Chapitre 3 - Principales distributions de probabilités
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4 1 Calcul de la loi Binomiale. 2 Calcul de la loi de Poisson. 3 Calcul
11-Dec-2002 On se propose d'utiliser le tableur Excel pour trouver des conditions qui permettent d'approximer la loi binomiale par la loi de Poisson ou ...
Calcul élémentaire des probabilités
16-Feb-2006 Strasbourg France ... Son espérance mathématique et son ... On remplace la loi binomiale par la loi de Poisson de même espérance.
Terminale générale - Loi binomiale - Fiche de cours
de paramètre p X suit une loi binomiale B(n ; p) https://physique-et-maths.fr ... Pour la variable aléatoire X qui suit la loi de Poisson P(?). P(X=k)=.
Cours de probabilités et statistiques
IREM de Lyon - Département de mathématiques Perrut@univ-lyon1.fr ... Dans le cas de l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson ...
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
L'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale générale est Introduction de la loi de Poisson comme limite de lois binomiales.
Introduction aux lois de probabilité avec R - CEL
30-Oct-2016 http://www.math.unicaen.fr/~chesneau/. Caen le 10 Août 2016 ... Loi binomiale géométrique. Poisson paramètres n ? N?
Probabilités Loi normale TI-83 Premium CE
Loi normale. TI-83 Premium. CE. On suppose que la masse (en kg) X d'un bébé à la naissance suit la loi normale de paramètre m = 3
Probabilités et variables aléatoires
p2 . – Loi de Poisson P(?) : E(X) = Var(X) = ?. – Loi normale
LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES
(c + n ? 1) zn n! • La somme de n v.a. indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale B(n p).
Loi binomiale et loi de Poisson 1 Loi binomiale - mathematicefr
On dit que S suit la loi binomiale de paramètres 3 et 2 5 Cas général : Si une variable aléatoire S est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p alors S suit la loi binomiale de paramètres n et p Pour chaque entier k tel 0 n on a alors : P (S = k) = n k pkqn k avec q = 1 p
LOI DE POISSON APPROXIMATION D'UNE LOI BINOMIALE - matheclair
Définition : La loi de Poisson est utilisée lorsqu'on s'intéresse au nombre de réalisations observées durant un intervalle de temps de longueur donnée lorsque le temps d’attente entre deux réalisations est fourni par une loi exponentielle
La loi de Poisson.
Règle d"utilisation.
Deux exemples.
Ajustement à une distribution expérimentale.Calcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand
1et Thomas Delzant11
IRMA, Université Louis Pasteur
Strasbourg, FranceLicence 1ère Année 16-02-2006 Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Deux exemples.
Ajustement à une distribution expérimentale.Définition.Exemple.
Sommaire
1La loi de Poisson.
2Règle d"utilisation.
3Deux exemples.
4Ajustement à une distribution expérimentale.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Définition.Exemple.
La loi de Poisson. (Du nom de son inventeur).
La loi de Poisson est aussi appelé la LOI des évenements rares.La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée.Définition
Une variable aléatoire X suit une LOI de Poisson de paramètreλsi :
P[X=k] =e-λλkk!,où k?N.
On écrit alors X≂ P(λ).Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités
La loi de Poisson.
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Deux exemples.
Ajustement à une distribution expérimentale.Définition.Exemple.
On considère une variable aléatoireXqui suit une loi de Poisson de paramètreλ. Son espérance mathématique et son écart-type sont alors donnés par les formules suivantes :PropriétésE[X] =λ
σ(X) =⎷λ.
Remarque
C"est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égaleà sa variance.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Définition.Exemple.
Le nombre de joueurs qui vont gagner au loto la
semaine prochaine.Il y a 7·106joueurs qui misent au loto. La probabilité de gagnerest environ 1 chance sur 5·106.Quelle est laloiqui décrit le nombre dejoueurs gagnants?En principe, il s"agit d"uneloi binomialeB?
7·106,15·106?
Mais à l"évidence cette loi décrit un nombre petit devant le nombre des expériences, c"est-à-dire qu"elle décrit desévénementsrares.
Onremplace la loi binomialepar laloi de Poissondemême espérance.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Définition.Exemple.
Ici,E[X] =7/5=1,4. On peut donc écrire :
P[X=k] =e-1,4×(1,4)kk!.
On a :P[X=0] =0.246P[X=1] =0.345P[X=2] =0.241P[X=3] =0.112P[X=4] =0.039P[X=5] =0.011,et les autres probabilités sont extrêmement faibles.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Sommaire
1La loi de Poisson.
2Règle d"utilisation.
3Deux exemples.
4Ajustement à une distribution expérimentale.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Règle d"utilisation.
On remplace la loi binomialeB(n,p)par la loi de Poisson d"espérancen×pnotéeP(np), si les 3 conditions suivantes sont vérifiées :1p<0,12np<103n>30.Exemple Un livre de 300 pages contient 200 fautes d"orthographe. Quelle est la variable aléatoire qui décrit le nombre de fautes à la 15-ième page? Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Deux exemples.
Ajustement à une distribution expérimentale.Nombre d"accidents de la route.Standard téléphonique.
Sommaire
1La loi de Poisson.
2Règle d"utilisation.
3Deux exemples.
4Ajustement à une distribution expérimentale.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Deux exemples.
Ajustement à une distribution expérimentale.Nombre d"accidents de la route.Standard téléphonique.
Nombre d"accidents de la route.
On observe en moyenne 7 300 morts par an sur la route.Question
Quelle est la loi qui décrit le nombre de morts chaque jour? Il y a 100 départements en France. Supposons, pour simplifier, qu"en moyenne chacun ait le même nombre de morts.Question Quelle est la loi qui décrit le nombre de morts chaque mois dans le Bas-Rhin? Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Deux exemples.
Ajustement à une distribution expérimentale.Nombre d"accidents de la route.Standard téléphonique.
Standard téléphonique.
On sait que le nombre moyen de communications
téléphoniques reçues par un standard entre 10h et 11h est de108.Question
Calculer la probabilité pour qu"entre 10h53 et 10h54 il y ait :0 appel,
1 appel,
2 appels,
au moins 3 appels. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Accidents de la route.Assurance.
Sommaire
1La loi de Poisson.
2Règle d"utilisation.
3Deux exemples.
4Ajustement à une distribution expérimentale.
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Deux exemples.
Ajustement à une distribution expérimentale.Accidents de la route.Assurance.
Ajustement d"une distribution expérimentale et d"une loi de Poisson.On revient sur les accidents de la route. Durant une période consécutive de 50 jours, on compte le nombre d"accidents dans une petite ville. On observe :Nombre d"accidentsxiNombre de joursfi021 11827
33
41
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités
La loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Accidents de la route.Assurance.
Questions
1Quelle loi de Poisson peut-on choisir pour décrire le
nombre d"accidents par jour?2Comparer l"écart-type expérimental et celui de cette loi de Poisson.3Quelle serait, pour le choix de cette loi, la probabilité pourqu"il se produise 0,1,2,3 ou 4 accidents?4Quelle serait, pour cette loi, l"espérance mathématique du
nombre de jours où il y a 0,1,2,3,4 accident(s) durant une période de 50 jours?5Le choix d"une loi de Poisson était-il judicieux? Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilitésLa loi de Poisson.
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Ajustement à une distribution expérimentale.Accidents de la route.Assurance.
Assurance.
Un agent assure 10 000 personnes contre les incendies. La probabilité qu"une personne donnée ait un incendie est de 1 chance sur 1 000.Questions1Quelle est l"espérance mathématique du nombre
d"incendies?2Quelle est la probabilité (à 10 -2près) pour que 10 sinistres exactement aient lieu?3Quelle est la probabilité (à 10 -2près) pour que 4 sinistresou moins aient lieu?On pourra prendree-10=4,5·10-5pour faire les calculs.Myriam Maumy-Bertrand et Thomas DelzantCalcul élémentaire des probabilités
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