[PDF] On considére le sous-espace vectoriel F 1 de R4 formé des solutions

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Exercices Corriges

Sous-espaces vectoriels

Exercice 1{On considere le sous-espace vectorielF1deR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x

1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)

x

2x3+ 2x4= 0 (E2):

et le sous-espace vectorielF2deR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x

1+ 2x2+x3+x4= 0 (E01)

x

4= 0 (E02):

PreciserF1,F2etF1\F2et une base de ces trois sous-espaces vectoriels deR4. Exercice 2{SoitEunR-espace vectoriel de dimension 3 etB=fe1;e2;e3gune base de E. Notons :u1=e12e2+e3,u2= 2e1e2e3,u3=e1+e22e3et considerons

H=V ect(u1;u2;u3).

1) Donner a l'aide d'un algorithme du cours une base deH. Quel est le rang de la famille

(u1;u2;u3) ?

2) Donner a l'aide d'un algorithme du cours des equations deHrelativement a la baseB.

3) Determiner l'ensemble des reelsa;b;ctels que :

au

1+bu2+cu3= 0:

Exercice 3{1 ) On considere le sous-espace vectorielFdeR4forme des solutions du systeme suivant : ()(x

1+x2+x3+x4= 0

x

1+ 2x2x3+ 2x4= 0:

Donner une base deF. Quelle est sa dimension ?

2) Soitu1= (1;1;1;1);u2= (2;1;2;1);u3= (4;1;4;1) trois vecteurs deR4. SoitG=

Vect(u1;u2;u3). Donner une base deGconstituee de vecteurs deR4echelonnees relativement a la base canonique deR4.

3) Donner un systeme d'equations deGrelativement a la base canonique deR4.

Exercice 4{SoirEunK-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1;e2;e3;e4) une base de E. Soitu1=e1+e2e3+e4etu2=e1+ 2e2+e3+e4. On noteF= Vect(u1;u2).

1) Montrer que la famille (u1;u2) est libre. Pourquoi (u1;u2) est alors une base deF.

2) Donner un systeme d'equations deFrelativement a la baseBdeE.

On noteG= Vect(e1;e2).

3) Preciser une base deG. Montrer queF\G=f0g.

4) Montrer queF\G=f0g. En deduireE=FG.

1 Exercice 5{SoirEunK-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1;e2;e3;e4) une base de E. Soitu1=e1+e2e3+e4u2=e1+2e2+e3+e4,u3=e1e2+e3e4etu4= 2e1+3e2+2e4.

On noteF= Vect(u1;u2;u3;u4).

1) Donner une base deFechelonnee par rapport a la baseB. Quel est le rang de la famille

(u1;u2;u3;u4) ?

2) Donner un systeme d'equations deFrelativement a la baseBdeE. Quelle est la dimension

deF?

On noteG= Vect(e1+e2+e3+e4).

3) Preciser une base deG. Montrer queF\G=f0g.

4) En deduireE=FG.

5) Preciser la decomposition du vecteur de coordonnees (x1;x2;x3;x4) dans la baseBcomme

somme d'un vecteur deFet d'un vecteur deG. Exercice 6{SoitEunK-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1;e2;e3;e4) une base de E. Soitu1=e12e2+e3u2= 2e13e2+e4etu3= 3e15e2+e3+e4. On noteF= Vect(u1;u2;u3).

1) Donner une base deFechelonnee par rapport a la baseB.

2) Donner un systeme d'equations deFrelativement a la baseBdeE. Dimension deF?

On noteG= Vect(e1;e1+e2+e3+e4).

3) Preciser une base deG. Montrer queF\G=f0g.

4) En deduire queFetGsont des sous-espaces vectoriels supplementaires.

5 ) Preciser la decomposition du vecteur de coordonnees (x1;x2;x3;x4) dans la baseBcomme

somme d'un vecteur deFet d'un vecteur deG. Exercice 7{SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (e1;e2;e3) une base deE. Soitu1=e1+e2+e3etu2=e1+ 2e2+e3. On noteF= Vect(u1;u2).

1) Donner une base deFechelonnee relativement a la baseB. En deduire la dimension du

sous-espace vectorielF.

2) Donner un systeme d'equations deF.

On noteD= Vect(e1).

3) Montrer queD\F=f0g.

4) En deduireE=DF.

Exercice 8{SoitHle sous-espace vectoriel deR4d'equation : H:(x

1+x2+x3+x4= 0

x

1x2+x3x4= 0:

Posonsu= (1;1;1;1) etv= (1;0;0;0). NotonsL= Vect(u;v).

1) Determiner le sous-espace vectorielH\L. Puis preciser une base deH. 2) Montrer queH

etLsont deux sous-espaces supplementaires deR4.

3) Soita;b;c;dquatre reels, preciser la decomposition du vecteur (a;b;c;d) deR4, comme

somme d'un vecteur deHet d'un vecteur deL. 2 Exercice 9{Soitu1= (1;1;1;1);u2= (1;2;1;3);u3= (2;1;2;1) trois vecteurs de R

4. SoitH= Vect(u1;u2;u3).

1) Donner une base deHconstituee de vecteurs deR4echelonnees relativement a la base

canonique deR4.

2) Donner un systeme d'equations deHrelativement a la base canonique deR4.

3) Soitu4= (1;1;1;1) etF= Vect(u4). Montrer queF\H=f0g. En deduire queHetF

sont des sous-espaces supplementaires deR4.

4) Soitu= (x1;x2;x3;x4)2R4. Determinerv2Fetw2Htels queu=v+w. Preciservet

w. Exercice 10{SoitPle sous-espace vectoriel deR4deni par le systeme d'equations lineaires : (x+y+z+t= 0 y+ 2z+t= 0

1) Sans calcul, justier quePest de dimension 2. Puis determiner une base (u1;u2) deP.

Soitv1= (1;1;1;1) etv2= (1;0;1;0). On noteV= vect(v1;v2).

2) Montrer que (v1;v2) est une base deV.

3) Montrer queP+V= vect(u1;u2;v1;v2). En deduire une base deP+Vechelonnee par

rapport a la base canonique deR4.

4) En deduire quePetVne sont pas supplementaires. Donner une base deP\V.

Soitv3= (1;1;0;0). On noteW= vect(v1;v3).

5) On admettra quePetWsont supplementaires. Expliciter la projection surWparallelement

aP.

Correction de l'exercice ??

Le sous-espace vectorielF1est par denition constitue des solutions du systeme d'equations lineaires homogenes : ()(x

1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)

x

2x3+ 2x4= 0 (E2):

Ce systeme est triangule. Les variables libres en sontx3etx4. Resolvons le en suivant notre algorithme. On obtient : x

2=x32x4:

Puis :

x

1=2x2x3x4=2(x32x4)x3x4=3x3+ 3x4:

Il vient :

F

1=f(3x3+ 3x4;x32x4;x3;x4) tels quex3; x42R)g:

Soit :

F

1=fx3(3;1;1;0) +x4(3;2;0;1) tels quex3; x42Rg:

Ainsi, la famille de deux vecteurs (3;1;1;0);(3;2;0;1) est une famille generatrice deF1.

Elle est libre, en renversant les calculs :

x

3(3;1;1;0) +x4(3;2;0;1) = (3x3+ 3x4;x32x4;x3;x4) = 0

3 implique clairementx3=x4= 0. C'est une base deF1. Le sous-espace vectorielF2est par denition constitue des solutions du systeme d'equations lineaires homogenes : ()(x

1+ 2x2+x3+x4= 0 (E01)

x

4= 0 (E02):

Ce systeme est triangule. Les variables libres en sontx2etx3. Resolvons le en suivant notre algorithme. On obtient : x 4= 0:

Puis :

x

1=2x2x3:

Il vient :

F

2=f(2x2x3;x2;x3;0) tels quex2; x32Rg:

Soit :

F

2=fx2(2;1;0;0) +x3(1;0;1;0) tels quex2; x32Rg:

Ainsi, la famille de deux vecteurs (2;1;0;0);(1;0;1;0) est une famille generatrice deF2. Elle est libre (m^eme argument que precedemment). C'est une base deF2. L'ensembleF1\F2est un sous-espace vectoriel deR4comme intersection de deux tels sous- espaces vectoriels. Il est constitue des solutions du systeme d'equations lineaires homogenes : ()8 >>:x

1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)

x

2x3+ 2x4= 0 (E2)

x

1+ 2x2+x3+x4= 0 (E01)

x

4= 0 (E02):

Soit :

()8 :x

1+ 2x2+x3+x4= 0 (E1)

x

2x3+ 2x4= 0 (E2)

x

4= 0 (E02):

Ce systeme est triangule. Il possede uen seule variable libre :x3. Resolvons le en suivant notre algorithme. On obtient : x 4= 0:

Puis :

x 2=x3:

Puis :

x

1=2x2x3x4=3x3:

Il vient :

F

1\F2=f(3x3;x3;x3;0) tels quex32Rg:

Soit :

F

1\F2=fx3(3;1;1;0) tels quex32Rg:

4 Ainsi, la famille d'un vecteur (3;1;1;0) est une famille generatrice deF1\F2. Elle est libre, car est ce vecteur est non nul. C'est une base deF1\F2.

Correction de l'exercice ??

1) L'algorithme du cours fournit a l'aide de la matriceMB(u1;u2;u3) (dont la j-ieme colonne

est formee des coordonnees deujdans la baseB) une base echelonnee deHrelativement a cette base. M

B(u1;u2;u3) =0

B @1 2 1 21 1
1121
C A:

Etape 1 : Posonsu01=u1,u02=u22u1etu03=u3u1:

M

B(u01;u02;u03) =0

B @1 0 0 2 3 3 1331
C A:

On aH= Vect(u01;u02;u03).

Etape 2 : Posonsu001=u01,u002=u02etu003=u03u02:

M

B(u001;u002;u003) =0

B @1 0 0 2 3 0 13 01 C A: On aH= Vect(u001;u002;u003) = Vect(u001;u002), caru003= 0. La familleu001=e12e2+e3;u002= 3e23e3est libre (car echelonnee par rapport a la la base B) et engendreH. C'est donc une base deHechelonnee par rapport a la baseB.Le rang de la famille (u1;u2;u3) est par denition la dimension deH. La famille (u1;u2;u3) est donc de rang 2.

2) Un deuxieme algorithme du cours donne un systeme d'equations deHrelativement a la base

BdeEen partant deu001=e12e2+e3;u002= 3e23e3base deHechelonnee par rapport a la la baseB. Soituun vecteur deEde coordonnees (x1;x2;x3) dans la baseB. M

B(u001;u002;u) =0

B @1 0x1 2 3x2 13x31 C A: M

B(u001;u002;u0=ux1u001) =0

B @1 0 0

2 3x2+ 2x1

13x3x11

C A: M

B(u001;u002;u00=u0(1=3)(x2+ 2x1)u002) =0

B @1 0 0 2 3 0

13 (x3x1) + (x2+ 2x1)1

C A: M

B(u001;u002;u00) =0

B @1 0 0 2 3 0

13x1+x2+x31

C A: 5 On au2Hsi et seulement siu002H. Le vecteuru00a sa premiere coordonnee et sa deuxieme cordonnee nulle. Les vecteurs de la famille echelonnee (u001;u002) sont respectivement d'ordre 1 et

2. Il en resulte, que le vecteurude coordonnees (x1;x2;x3) dans la baseBappartient aHsi

et seulement si x

1+x2+x3= 0:

Cette equation est donc un systeme d'equations deHrelativement a la baseBdeE.

3) Les coordonnees deau1+bu2+cu3dans la baseBsont :

a 0 B @1 2 11 C A+b0 B @2 1 11 C A+c0 B @1 1 21
C A=0 B @a+ 2b+c 2ab+c ab2c1 C A Un vecteur est nul si et seulement si ses coordonnees dans une base sont nulles. Ainsi, nous avons a determiner l'ensemble des triplets de reels (a;b;c) solutions du systeme homogene d'equations lineaires : ()8 :a+ 2b+c= 0 (E1)

2ab+c= 0 (E2)

ab2c= 0 (E3):

Ce systeme a m^eme solution que le systeme :

()8 :a+ 2b+c= 0 (E1)

3b+ 3c= 0 (E02=E2+ 2E1)

3b3c= 0 (E03=E3E1):

Ce systeme a m^eme solution que le systeme :

()8 :a+ 2b+c= 0 (E1)

3b+ 3c= 0 (E02)

0 = 0 (E03E02):

Ce systeme a m^eme solution que le systeme :

()(a+ 2b+c= 0 (E1)

3b+ 3c= 0 (E02):

qui est un systeme triangule de variables libresc. On obtient : b=c :

On obtient alors :

a=2bc=c :

Il en resulte :

=f(c;c;c) tels quec2Rg: =fc(1;1;1) tels quec2Rg: 6 Pour verier ce calcul, on peut constater queu1u2+u3= 0.

Correction de l'exercice ??

1) L'ordre des variablesx1;x2;x3;x4est l'ordre naturel. Les trois equations de (E) sont d'ordre

1. Le systeme est donc ordonne. Demarrons l'algorithme de triangulation.Etape 1: Utilisons (E1) pour faire monter l'ordre des equations suivantes. Le systeme suivant

a m^emes solutions que (E) : (E0)(x

1+x2+x3+x4= 0 (E1)

x

22x3+x4= 0 (E02=E2E1):

Les equationsE1;E02;sont respectivement d'ordre 1;2. Ce syteme est ordonne. Ce systeme est triangule. Le premiere algorithme est termine. Resoudre (E) revient donc a resoudre le systeme triangule (E0). La variable de t^ete de (E1) est x

1, la variable de t^ete de (E02) estx2, Les variables libres de (E0) sont doncx3;x4. Resolvons

ce systeme triangule en suivant la methode du cours. La derniere equation donne : x

2= 2x3x4:

Remplacons cette valeur dex2dans l'equation precedente, on obtient : x

1+ 2x3x4+x3+x4= 0:

Nous obtenons :

x

1=3x3:

Nous avons ainsi exprimex1etx2a l'aide des variables libres. Ainsi, l'ensembleFdes solutions de (E) est :

F=f(3x3;2x3x4;x3;x4) tels quex3;x42Rg:

Soit :F=fx3(3;2;1;0) +x4(0;1;0;1) tels quex3;x4;2Rg: La famille (3;2;1;0);(0;1;0;1) est donc une famille generatrice deF. Elle est libre car si x

3(3;2;1;0) +x4(0;1;0;1) = 0;

on obtient : (3x3;2x3x4;x3;x4) = (0;0;0;0) etx3=x4= 0. Ainsi, ((3;2;1;0);(0;1;0;1)) est une base deF.

2) NotonsE=R4etB= (e1;e2;e3;e4) la base canonique deR4:

e

1= (1;0;0;0);e2= (0;1;0;0);e3= (0;0;1;0);e3= (0;0;0;1):

On a :v(u1) =v(u2) =v(u3) = 1.

7 M

B(u1;u2;u3) =0

B

BB@1 2 4

11 1 0 2 4 11 11 C

CCA; G= Vect(u1;u2;u3):

Etape 2 : On utiliseu1pour faire monter l'ordre des vecteurs suivants : M

B(u01;u02;u03) =0

B

BBBBB@u

01=u1u02=u22u1u03=u34u1

1 0 0 133
1 0 0 1331
C

CCCCCA; G= Vect(u01;u02;u03):

On av(u01)< v(u02) =v(u03) = 2.

Etape 3 : On utiliseu02pour faire monter l'ordre des vecteurs suivants : M

B(u001;u002;u003) =0

B

BBBBB@u

001=u01u002=u02u003=u03u021 0 0

13 0 0 0 0quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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