[PDF] Introduction aux lois de probabilité avec R - CEL

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Université de Caen

Introduction aux lois de probabilit

´e avecChristophe Chesneau

http://www.math.unicaen.fr/ ~chesneau/Caen, le 10 Août 2016

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

1 Syntaxe générale5

2 Densité7

3 Fonction de répartition 11

4 Quantiles15

5 Simulation17

5.1 La commandesample. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

5.2 Simulation par des lois préprogrammées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

6 Exercices21

7 Solutions31

Note L"objectif de ce document est de présenter les principales commandes R associées aux lois de

probabilités et simulations de variables aléatoires réelles (var). Quelques éléments théoriques

sont consultables ici :http://www.math.unicaen.fr/~chesneau/form-prob-MATHS.pdf

Contact :christophe.chesneau@gmail.com

Bonne lecture!C. Chesneau3

1 SYNTAXE GÉNÉRALE

1 Syntaxe générale

Pour unevarXsuivant une loi notéeloidans R, la syntaxe générale est la suivante : pour obtenir "la densité" deX, la commande est :dloi; on ajoute la lettred dev antloi, pour obtenir la fonction de répartition deX, la commande est :ploi; on ajoute la lettrep dev ant loi, pour obtenir le quantile deX, la commande est :qloi; on ajoute la lettreq dev antloi, pour simuler des réalisations devarsuivant la même loi queX, la commande est :rloi; on ajoute la lettre r dev antloi.

Ci-dessous, un tableau grossier récapitulatif :Loi :loidensité fonction de répartition quantile simulationnotationsf(x);P(X=x)F(x)valeur liée àF(x)x1;:::;xncommandesdloi ploi qloi rloiLes nomsloiles plus célèbres sont :norm(pour la loi normale),binom(pour la loi binomiale),

unif(pour la loi uniforme),geom(pour la loi géométrique),pois(pour la loi de Poisson),t(pour la loi

de Student),chisq(pour la loi du Chi-deux),exp(pour la loi exponentielle),f(pour la loi de Fisher)...

La suite de ce document apporte des détails, des exemples et des illustrations à ces commandes.C. Chesneau5

2 DENSITÉ

2 Densité

Définition

Pour unevarXdiscrète, on appelle "la densité" deXenxla probabilitéP(X=x). Pour unevarXà densité de densitéfX, on appelle "la densité" deXenxla fonctionfX(x). Dans les deux cas, la densité ainsi définie caractérise la loi deX.

Commandes

Si la loi deXdépend d"un ou de plusieurs paramètres, disonspar1etpar2, alors la densité deX enxest donnée par les commandes : dloi(x, par1, par2) Quelques exemples sont décrits ci-dessous :Loi binomiale géométrique Poisson paramètresn2N; p2]0;1[p2]0;1[ >0X B(n;p)G(p)P()X( )f0;:::;ngN NP(X=x)n x p x(1p)nxp(1p)xexx!commandesdbinom(x, n, p) dgeom(x, p) dpois(x, lambda)C. Chesneau7

2 DENSITÉ

Loi uniforme exponentiellenormale

paramètres(a;b)2R2,a < b >02R, >0X U([a;b])E()N(;2)X( ) [a;b] [0;1[R f X(x)1baex1p22e(x)222commandesdunif(x, a, b) dexp(x, lambda)dnorm(x, mu, sigma) Pour compléter, voir :help("dgamma"),help("dt"),help("dchisq")ethelp("df").

Calculs

On fait :

dbinom(4, 8, 0.3)Cela renvoie :[1] 0.1361 Ainsi, on a calculé la densité d"unevarX B(8;0:3)enx= 4:

P(X= 4) =8

4

0:34(10:3)84:

On peut vérifier cela en faisant :

choose(8, 4) * 0.3^4 *(1- 0.3)^(8 - 4)Cela renvoie :[1] 0.1361

On fait :

dnorm(1.7, 2, 0.12)Cela renvoie :[1] 0.1460692C. Chesneau8

2 DENSITÉ

Ainsi, on a calculé la densité d"unevarX N(2;0:122)enx= 1:7: f

X(1:7) =1p20:122e(1:72)220:122

On peut vérifier cela en faisant :

(1 / sqrt(2 * pi * 0.12^2)) * exp(- (1.7 - 2)^2 / (2 * 0.12^2))Cela renvoie :[1] 0.1460692

Pour calculer la densité en plusieurs valeurs, on prend pourxle vecteur ayant pour éléments ces

valeurs. On peut faire de même avec un ensemble de paramètres et les arguments correspondants.

On fait :

dbinom(c(4, 6), 8, 0.3)Cela renvoie :[1] 0.13613670 0.01000188 On a ainsi calculé la densité d"unevarX B(8;0:3)pourx2 f4;6g.

On fait :

dexp(2, c(1, 2, 3))Cela renvoie :[1] 0.135335283 0.036631278 0.007436257 Ainsi, on a calculé la densité d"unevarX E()enx= 2, avec= 1,= 2et= 3. On peut aussi mettre ces résultats dans un vecteur pour le réutiliser ultérieurement.

On fait :

vec = dexp(2, c(1, 2, 3)) vecCela renvoie :[1] 0.135335283 0.036631278 0.007436257

Représentation graphique

On peut représenter le graphe de la densité d"unevarXdiscrète avec la commandeplotet l"option

type = h.

On fait :

plot(0:5, dbinom(0:5, 5, 0.2), type = "h", ylab = "P(X = x)")C. Chesneau9

2 DENSITÉ

Cela renvoie :

On a ainsi représenté le graphe de la densité d"unevarX B(5;0:2). On peut représenter le graphe de la densité d"unevarXà densité avec la commandecurve.

On fait :

curve(dnorm(x, 5, 1.5), 0.5, 9.5, ylab = "fX(x)")Cela renvoie : On a ainsi représenté le graphe de la densité d"unevarX N(5;1:52).C. Chesneau10

3 FONCTION DE RÉPARTITION

3 Fonction de répartition

Définition

On appelle fonction de répartition d"unevarXenxla fonctionFX(x) =P(Xx).

SiXest discrète, on a

F

X(x) =X

k2X( )\]1;x]P(X=k):

SiXest à densité, on a

F

X(x) =Z

x 1 f

X(t)dt:

Commandes

Si la loi deXdépend d"un ou de plusieurs paramètres, disonspar1etpar2, alors la fonction de répartition deXenxest donnée par les commandes : ploi(x, par1, par2)

On peut calculer :P(X > x) = 1FX(x), en faisant :

ploi(x, par1, par2, lower.tail = FALSE)

Calculs

On fait :

pbinom(4, 8, 0.3)Cela renvoie :[1] 0.9420324 Ainsi, on a calculé la fonction de répartition d"unevarX B(8;0:3)enx= 4: F

X(4) =P(X4) =4X

k=0P(X=k): On peut vérifier le calcul précédent en faisant : sum(dbinom(0:4, 8, 0.3))C. Chesneau11

3 FONCTION DE RÉPARTITION

Cela renvoie :[1] 0.9420324

On fait :

pnorm(12, 9, 2)Cela renvoie :[1] 0.9331928 Ainsi, on a calculé la fonction de répartition d"unevarX N(9;22)enx= 12: F

X(12) =P(X12) =Z

12

11p222e(t9)2222dt:

On fait :

pexp(2, 3, lower.tail = FALSE)Cela renvoie :[1] 0.002478752

Ainsi, on a calculé :P(X >2),X E(3):

P(X >2) =Z

1 2 f

X(x)dx=Z

1 2

3e3xdx=e3x1

2=e32=e6:

On peut vérifier le calcul précédent en faisant : exp(-6)Cela renvoie :[1] 0.002478752

Représentation graphique

On peut représenter le graphe de la fonction de répartition d"unevarXdiscrète avec la commande

stepfun.

On fait :

plot(stepfun(0:15, c(0, pbinom(0:15, 15, 0.6))), ylab = "FX(x)", main = "")C. Chesneau12

3 FONCTION DE RÉPARTITION

Cela renvoie :

On a ainsi représenté le graphe de la fonction de répartition d"unevarX B(15;0:6).

On peut représenter le graphe de la fonction de répartition d"unevarXà densité avec la commande

curve.

On fait :

curve(pnorm(x, 5, 1.5), 0.5, 9.5, ylab = "FX(x)")Cela renvoie :

On a ainsi représenté le graphe de la fonction de répartition d"unevarX N(5;1:52).C. Chesneau13

4 QUANTILES

4 Quantiles

Définition

Soitp2]0;1[etXunevar.

SiXest discrète, on appellep-ème quantile deXl"entierxpdéfini par x p= inffk2Z;FX(k)pg. SiXest à densité, on appellep-ème quantile deXle réelxptel queFX(xp) =p.

Commandes

Si la loi deXdépend d"un ou de plusieurs paramètres, disonspar1etpar2, alors lep-ème quantile

deXest donné par les commandes : qloi(p, par1, par2)

Calculs

On fait :

qbinom(0.25, 5, 0.6)Cela renvoie :[1] 2 Ainsi, on a calcule lep-ème quantile avecp= 0:25d"unevarX B(5;0:6): x

0:25= inffk2Z;FX(k)0:25g.

On peut vérifier ce résultat en cherchant toutes les valeurs deFX(x)pourx2 f0;1;2;3;4;5g: pbinom(0:5, 5, 0.6)Cela renvoie :[1] 0.01024 0.08704 0.31744 0.66304 0.92224 1.00000 On constate alors queFX(1) = 0:08704<0:250:31744 =FX(2), doncx0:25= 2.

On fait :

qnorm(0.975, 0, 1)Cela renvoie :[1] 1.96C. Chesneau15

4 QUANTILES

Ainsi, on a calcule lep-ème quantile avecp= 0:975d"unevarX N(0;1): le réelx0:975tel que F

X(x0:975) = 0:975.

On peut vérifier cela en faisant :

pnorm(1.96, 0, 1)Cela renvoie :[1] 0.975 On aurait aussi pu considérer les commandes :pnorm(1.96), sans spécifier= 0et= 1; la commande prend par défaut les paramètres de la loi centrée et réduite.C. Chesneau16

5 SIMULATION

5 Simulation

5.1 La commandesample

Utilisation de base

L"utilisation de base est :sample(x), oùxest un vecteur numérique, logique ou chaîne de caractères.

Cela renvoie un vecteur dont les éléments correspondent au tirage d"un élément dexsans remise.

Cela revient à permuter aléatoirement les éléments dex.

On fait :

x = 1:7 sample(x)Cela renvoie :[1] 2 4 1 7 5 6 3

On refait la même commande :

sample(x)Cela renvoie :[1] 1 7 6 2 3 4 5

On obtient des résultats différents; l"ordre de la permutation est due au hasard à chaque fois.

On peut conserver le résultat d"une permutation aléatoire dans un vecteur pour le réutiliser ulté-

rieurement : y = sample(c("rouge", "vert", "bleu", "blanc", "noir")) yCela renvoie :[1] "noir" "blanc" "vert" "rouge" "bleu"

Options

Il existe des options danssamplepermettant de modifier le type de tirage. On les active en rajoutant une ou plusieurs commandes danssample.C. Chesneau17

5 SIMULATION

Par exemple, on fait :

sample(1:3, size = 2, replace = TRUE, prob = c(25 / 100, 20 / 100,

55 / 100))Quelques options sont présentées ci-dessous.

Option :size.Les commandes : size = "n", oùnest un entier, précise le nombre de foisnque l"on effectuera le tirage. Par défaut, le nombre de tirage est égal à la longueur dex.

On fait :

sample(1:10, size = 3)Cela renvoie :[1] 10 7 3 Dans la syntaxe desample, l"argumentsizeest en deuxième position. On peut donc se contenter de :sample(1:10, 3). Option :replace.Les commandes : replace = L, oùLestTRUEouFALSE, dont que les tirages sont avec remise siL = TRUEet sans remise sinon.

On fait :

sample(1:5, size = 9, replace = TRUE)Cela renvoie :[1] 5 1 4 1 3 1 2 1 3 Option :prob.L acommande probpermet la simulation devardont le support est l"ensemble des éléments dex, que l"on suppose au nombre dek. Ainsi, la loi commune de cesvarest : P(X=j-ème élément dex) =pj, avecj2 f1;:::;kg,pj2[0;1]etkX j=1p j= 1. On ajoute doncprob = vec, oùvecest le vecteur des probabilités(p1;:::;pk). Siprobn"est pas indiqué, par défautpj= 1=k(tirage équiprobable).

On fait :

y = c("rouge", "vert", "bleu", "blanc", "noir")

sample(y, 2, prob = c(10 / 100, 30 / 100, 10 / 100, 30 / 100, 20 / 100))Cela renvoie :[1] "rouge" "vert"C. Chesneau18

5 SIMULATION

5.2 Simulation par des lois préprogrammées

Commandes

Si la loi deXdépend d"un ou de plusieurs paramètres, disonspar1etpar2, alors on simule des réalisations denvarindépendantes suivant la même queXpar les commandes : rloi(n, par1, par2)

Calculs

On fait :

rpois(10, 2)Cela renvoie :[1] 0 2 2 3 3 5 1 3 1 2

Ainsi, on a simulé des réalisations de10varindépendantes suivant chacune la loi de PoissonP(2).

On fait :

sum(rbinom(80, 1, 0.02))Cela renvoie :[1] 3 On a alors simulé une réalisation de lavar80X i=1X i, oùX1;:::;X80sont desvarindépendantes suivant chacune la loi binomialeB(1;0:02), (ainsi, la loi commune est la loi de BernoulliB(0:02): P(X1= 0) = 10:02 = 0:98,P(X1= 1) = 0:02). Comme80Xquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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