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Comportement dune suite

On peut conjecturer la façon dont la suite évolue c'est à dire son sens de variation. a) suite ayant pour limite +É (ou –É) (limite infinie) :.



Première S - Comportement dune suite Problèmes

2) Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite II) Etude du comportement des suites à l'infini ... Prouver la conjecture faite au 2.



S Métropole septembre 2018

On définit la suite (un) par u0=a et pour tout entier naturel n : un+1=f (un) À l'aide de la calculatrice



Chapitre 3. Comportement asymptotique des suites

suite lorsque l'indice n tend vers l'infini. (2) Conjecturer sans démontrer



Partie 1 : Comportement à linfini des suites géométriques

On conjecture que la limite de la suite ( ) est 12. 2) La suite ( ) converge et la fonction est continue sur ?. La limite de la suite (  



Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie

Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite ? b. Démontrer cette conjecture puis conclure. Analyse didactique.



EXERCICE :

N -ième terme de la suite N étant entré par l'utilisateur. b. Conjecturer le comportement à l'infini de la suite (un) . Variables. N



Comportement asymptotique des suites numériques

1.1 Suites convergentes. 1.1.1 Définitions. Définition. Une suite (un)n?N est dite convergente vers le réel l ou a pour limite le nombre réel l ? R si un 



Annales 2011-2015 : suites E 1

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) ? Conjecturer le comportement de la suite (un) à l'infini.



Limite de suites

2n +3 n +1. 1. Montrer que la suite est minorée par 2. 2. A l'aide de votre calculatrice conjecturer le comportement de la suite pour des valeurs très.



[PDF] Partie 1 : Comportement à linfini des suites géométriques

d) À l'aide du graphique conjecturer la limite de la suite ( ) 2) En supposant que la suite ( ) est convergente démontrer le résultat conjecturé dans la



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2) Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite II) Etude du comportement des suites à l'infini Prouver la conjecture faite au 2



[PDF] LIMITE DUNE SUITE - Christophe Bertault

Ce qu'une suite a d'intéressant pour nous dans ce chapitre ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement asymptotique i e à l'infini



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On peut conjecturer la façon dont la suite évolue c'est à dire son sens de variation On dira ici que la suite (un) est croissante ? Lorsque n augmente (on 



[PDF] Chapitre 3 Comportement asymptotique des suites

nous nous intéressons ici à leur comportement asymptotique c'est à dire au comportement de la suite lorsque l'indice n tend vers l'infini



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Chercher la "limite" d'une suite c'est analyser le comportement des termes Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie



Suites numériques : comportement à linfini de (qn) avec q un réel

Pour l'étude à l'infini de (qn) q étant un réel on doit utiliser à un moment de la démonstration une inégalité qui fut démontrée par Bernoulli Remarque



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A l'aide de votre calculatrice conjecturer le comportement de la suite pour des Si une suite diverge cela ne signifie pas qu'elle tend vers l'infini 





[PDF] Limites de fonctions

Dans cette activité nous allons étudier plusieurs comportements en l'infini Glisser les différentes courbes dans la catégorie qui leur correspond en fonction 

  • Comment conjecturer le comportement de la suite ?

    On peut conjecturer la façon dont la suite évolue, c'est à dire son sens de variation. On dira ici que la suite (un) est croissante. ? Lorsque n augmente (on dit aussi qu'il tend vers +É), les termes se rapprochent de plus en plus de la valeur 5. On dit que la limite de la suite (un) est 5.

  • Comment conjecturer la limite d'une suite à la calculatrice ?

    Méthode : Pour la limite en + ? : afficher un tableau de valeurs en prenant des abscisses de plus en plus grandes et conjecturer sur la limite dans la colonne des ordonnées (sens de lecture du haut vers le bas). f (x) = ? ?. La lecture du graphique conduit à la même conjecture.

  • Comment conjecturer la variation d'une suite ?

    On peut conjecturer du sens de variation d'une suite gr? à sa représentation graphique. Mais ce ne sera qu'une conjecture, pas une preuve. Le calcul des premiers termes ne prouve rien non plus. Vous devez démontrer le sens de variation de façon plus abstraite, avec des termes généraux.
  • Une suite ne peut pas avoir deux limites distinctes. On proc? par disjonction de cas. Si une suite tend vers +?, elle est non majorée donc ne peut converger ni tendre vers ??. Si une suite tend vers ??, elle est non minorée donc ne peut converger non plus.

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

LIMITE D"UNE SUITE

1 UN PEU DE VOCABULAIRE

Définition(Suite réelle)On appellesuite(réelle) toute fonctionude?dans?. Pour toutn??, on préfère noterun

le réelu(n), et(un)n??ou(un)n?0la suiteu.

On travaillera seulement avec des suites définies sur tout?, mais on pourrait bien sûr travailler avec des suites définies

sur?n0,+∞?avecn0??. Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite(un)n??:

— soit comme une fonction de?dans?, c"est-à-dire de manière plane avec?en abscisse et?en ordonnée,

— soit comme un ensemble de valeurs le long d"un axe. nu n 012 u 1u 2 u 3u

4u5u6u7u8u9u10u11

u 12 Définition(Vocabulaire usuel des suites réelles)Soit(un)n??une suite réelle. •On ditque(un)n??estmajoréesiun|n??estune partiemajorée de?,i.e.si:?M??,?n??,un?M.

Un telMest appeléUNmajorantde(un)n??. On dit aussi que(un)n??estmajorée par Mou queM majore(un)n??.

•On dit que(un)n??estbornéesi elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :?K?0,?n??,|un|?K.

•On dit que(un)n??est (resp.strictement)positivesi pout toutn??:un?0 (resp.un>0). •On dit que(un)n??est (resp.strictement)croissantesi pour toutn??:un?un+1(resp.unOn dispose bien sûr de définitions analogues des suitesminorées, (strictement)négativeset (strictement)décroissantes.

•On dit que(un)n??est (resp.strictement)monotonesi elle est (resp. strictement) croissante ou (resp. strictement)

décroissante. Pour montrer qu"une suite(un)n??est monotone, deux méthodes courantes :

— étudier le signe deun+1-un,

— si(un)n??estSTRICTEMENT POSITIVE, étudier la position deun+1 unpar rapport à 1. Cette méthode est intéressante

surtout lorsqueunest défini par des produits et des quotients et qu"on peut espérer des simplifications.

?Attention !Une suite majorée ne possèdeJAMAIS UN SEUL MAJORANT, une suite majorée par 2 l"est aussi par 3. Par

ailleurs : Les majorants d"une suite sont par définition des constantes. Une majoration deun par un réelQUI DÉPEND DEnne montre pas que la suite(un)n??est majorée.

Ce qu"une suite a d"intéressant pour nous dans ce chapitre, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement

asymptotique, i.e. à l"infini. Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire

que la suite est " presque » majorée par 1. On dit qu"elle est majorée par 1à partir d"un certain rang.

Définition(Suite de propositions vraie à partir d"un certain rang)Soit?= (?n)n??une suite de propositions.

On dit que?(ou?npar abus de langage) estvraie à partir d"un certain rangsi :?N??,?n?N,?n.

On peut définir une suite principalement de deux façons — soitexplicitement, soit implicitement par récurrence. Ceci ne

veut pas dire qu"il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite géométrique, par

exemple, peut être définie aussi bien explicitement :un=qnu0que par récurrence :un+1=qun. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•Suites définies explicitement :Définir une suite(un)n??explicitement, c"est la définir à l"aide d"une certaine fonction

fpar une relationun=f(n). Il n"est alors pas difficile de calculeru1000, on calcule directementf(1000).

De nombreuses propriétés def— monotonie, signe, caractère majoré/minoré/borné — se transmettent alors telles

quelles à(un)n??, qui n"est après tout que la restriction defà?. fest bornée...... donc(un)n??est bornée. fest croissante... ... donc(un)n??est croissante.

•Suites récurrentesun+1=f(un):On peut définir une suite(un)n??par récurrence par la donnée de son premier

termeu0et d"une relationun+1=f(un)oùfest une fonction fixée. Une telle définition présente un énorme inconvé-

nient, on est obligé pour calculeru1000de calculer les uns après les autresu1,...,u999,u1000. ?Attention !Pour une suite récurrente u n+1=f(un):fest croissante=?(un)n??est croissante. fest décroissante=? (un)n??est décroissante. y=x u0u1u2u3... fest croissanteMAIS(un)n??décroissante. y=x u0u1u2u3u4 fest décroissanteMAIS(un)n??n"est même pas monotone.

2 LIMITE D"UNE SUITE RÉELLE DANS?

2.1 DÉFINITION

Définition(Limite d"une suite)Soient(un)n??une suite réelle et???.

•Définition générale :On dit que(un)n??admet?pour limitesi tout voisinage de?contient tous lesunà partir

d"un certain rang, i.e. si :?V?? ??(?),?N??,?n?N,un?V?. •Cas particulier d"une limite finie :Si???, on dit que(un)n??admet?pour limitesi : ?? >0,?N??,?n??,n?N=? |un-?|< ?, ou bien de manière plus concise, si :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?. •Cas particulier de la limite+∞:On dit que(un)n??admet+∞pour limitesi : ?A>0,?N??,?n??,n?N=?un>A, ou bien de manière plus concise, si :?A>0,?N??,?n?N,un>A. •Cas particulier de la limite-∞:On dit que(un)n??admet-∞pour limitesi : ?A<0,?N??,?n??,n?N=?unChristophe Bertault — Mathématiques en MPSI

On peut montrer que les inégalités strictes :|un-?|< ?,un>Aetun

inégalités larges :|un-?|??,un?Aetun?A, cela n"affecte pas la notion de limite. J"utiliserai généralement

des inégalités strictes, mais choisissez ce que vous préférez.

Obscures au premier abord, ces définitions satisfont en réalité parfaitement l"intuition que nous avons des limites.

— Trois voisinagesV1,V2etV3ne suffisent pas à forcer(un)n??à tendre vers?. Il est essentiel que la définition de la

limite commence par "POUR TOUTvoisinageV?de?». ??V1 ?1

Tous lesun

à partir deN1

??V2 ?2

Tous lesun

à partir deN2

??V3 ?3

Tous lesun

à partir deN3

— Les premiers termes de la suite(un)n??ne comptent pas quand on s"intéresse à sa limite, raison pourlaquelle la

définition de la limite piège(un)n??dans un voisinage de?À PARTIR D"UN CERTAIN RANG. — Intuitivement, plus le voisinageV?est petit, plus le rangNest grand. Théorème(Unicité de la limite)Soit(un)n??une suite réelle. Si(un)n??possède une limite, celle-ci est unique et notée limn→+∞un.

Pour tout??

?, la relation limn→+∞un=?est souvent notée :un-----→n→+∞?.

DémonstrationSoient?,????. On veut montrer, sous l"hypothèse que(un)n??admet?et??pour limites, que

?=??. Supposons par l"absurde??=??. Il existe alors un voisinageV?de?et un voisinageV??de??pour lesquels

V

?∩V??=∅. Or, par hypothèse,un?V?à partir d"un certain rangNetun?V??à partir d"un certain rangN?.

Ainsi, pourn0=maxN,N?:un0?V?∩V??=∅— contradiction! V?

Tous lesun

à partir den0

V??

Tous lesun

à partir den0

FOLIE!

Cette preuve illustre une idée importante que nous retrouverons souvent. Si une suite de propositions?1est vraie à partir

d"un rangN1, une suite de propositions?2vraie à partir d"un rangN2... et enfin une suite de propositions?kvraie à partir

d"un rangNk,les suites depropositions?1,...,?ksontalorsTOUTESvraies en mêmetemps àpartir durang maxN1,...,Nk.

Définition(Convergence/divergence)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??estconvergenteou qu"elle

convergesi elle possède une limiteFINIE. On dit sinon qu"elle estdivergenteou qu"ellediverge.

Limite

finieLimite

±∞Pas de

limite

Convergence

Divergence?Attention !Converger, cen"estpasavoir unelimitemais avoir unelimite FINIE. Diverger, ce n"est pas avoir±∞pour limite, mais éventuellementNE

PAS AVOIR DE LIMITE.

Théorème(Convergence et caractère borné)Toute suite convergente est bornée.

DémonstrationSoit(un)n??une suite convergente, disons de limite?. Pour?=1, la définition de la limite

affirme que l"inégalité|un-?|<1 est vraie à partir d"un certain rangN. Ainsi pour toutn?N, d"après l"inégalité

triangulaire :|un|=??(un-?)+????|un-?|+|?|?|?|+1.

PosonsK=max

|u0|,|u1|,...,|uN-1|,|?|+1 . Le réelKest alors plus grand que|u0|,...,|uN-1|, mais aussi que |un|pour toutn?N. Finalement|un|?KpourTOUTn??, donc(un)n??est bornée. ?Attention !

•La réciproque est fausse, la suite(-1)n

n??est bornée sans être convergente.

•Une suite non bornée n"admet pas forcément+∞ou-∞pour limite. Par exemple, la suite(-1)nn

n??n"est pas bornée et n"a pas de limite — que dire en effet de ses termes d"indice pair/impair? 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

La manipulation des définitions de la limite n"est pas trop difficile si on se conforme aux recommandations qui suivent.

•Supposons dans un premier temps que???. Pour montrer que :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?, on

commence sans réfléchir par " Soit? >0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?, on essaie de

MAJORER|un-?|EN RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

— La majoration obtenue doitTENDRE VERS0QUANDnTEND VERS+∞. Sans cela, nous ne pourrons pas trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?quand?est trop petit. — La majoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la majoration|un-?|?1 npeut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=!1?! +1. •Dans le cas où?= +∞, on s"adapte. Pour montrer que :?A>0,?N??,?n?N,un>A, on commence

sans réfléchir par " SoitA>0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquelun>A, on essaie deMINORERunEN

RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

— La minoration obtenue doitTENDRE VERS+∞QUANDnTEND VERS+∞. — La minoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la minorationun?n2peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=? A+1.

Exemplelimn→+∞nsinnn2+2=0.

DémonstrationNous devons montrer que :?? >0,?N??,?n?N,???nsinnn2+2???

Soit? >0. Pour toutn??, majorons :???nsinn

n2+2??? =n|sinn|n2+2?nn2+2?nn2=1n.

On majore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on ma-

joreTEND TOUJOURS VERS0.On arrête de majorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

PosonsN=!1?!

+1. À partir deN, l"inégalité1n< ?est vraie, donc l"inégalité???nsinnn2+2??? < ?aussi.

Exemplelimn→+∞

n2+(-1)nn DémonstrationNous devons montrer que :?A>0,?N??,?n?N,n2+(-1)nn>A. SoitA>0. Pour toutn??, minorons :n2+(-1)nn?n2-n=n(n-1)?(n-1)2.

On minore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on mi-

noreTEND TOUJOURS VERS+∞.On arrête de minorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

Pour toutn???:(n-1)2>A??n>?A+1. PosonsN=?A+2. À partir deN, l"inégalité (n-1)2>Aest vraie, donc l"inégalitén2+(-1)nn>Aaussi.

2.2 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Soient(un)n??et(vn)n??deux suites réelles,?,????etλ??. On suppose dans tout ce paragraphe que les limites

limn→+∞unet limn→+∞vnEXISTENT. Dans les tableaux ci-dessous, le symbole ???ne signifie pas une absence de limite mais une

indétermination, i.e. une impossibilité de conclure en toute généralité, qui nécessite donc un traitement au cas par cas.

SOMME limn→+∞(un+vn)lim n→+∞vnlim n→+∞un 4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

PRODUIT

limn→+∞(unvn)lim n→+∞vnlim n→+∞un +∞+∞? >0 ou+∞ +∞-∞? <0 ou-∞ -∞? >0 ou+∞ +∞? <0 ou-∞???

0+∞

ou-∞

MULTIPLICATION

PAR UN RÉEL

limn→+∞(λun)lim n→+∞unλ >0λ=0λ <0

0peu importe

INVERSE

limn→+∞1unlim n→+∞un

1???=0

0+∞

ou-∞ +∞0u n>0

à partir d"un

certain rang 0u n<0

à partir d"un

certain rang???

0sinon

Mais finalement, c"est quoi uneforme indéterminée? C"est une formeÀ déterminer. Le symbole???signifie qu"en effec-

tuant une opération(+∞)-(+∞)ou 0×(+∞), on peut tomber a priori surN"IMPORTE QUEL RÉSULTAT.

•Cas de la forme indéterminée(+∞)-(+∞):

— On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞(n+?) = +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(n+?)-n=?.

— On peut obtenir±∞: limn→+∞2n= +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(2n-n) = +∞.

— On peut ne pas obtenir de limite : lim

n→+∞n+(-1)n= +∞et limn→+∞n= +∞, maisn+(-1)n-n= (-1)nn"a pas de limite. •Cas de la forme indéterminée0×(+∞): — On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞? n=0 et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞! ?n×n! — On peut obtenir±∞: limn→+∞1 n=0 et limn→+∞n2= +∞, mais limn→+∞!

1n×n2!

— On peut ne pas obtenir de limite : lim

n→+∞(-1)n n=0 et limn→+∞n= +∞, mais (-1)n n×n= (-1)nn"a pas de limite.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
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