 2 + 12x - 5.

La figure ci-contre est la représentation

graphique de f dans un repère

1°) Répondre par vrai ou faux.

a. f est croissante dans l"intervalle [0 , 2] b. f est croissante dans l"intervalle [2 , 3] c. f est décroissante dans l"intervalle [1 , 2] d. f est monotone dans l"intervalle [1 , 3] e. f admet un maximum égal à 0 au point 1 f. f admet un maximum en x = 3. g. Dans l"intervalle f admet un minimum en 2 égal à - 1.

2°) Résumer dans un tableau les variations de f.

Cours

GÉNÉRALITÉS

Activité 3

Déterminer l"ensemble de définition D

f de la fonction f, à variable réelle, dans chacun des cas suivants :

Activité 4

Exemple :

Soit . Montrer que D

f = [- 1 , 1]

Soit f une fonction numérique à variable réelle. L'ensemble des réels x tels que f(x) existe

s'appelle ensemble de définitionde f ou domaine de définitionde f, noté D f

Définition

10Soit f la fonction à variable réelle, définie par :

1) a- Déterminer le domaine de définition de f.

b- Montrer que f est paire. c- Soient a et b deux réels positifs tels que a < b.

Vérifier que

d- Déduire que f est croissante sur [1 , +∞[ et décroissante sur [0 , 1].

2) a- Tracer la partie de la courbe représentative de f correspondante à [0 , +∞[.

b- En utilisant la parité de f, compléter la courbe représentative de f sur son domaine de définition.

3) f admet-elle des minimums, des maximums ? Pour quelles valeurs de x, sont-ils atteints?

4) f admet-elle un maximum pour x = 0 ? Donner un intervalle ouvert contenant 0 dans

lequel f(0) = 0 est un maximum pour f.

Activité 5

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.

On dit que :

•f est croissante sur I si et seulement si

•f est décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) ≥ f(b) •f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b) •f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b)

Définition

Montrer que :

a) f est croissante sur I signifie que b - a et f(b) - f(a) ont le même signe pour tous réels a et

b distincts de I . b) f est décroissante sur I signifie que : b - a et f(b)-f(a) ont des signes contraires .

Activité 6

Soit a et b deux réels distincts de I .

Le réel s"appelle le taux d"accroissement de f entre a et b.

Définition

11Montrer que

•f est croissante sur I si et seulement si pour tous réels a et b distincts de I , •f est décroissante sur I si est seulement si pour tous réels a et b distincts de I , •f est constante sur I si est seulement si pour tous réels a et b distincts de I ,

Activité 7

Soit f la fonction à variable réelle définie par : f(x) = x 2 - 2x + 5 a- Soit a et b deux réels distincts. Vérifier que f(b) - f(a) = b 2 - a 2 - 2 (b - a). b- Montrer que c- En déduire que f est croissantes sur et décroissante sur

Conséquences

•Pour tout réel x de D

f •Si le repère est orthogonal alors les points M et M" sont symétriques par rapport à

Activité 8

Une fonctio est dite paire si : Pour tout réel x de D f , ona : - x ? D f et f(- x ) = f(x).

Définition

12 symétrie par rapport à (OJ).

Le graphique ci- contre représente une partie

paire dans le repère orthogonal

Terminer la courbe de f.

Activité 9

Montrer que : Pour tout réel x de D

f b) les points M(x , f(x)) et M"(- x , -f( x)) sont symétriques par rapport à O.

Activité 10

Soit f la fonction définie sur [-2 , 2] par : f(x) = x ?x ? a- Montrer que f est impaire b- Tracer sa courbe représentative (C) dans un repère

Activité 11

Une fonctio est dite impaire si :

Pour tout réel x de D

f , ona : - x ? D f et f(- x ) = - f(x).

Définition

Point méthode

Point méthode

symétrie par rapport à O. 13 Soit f une fonction définie sur une partie D de IR et x 0 un réel de D.

•Lorsque f(x

0 ) est la plus grande valeur de f sur D , on dit que f admet un maximum absolu en x 0 0

•Lorsque f(x

0 ) est la plus petite valeur de f sur D , on dit que f admet un minimum absolu en x 0 . c"est-à-dire pour tout réel x de D , f(x) ≥ f(x 0 •on dit que f admet un maximum local ( ou relatif) en x 0 s"il existe un intervalle ouvert I inclus dans D où f(x 0 ) est la plus grande valeur de f sur I. •on dit que f admet un minimum local ( ou relatif) en x 0 s"il existe un intervalle ouvert I inclus dans D où f(x 0 ) est la plus petite valeur de f sur I.

Définition

Le graphique ci- contre représente la courbe représentative d"une fonctio définie sur .

Répondre par vrai ou faux

•f admet un maximum en 0 égal à 2

•f admet un minimum local en 2 égal -2

•f admet un maximum local en -1 égal à -2

•f admet un minimum local en 1 égal à 0

Activité 12

La figure (C) ci-contre est la représentation graphique, dans un repère d"une fonctio définie sur .

1) a) Comparer : f(x + 2) et f(x)

b) Compléter,

2) a) Pour tout réel x, le point M(x , f(x))

est un point de (C ).

Montrer que le point M"(x + 2 , f(x))

est aussi un point de ( C ). b- Montrer que . c- En déduire que M" est l"image de M par une transformation que l"on caractérisera.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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