[PDF] Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

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Spéciale PSI - Cours "Mécanique desuides"1

Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits

Chapitre V : Dynamique duuide parfait

Contents

1Equation d'Euler 2

1.1Rappels......................................................... 2

1.2Equation d'Euler.................................................... 2

2"Résolution" de l'équation d'Euler 3

3Relations de Bernoulli 3

3.1Cas d'un écoulement stationnaire d'unuide parfait, incompressible et homogène................ 3

3.2Cas d'un écoulement irrotationnel, stationnaire d'unuide parfait, incompressible et homogène........ 4

4Relations de Bernoulli généralisées 5

4.1Cas d'un écoulement stationnaire d'unuide parfait, compressible et homogène................. 5

4.2Cas d'un écoulement irrotationnel, non stationnaire d'unuide parfait, incompressible et homogène...... 5

5Interprétation énergétique 6

6Conditions d'applications de la relation de Bernoulli 7

6.1Incompressibilité duuide............................................... 7

6.2Jet à l'air libre..................................................... 7

7Exemples d'applications 7

7.1Formule de Toricelli.................................................. 7

7.2Tube de Pitot simple.................................................. 8

7.3Tube de Venturi.................................................... 10

7.4Ecoulement isentropique d'un gaz parfait - Vitesse d'éjection d'un gaz...................... 11

7.4.1Ecoulement isentropique d'un gaz parfait.................................. 11

7.4.2Vitesse d'éjection d'un gaz.......................................... 11

8Exercices complémentaires 12

2Mécanique desuides. Chapitre V : Dynamique duuide parfait

Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits

Chapitre V : Dynamique duuide parfait

Objectifs :

Recherche d'une équation pour décrire le mouvement d'unuide parfait ;

Démonstration des relations de Bernoulli ;

Exemples d'applications des relations de Bernoulli.

1Equation d'Euler

1.1Rappels

Soit une particuleuide de volumed,demassem, animée d'une vitessevpar rapport au référentiel d'étude. On suppose

que cette vitesse est donnée en description eulérienne :v=v(r,t). L'accélération de la particuleuide est donnée par la dérivée particulaire : a=Dv Dt=vt r v.grad v=v t r +1

2gradv

2 vrotv

1.2Equation d'Euler

Nous appliquons la deuxième loi de Newton à cette particuleuide :

référentiel: référentiel du laboratoire supposé galiléen pour la durée de l'expérience ;

système: particuleuide de massemanimée d'une vitessev; bilan des forces extérieures appliquées à la particuleuide: - forces de contact : forces de pression :dF p =gradP d, forces de viscosité :dF vis =0car leuide est supposé parfait (=0), - forces extérieures :dF ext =f ext,vol d

La deuxième loi de Newton donne :

Dp Dt=F D(dv) Dt=dF p +dF vis +dF ext m=d=csteDv

Dt=gradP+f

ext,vol Dans le cas où la seule force extérieure est le poids :f ext,vol =g Le mouvement d'unuide non visqueux dans le champ de pesanteur est régi par l'équation d'Euler: Dv

Dt=gradP+g

v t r v.grad v =gradP+g v t r +1

2gradv

2 vrotv =gradP+g Remarque: dans le cas d'unuide au repos on retrouve la loi fondamentale de la statique desuides Dv

Dt=gradP+gavecDvDt=0soitgradP=g

Mécanique desuides. Chapitre V : Dynamique duuide parfait3

2"Résolution" de l'équation d'Euler

La résolution d'un problème de dynamique desuides (recherche du mouvement à partir des forces) consiste à déterminer

les trois grandeurs locales que sont la vitessev(r,t), la pressionP(r,t)et la masse volumique(r,t)en tout point duuide.

On recherche donc un champ vectoriel et deux champs scalaires soit cinq champs scalaires.

L'équation d'Euler fournit trois équations scalaires et la relation locale de conservation de la masse une équation scalaire : il

"manque» alors une équation pour pouvoir résoudre le problème.

Nous pouvons ajouter une équation en introduisant une équation d'état duuide de la formef(P,V,T)=0soit=

m V

(T,P)mais cette équation introduit une nouvelle grandeur, a priori inconnue, le champ de températureT(r,t). Il est donc

nécessaire d'introduire une équation supplémentaire, équation de comportement duuide au cours de l'écoulement :

-sileuide est incompressible, alors=csten'est plus une inconnue ;

-sileuide est compressible, on pourra considérer une transformation isotherme ou adiabatique; on aura alors une relation

supplémentaire liantPetgrâce aux lois de la thermodynamique.

On dispose maintenant d'autant d'équations que d'inconnues ; la nature des solutions dépend des conditions aux limites.

Les deux cas importants sont :

- sur une surface libre séparant un liquide de l'atmosphèreP=P atm - sur une paroiAxe, la composante normale de la vitesse est nulle.

3Relations de Bernoulli

Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumiquef ext,vol =g.

3.1Cas d'un écoulement stationnaire d'unuide parfait, incompressible et homogène

On considère un écoulement stationnaire d'unuide parfait, incompressible et homogène.

L'équation d'Euler s'écrit :

v t r +1

2gradv

2 vrotv =gradP+g avec v t r =0car l'écoulement eststationnaire On peut écrire le poids en faisant apparaître un gradient : f ext,vol =g=grad(gz)avecOzverticale ascendante

Leuide estincompressible :

=cste grad(gz)=grad(gz) 1 2 gradv 2 1 2 gradv 2

L'équation d'Euler donne

1

2gradv

2 vrotv =gradPgrad(gz) grad

P+gz+1

2v 2 =vrotv \bgrad

P+gz+1

2v 2 .v= vrotv .v \bgrad

P+gz+1

2v 2 .v=0

En notantdlle déplacement élémentaire le long d'une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on a

d l=vdtdonc :\bgrad

P+gz+1

2v 2 .d l=0 L'intégration,le long d'une ligne de courant,d'unpointAàunpointBdonne : B A grad

P+gz+1

2v 2 .d l=0 soit B A d

P+gz+1

2v 2 =0 donc \b

P+gz+1

2v 2 B A =0

4Mécanique desuides. Chapitre V : Dynamique duuide parfait

Pour un écoulementstationnaired'unuideparfait,incompressibleethomogène, la grandeur

P+gz+1

2v 2 est une constante le long d'une ligne de courant.

La relation

P+gz+1

2v 2 =cstele long d'une ligne de courantest appeléerelation de Bernoulli

Remarque: la grandeurP+gz+

1 2 v 2 est une constante le long d'une ligne de courant mais cette constante peut varier d'une ligne de courant à l'autre.

Exercice 1:Eau dans une conduite

De l'eau pénètre dans la conduite représentée ci-dessus sous la pression de2,2atm, à la vitesse horizontale de3m.s

1

Déterminer :

1) la vitesse de l'eau à la sortie ;

2) la pression de sortie de l'eau ;

3) le débit de l'eau dans la conduite, en

kg.mn 1 Exercice 2:Régimes d'écoulement dans un canal

Un canal rectiligne de grande longueur, à fond horizontal, possède localement une section rectangulaire de largeur ,oùla

profondeur d'eau est

h. La vitesse d'écoulement, supposée uniforme sur cette section droite, y estv. Les quantités ,het

vvarient, mais sur de très grandes distances caractéristiques, le long du canal.

L'écoulement de l'eau, assimilée à unuide parfait homogène et incompressible, est stationnaire.

1) Exprimer le débit volumique

qà travers une section du canal ; que peut-on en dire?

2) Montrer que la quantité

h+ v 2 2g est une constante, que l'on noterah s , le long du canal.

3) Exprimer

qenfonctiondeh s ,h,get . Tracer, pour eth s Axées, la courbe donnantqenfonctiondeh. Déterminer la valeur maximale q m deqet la hauteurh c (dite critique) correspondante. Montrer, que pour une valeurqdonnée du débit 4) La largeur du canal diminue progressivement, discuter, selon le type de régime, dans quel sens se modiAe h.

5) Des perturbations de la surface libre peuvent se propager, dans le référentiel où localement l'eau est immobile, à la

célérité

c=\bgh. Étudier, selon le type de régime, si ces perturbations peuvent ou non remonter vers l'amont, c'est-à-dire

si la présence d'un obstacle dans le canal a, ou non, un eHet sur l'écoulement à l'amont.

3.2Cas d'un écoulement irrotationnel, stationnaire d'unuide parfait, incompressible et

homogène

On considère un écoulement stationnaire d'unuide parfait, incompressible et homogène. On suppose de plus cet écoulement

irrotationnel :rotv=0.

L'équation d'Euler s'écrit :

grad

P+gz+1

2v 2 =vrotv =0P+gz+1 2v 2 =cste Pour un écoulementirrotationnel,stationnaired'unuideparfait,incompressibleethomogène, la grandeurP+gz+1 2v 2 est une constante dans tout leuide.

La relation

P+gz+1

2v 2 =cstedans tout leuideest appeléerelation de Bernoulli Mécanique desuides. Chapitre V : Dynamique duuide parfait5

4Relations de Bernoulli généralisées

Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumiquef ext,vol =g.

4.1Cas d'un écoulement stationnaire d'unuide parfait, compressible et homogène

On considère un écoulement stationnaire d'unuide parfait, compressible et homogène.

L'équation d'Euler s'écrit :

v t r +1

2gradv

2 vrotv =gradP+g avec v t r =0car l'écoulement eststationnaire etf ext,vol =g=grad(gz)

On obtient alors :

1

2gradv

2 vrotv =gradPgrad(gz) gradv 2 2+gz +1gradP=vrotv \bgradv 2 2+gz +1gradP .v= vrotv .v \bgradv 2 2+gz +1gradP .v=0

En notantdlle déplacement élémentaire le long d'une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on a

d l=vdtdonc :\bgradv 2 2+gz +1gradP .d l=0 L'intégration,le long d'une ligne de courant,d'unpointAàunpointBdonne : B A \bgradv 2 2+gz +1gradP .d l=0 soit B A gradv 2 2+gz .d l+ B A 1 gradP.dl=0 donc \bv 2 2+gz B A B A dP =0 Pour un écoulementstationnaired'unuideparfait,compressibleethomogène, la grandeur v 2 2+gz+ dPest une constante le long d'une ligne de courant.

La relation

v 2 2+gz+ dP=cstele long d'une ldc est appeléerelation de Bernoulli généralisée

Remarques:

1) la relation précédente est exploitable sous réserve de pouvoir calculer

dP ; elle est donc utilisable pour unuide barotropepour lequel=(P).

2) pour un écoulement isentropique l'identité thermodynamique donnedh=Tds+dP/=dP/; la relation précédente

devient v 2 2+gz+ dh=v 2

2+gz+h(s

o ,P)=cste.

4.2Cas d'un écoulement irrotationnel, non stationnaire d'unuide parfait, incompressible

et homogène

Pour un écoulement irrotationnelrotv=0, il existe donc un potentiel scalaire des vitesses%(r,t)tel quev=grad%.

L'équation d'Euler s'écrit :

v t r +1

2gradv

2 vrotv =gradP+g grad% t r +1

2gradv

2 =gradP grad(gz)

6Mécanique desuides. Chapitre V : Dynamique duuide parfait

Leuide est incompressible :

=cstegradP =gradP grad% t r +1

2gradv

2 +gradP +grad(gz)=0 grad% t r +v 2

2+P+gz

0 Pour un écoulementirrotationnel,nonstationnaired'unuideparfait,incompressibleethomogène, la grandeur% t r +v 2

2+P+gzest une constante dans tout leuide.

La relation

t r +v 2

2+P+gz=cstedans tout leuide

est appeléerelation de Bernoulli généraliséequotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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