[PDF] Comportement asymptotique des suites numériques





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Comportement dune suite

On peut conjecturer la façon dont la suite évolue c'est à dire son sens de variation. a) suite ayant pour limite +É (ou –É) (limite infinie) :.



Première S - Comportement dune suite Problèmes

2) Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite II) Etude du comportement des suites à l'infini ... Prouver la conjecture faite au 2.



S Métropole septembre 2018

On définit la suite (un) par u0=a et pour tout entier naturel n : un+1=f (un) À l'aide de la calculatrice



Chapitre 3. Comportement asymptotique des suites

suite lorsque l'indice n tend vers l'infini. (2) Conjecturer sans démontrer



Partie 1 : Comportement à linfini des suites géométriques

On conjecture que la limite de la suite ( ) est 12. 2) La suite ( ) converge et la fonction est continue sur ?. La limite de la suite (  



Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie

Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite ? b. Démontrer cette conjecture puis conclure. Analyse didactique.



EXERCICE :

N -ième terme de la suite N étant entré par l'utilisateur. b. Conjecturer le comportement à l'infini de la suite (un) . Variables. N



Comportement asymptotique des suites numériques

1.1 Suites convergentes. 1.1.1 Définitions. Définition. Une suite (un)n?N est dite convergente vers le réel l ou a pour limite le nombre réel l ? R si un 



Annales 2011-2015 : suites E 1

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) ? Conjecturer le comportement de la suite (un) à l'infini.



Limite de suites

2n +3 n +1. 1. Montrer que la suite est minorée par 2. 2. A l'aide de votre calculatrice conjecturer le comportement de la suite pour des valeurs très.



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d) À l'aide du graphique conjecturer la limite de la suite ( ) 2) En supposant que la suite ( ) est convergente démontrer le résultat conjecturé dans la



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Ce qu'une suite a d'intéressant pour nous dans ce chapitre ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement asymptotique i e à l'infini



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On peut conjecturer la façon dont la suite évolue c'est à dire son sens de variation On dira ici que la suite (un) est croissante ? Lorsque n augmente (on 



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nous nous intéressons ici à leur comportement asymptotique c'est à dire au comportement de la suite lorsque l'indice n tend vers l'infini



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Chercher la "limite" d'une suite c'est analyser le comportement des termes Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie



Suites numériques : comportement à linfini de (qn) avec q un réel

Pour l'étude à l'infini de (qn) q étant un réel on doit utiliser à un moment de la démonstration une inégalité qui fut démontrée par Bernoulli Remarque



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A l'aide de votre calculatrice conjecturer le comportement de la suite pour des Si une suite diverge cela ne signifie pas qu'elle tend vers l'infini 





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Dans cette activité nous allons étudier plusieurs comportements en l'infini Glisser les différentes courbes dans la catégorie qui leur correspond en fonction 

  • Comment conjecturer le comportement de la suite ?

    On peut conjecturer la façon dont la suite évolue, c'est à dire son sens de variation. On dira ici que la suite (un) est croissante. ? Lorsque n augmente (on dit aussi qu'il tend vers +É), les termes se rapprochent de plus en plus de la valeur 5. On dit que la limite de la suite (un) est 5.

  • Comment conjecturer la limite d'une suite à la calculatrice ?

    Méthode : Pour la limite en + ? : afficher un tableau de valeurs en prenant des abscisses de plus en plus grandes et conjecturer sur la limite dans la colonne des ordonnées (sens de lecture du haut vers le bas). f (x) = ? ?. La lecture du graphique conduit à la même conjecture.

  • Comment conjecturer la variation d'une suite ?

    On peut conjecturer du sens de variation d'une suite gr? à sa représentation graphique. Mais ce ne sera qu'une conjecture, pas une preuve. Le calcul des premiers termes ne prouve rien non plus. Vous devez démontrer le sens de variation de façon plus abstraite, avec des termes généraux.
  • Une suite ne peut pas avoir deux limites distinctes. On proc? par disjonction de cas. Si une suite tend vers +?, elle est non majorée donc ne peut converger ni tendre vers ??. Si une suite tend vers ??, elle est non minorée donc ne peut converger non plus.
Comportement asymptotique des suites numériques ECE 1COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE des SUITES NUMERIQUES

1.1 Suites convergentes.

que l'on veut deldµes quenest su±samment grand.

8" >0;9N2N;8n>N ;jun¡lj< "

n!+1un=l. Une suite qui ne converge pas est ditedivergente; c'est le cas lorsque : - la suite n'a pas de limite, par exemple :un= (¡1)n. - d'une suite qui tend vers l'in¯ni, par exemple :un= 2n+ 1. convergente ou divergente.

Exemples:

a/ une suite constante est convergente. b/ une suite stationnaire (constante µa partir d'un certain rang) est convergente. n

2+1est convergente vers 0.

qu'une suite est convergente...(si elle l'est!!).

1.2 Critµeres de convergence d'une suite

8n2N; un=f(n)

Exemples :

1/ La suite (3¡e¡n)n2Nconverge vers 3 car la fonctionf:½R!R

x!3¡e¡xest telle que limx!+1f(x) = 3.

2/ La suite

³2n2+p

n n 2p n+2e¡n´ n2Ntends vers 0 car la fonctiong:(R!R x!2x2+p x x 2p x+2e¡xest telle que limx!+1f(x) = 0. *De maniµere analogue si limx!+1f(x) =1alors la suite (un)n2Nest divergente.

Exemple :

n

Alors lorsquef:x!2x+3

x , on a pour toutn2N,un=f(n).

Remarquons simplement que 2

x= exp(ln(2x)) = exp(xln(2)) donc limx!+1f(x) = +1. Ainsi (un)n2Nest divergente. 1

8a2R;8b2Rtels quea < l < b;9N2N;8n>N ; a < un< b

En particulier, lim

n!+1un+1=l. est constante. ·Le produit de deux (ou plusieurs) suites convergentes est une suite convergente. ¸Si (un)n2Nconverge verslet (vn)n2Nconverge versl06= 0 alors la suite³u n v n´ n2Nconverge versl l 0.

Exemple :

8n2N; vn=e¡nn+ 2

4n¡7

On sait que (e¡n)n2Nconverge vers 0.

De plus la suite³n+2

4n¡7´

n2Nest convergente (vers1 4 Soient les suites (un)n2N; (vn)n2Net (wn)n2Nsont telles que : (i)8n2N,vn6un6wn (ii) (vn)n2Net (wn)n2Nconvergent vers la m^eme limitel k=11 p n

2+kconverge vers 1.

Proposition.

Exemple d'application:

8n2N; un=n

n

2+ 1Ã

3 +nX k=0(¡1)k!

On sait que

³n n

2+1´

2Nconverge vers 0.

De plus la suite (3 +Pn

3 + nX k=0(¡1)k=8 :4 si n est pair

3 si n est impair

Ainsi la suite (un)n2Nest convergente vers 0.

2 C'est ce critµere qui va permettre dans la plupart des cas de justifier qu'une suite est convergente (...si elle l'est!!)

8n2N; un+1=2un+ 1

u n+ 4

2/ Montrer que pour toutn2N:

u n>p

2¡1

1/ Si la suite (un)n2Nconverge verslet qu'il existea2R:8n2N; un>aalors on al>a.

2/ Soient deux suites (un)n2Net (vn)n2Ntelles que :

(i) (un)n2Nconverge verslet (vn)n2Nconverge versl0. (ii)8n2N; un>vn alors on al>l0.

Par exemple,8n>1;1 +1

n >1¡1 n

Or lim

n!+1¡1 +1 n

¢= 1 et limn!+1¡1 +1

n

¢= 1 et 11!!

Ne pas confondre les notions de Limite et de majorant/minorant!! que la limitel(il majore la limitel). Une remarque analogue est valable pour un minorant d'une suite convergente.

Exemple:

La suite¡2¡1

n de la suite.)

1.4 Suites divergentes vers l'in¯ni

On dit que la suite (un)n2Ntend vers +1ou diverge vers +1(quandn!+1) siundevient aussi grand que l'on veut (i.e. aussi proche de +1que l'on veut) dµes quenest su±samment grand.

8A2R;9N2N;tel que9n>N ; un> A

On note alors lim

n!+1un= +1. De maniµere analogue, on dit que la suite (un)n2Ntend vers¡1ou diverge vers¡1

8B2R;9N2N;tel que9n>N ; un< B

On note alors lim

n!+1un=¡1. Comment justifier rigoureusement qu'une suite(un)n2Nest divergente vers l'infini? 3

1.4.2 Critµeres de divergence vers l'in¯ni pour une suite.

au voisinage de +1.

Ainsi si justi¯e que lim

x!+1f(x) = +1alors on peut conclure que (un)n2Nest divergente vers l'in¯ni. (i) Si lim n!+1un= +1et si

9N2N;8n>Ntel queun6vn

alors lim n!+1vn= +1. (ii) Si lim n!+1vn=¡1et si

9N2N;8n>Ntel queun6vn

alors lim n!+1un=¡1. la suitevµa tendre elle aussi vers +1!!" De m^eme la proposition (ii) peut se traduire par : "pousse" la suitevµa tendre elle aussi vers¡1!!"

Exercice type 1.

8n2N; un+1>3

2 un

8n2N; vn+1=3

2 vn

1/ Montrer que pour toutn2N:

v n6un

On associe µan2N, la fonction

f n:R!R x!1 nx

2+x¡n

1/ Etudier les variations de la fonctionfn.

a (ii) Quelles sont les variations defnsur l'intervalle [1;+1[ ? a n>n¡1

2 Comportement asymptotique des suites usuelles

²sir= 0 alors ............................................................ ²sir >0 alors ............................................................ ²sir <0 alors ............................................................ 4

²siq= 1 alors ............................................................Exemple :vn=:::::::::::::::

²si¡1< q <1 alors ......................................................Exemple :vn=:::::::::::::::

²siq >1 alors ............................................................Exemple :vn=:::::::::::::::

²siq6¡1 alors .......................................................... Exemple :vn=:::::::::::::::

2.3 Suites adjacentes

(ii) la suite (un¡vn)n2Nconverge vers 0. Exercice - Exemples types :Montrer que (un) et (vn) sont deux suites adjacentes.

1/ Soient 0< u0< v0et pour toutn2N:un+1=un+vn

2 vn+1=p u nvn. k=01 k!vn=un+1 nn!.

Convergence de deux suites adjacentes

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la m^eme limite a/ on montre tout d'abord par l'absurde que pour toutn2N:un6vn

c/ de la m^eme maniµere puisque(un)n2Nest croissante cela signi¯e que pour toutn2N:u06vndonc(vn)n2N

v n= 0. v n= 1.

Remarque:

Contrairement aux comparaisons locales de fonctions qui peuvent se faire au voisinage d'une valeura2Rou

des in¯nis, on compare deux suites au voisinage +1c.a.d. lorsque l'indicentends vers +1. Il n'est donc pas

Exemples :

n

2»n2¡3n n100=o(en) ln(n10) =o(p

n) ln(en+ 5n+ 2)»n n

2¡10n

¡2+5n2»1

5 1 n =o(1)p n

7+ 2n2=o(n4¡1000n3)1

n =o¡1 lnn¢

Equivalents importants (µa connaitre!!!)

Si (un) est une suite convergeant vers 0 alors

ln(1 +un)»uneun»1 +un(1 +un)®»1 +®un 5quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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